Глава 5. Некоторые алгоритмы квантовой информатики

Щелкни кобылу в нос, она махнёт хвостом

(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №45).

Настоящая глава посвящена рассмотрению фундаментальных алгоритмов квантовой информатики. В разделах 5.1 и 5.2 рассмотрены простейшие, но очень важные алгоритмы плотного кодирования и телепортации, основанные на использовании физического ресурса квантовой запутанности в ЭПР- парах. В разделе 5.3 на примере алгоритмов Дойча и Дойча- Джозсы рассмотрена сущность явления квантового параллелизма, лежащего в основе радикального отличия квантовых алгоритмов от классических. В разделе 5.4 квантовый параллелизм служит основой для алгоритма квантового преобразование Фурье, обладающего радикальным экспоненциальным преимуществом по сравнению с классическим так называемым быстрым преобразованием Фурье. Квантовое преобразование Фурье используется далее для формулировки алгоритма нахождения периода функции (раздел 5.5), а также самого знаменитого на сегодня алгоритма Шора, направленого на решение важной задачи о разложении большого целого числа на множители (раздел 5.6). В разделе 5.7 на примере протокола BB84 рассмотрены принципы квантовой криптографии, нацеленной на передачу секретных сообщений посредством использования квантовых состояний. В разделе 5.8 рассмотрен ещё один важный алгоритм Гровера, направленный на ускорение процесса поиска в неструктурированной базе данных. Наконец, в разделе 5.9 представлены простейшие методы квантового исправления ошибок, необходимые для создания надёжных квантово-информационных приборов.

Сверхплотное кодирование.

Алгоритмы сверхплотного кодирования и телепортации (разд. 5.2) идейно близки между собой.

Сверхплотное кодирование (dense coding) применяют для того, чтобы посредством физического перемещения одного кубита в ЭПР - паре осуществить передачу двух классических битов информации.

Телепортацию (teleportation), наоборот, используют для того, чтобы с помощью двух классических битов информации осуществить передачу произвольного неизвестного квантового состояния одного кубита. В этом случае не происходит перемещение квантового бита в пространстве от передающей к принимающей стороне. Передача неизвестного квантового состояния кубита на расстояние, в силу теоремы о невозможности клонирования, неизбежно сопровождается разрушением квантового состояния исходного кубита.

Рассмотрим алгоритм сверхплотного кодирования. Алиса и Боб стремятся наладить между собой линию связи. Каждый из них получает одну из частиц в ЭПР- паре:

Допустим, что Алиса получает первую частицу, а Боб – вторую. Пока частицы разделены, Алиса может делать преобразования только над своей частицей (кубитом), а Боб только над своей.

Пусть Алиса хочет передать сообщение из двух бит классической информации. Это эквивалентно передаче целого числа от 0 до 3. В зависимости от этого числа Алиса выполняет над своим кубитом одно из четырех преобразований {I, X, Y, Z}. При этом второй кубит, принадлежащий Бобу, испытывает тождественное преобразование. Трансформация квантового состояния в зависимости от кодируемого Алисой значения представлена в таблице 5.1.

Таблица 5.1 Двухбитовое кодирование ЭПР состояния Алисой
Значение	Преобразование	Новое состояние

Затем Алиса посылает свой кубит Бобу. Боб пркладывает CNOT к системе двух кубитов, которые находятся в запутанном состоянии. После операции CNOT состояние перестает быть запутанным (см. табл.5.2).

Таблица 5.2 Результат действия CNOT при декодировании информации Бобом
Исходное состояние	CNOT	Первый кубит	Второй кубит

Заметим, что теперь Боб может безбоязненно измерить второй кубит, не нарушая квантового состояния. Если в результате измерения он получит , то это значит, что Алиса послала 0 или 3. Если, напротив, он получит , то это значит, что Алиса послала 1 или 2.

Далее Боб совершает преобразование Адамара H над первым кубитом (табл.5.3)

Таблица 5.3. Результат действия оператора Адамара на первый кубит
Первый бит	H

Теперь Боб сможет отличить 0 от 3, а также 1 от 2.

Заметим, что для реализации протокола сверхплотного кодирования принципиально важным является наличие ресурса запутанности. Другими словами, для того, чтобы Алиса смогла закодировать в свой кубит два бита классической информации, необходимо, чтобы ее кубит был изначально запутан с кубитом, имеющимся у Боба. Поскольку кубит, изначально имевшийся у Боба, не использовался для передачи информации, то, очевидно, суммарно мы получаем передачу двух битов классической информации посредством двух кубитов.

Задача 5.1 Пусть исходное двухкубитовое состояние является незапутанным. Покажите, что рассмотренный выше протокол кодирования не сможет привести к передаче более чем одного бита классической информации (тем самым, Вы обоснуете принципиально важную роль ресурса запутанности в рассматриваемом протоколе).

Задача 5.2 Нарисуйте квантовую цепь, соответствующую рассмотренному выше протоколу сверхплотного кодирования.

Телепортация

Цель телепортации заключается в том, чтобы передать на расстояние квантовое состояние частицы, используя классические биты и реконструируя точно квантовое состояние в приемнике.

Поскольку квантовое состояние не может быть клонировано, квантовое состояние исходной частицы обязательно будет разрушено.

Рассмотрим алгоритм квантовой телепортации с использованием ЭПР – пар.

Пусть Алиса хочет переслать неизвестное состояние кубита Бобу

Алиса и Боб имеют также по одному кубиту из ЭПР – пары:

Стартовое состояние есть:

В этом состоянии Алиса может управлять первыми двумя кубитами, а Боб – третьим.

Пусть теперь Алиса прикладывает CNOT к своим кубитам, а затем преобразование Адамара H к первому кубиту.

После действия CNOT на первые два кубита имеем:

После приложения оператора Адамара H к первому кубиту получим следующее состояние:

Теперь Алиса измеряет свои два кубита (разрушая квантовое состояние исходной частицы). Она получает при этом один из возможных результатов измерения: . Именно эту информацию она и посылает Бобу. Для декодирования Бобу остается проделать соответственно всего одну из операций: I, X, Z, iY

Задача 5.3 Нарисуйте квантовую цепь, соответствующую рассмотренному выше протоколу телепортации.