Простейшие квантовые логические элементы

Любые квантовые вычисления сводятся к унитарным преобразованиям системы кубитов. В силу линейности, преобразование полностью определяется действием на соответствующие базисные векторы.

Рассмотрим вначале некоторые полезные преобразования квантового состояния отдельных кубитов. Ниже приведены такие преобразования и соответствующие им матрицы.

Мы везде используем стандартный (канонический) базис:

Тождественное преобразование задается единичной двумерной матрицей

Матрицы Паули задают следующие преобразования:

Заметим, что матрицы Паули одновременно являются эрмитовыми и унитарными, поэтому унитарны и все указанные выше преобразования.

Элемент Паули есть оператор отрицания (negation), он осуществляет обмен состояниями, т.е. преобразует ноль в единицу и наоборот. Элемент задает оператор фазового сдвига (phase shift). Преобразование определяется произведением указанных операторов, поскольку .

Рассмотрим теперь важнейший для квантовых вычислений логический элемент- так называемое управляемое – НЕ (Controlled-Not) преобразование. Преобразование CNOT действует не на один, а одновременно на два кубита следующим образом: CNOT изменяет состояние второго (управляемого) кубита, если первый (управляющий) находится в состоянии , т.е.

Оператор CNOT также унитарен и эрмитов одновременно. Рассматриваемое преобразование является принципиально новым по сравнению с однокубитовыми преобразованиями, т.к. матрица CNOT не может быть разложена в тензорное произведение двух однокубитовых матриц.

Удобно иметь графическое представление преобразований квантового состояния, особенно когда эти преобразования связаны с взаимодействием нескольких кубитов. CNOT- элемент обычно изображается на квантовых логических схемах в виде следующей картинки

Рис. 4.1 Графическое изображение двухкубитового элемента CNOT

Здесь значок соответствует управляющему кубиту, а значок - управляемому кубиту.

Аналогично можно определить элемент Control-Control-Not (CCNOT), который соответствует преобразованию, меняющему третий бит, когда оба первые есть (см. рисунок). Это так называемый элемент Тоффоли.

Рис. 4.2 Графическое изображение элемента Тоффоли

Действие элемента Тоффоли на базисные состояния и соответствующая унитарная матрица задаются следующим образом.

Однокубитовые преобразования изображаются графически, например, так:

Рис. 4.3 Примеры графических изображений однокубитовых квантовых элементов.

Оказывается, что любое унитарное преобразование- вычисление в системе кубитов можно выполнить с помощью так называемых универсальных наборов квантовых логических элементов [13,14]. Например, произвольное унитарное вращение состояния отдельного кубита и двухкубитовая операция CNOT могут рассматриваться в качестве такого универсального набора.

4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)

В квантовой информатике очень широко используется следующее однокубитовое преобразование – так называемое преобразование Адамара. Оно определяется как:

Задача 4.9 Покажите, что

.

Докажите следующие тождества:

Преобразование, которое обеспечивает приложение к каждому из кубитов квантового регистра, называется преобразованием Уолша- Адамара:

Задача 4.10 Докажите свойство преобразования Уолша- Адамара, которое дается формулой:

Результат этой задачи часто используется при разработке квантовых алгоритмов (см. главу 5).

4.7. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния

Свойство линейности унитарных квантовых преобразований приводит к невозможности копирования (клонирования) информации в квантовом компьютере. Рассматриваемая теорема является одним из краеугольных камней квантовой информатики.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что - унитарное преобразование, осуществляющее клонирование. Такое преобразование действовало бы по правилу для любого квантового состояния . Здесь запись и может означать не только однокубитовые, но и многокубитовые состояния.

Пусть и - два ортогональных квантовых состояния. Если - оператор клонирования, то , . Рассмотрим теперь состояние, являющееся суперпозицией исходных состояний .

Тогда, в силу линейности унитарного преобразования

(4.5)

Кроме того, по предположению, есть оператор клонирования, который должен действовать в том числе и на состояния . Поэтому:

(4.6)

Состояние, задаваемое формулой (4.6), очевидно, не совпадает с состоянием, задаваемым формулой (4.5). Получено противоречие, что и доказывает теорему.

Важно понимать какое состояние возможно реализовать, а какое нет. Можно приготовить квантовое состояние, которое известно нам заранее. Принцип невозможности клонирования говорит о невозможности клонировать неизвестное состояние.

Заметим также, что можно создавать запутанное состояние из неизвестного состояния . Пример реализации такого рода запутанного состояния дается квантовой схемой, изображенной на рисунке.

Рис. 4.4 Квантовая схема генерации запутанного состояния

Рассматриваемое двухкубитовое состояние не является, однако, реализацией схемы клонирования однокубитового состояния . В силу запутанности, кубиты в состоянии оказываются связанными друг с другом: если один оказался при измерении, например, в состоянии , то и второй окажется в том же состоянии.

Задача 4.11Обобщите представленную выше на рисунке квантовую схему, т.е. придумайте схему, позволяющую создавать запутанное состояние из неизвестного состояния для случая трех и более кубитов.

Настоящим клоном было бы состояние частиц вида , созданное из неизвестного состояния . Это, однако, невозможно в силу доказанной выше теоремы.

Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния символизирует принципиально важную роль статистических методов в квантовой информатике. Действительно, если бы рассматриваемое здесь клонирование было возможно, то, имея в распоряжении только одного представителя, мы могли бы создать сколь угодно много его копий. Проведя измерения над этими копиями, мы смогли бы сколь угодно точно восстановить квантовое состояние и любые его характеристики. Другими словами, нам не нужен был бы статистический ансамбль для проведения взаимно- дополнительных измерений, поскольку такой ансамбль всегда можно было бы воссоздать, имея под рукой всего одного представителя. Это противоречило бы таким принципам статистики, как неравенство Рао- Крамера. В действительности, уже простейшее однокубитовое состояние содержит в себе бесконечное (континуальное) количество информации в том смысле, что описывается комплексными бесконечно- значными числами (такими, как и ). Измерение отдельного представителя приводит к редукции его квантового состояния и соответствующей потере информации о комплексных амплитудах. Однако, одновременно с этим исследователь получает некоторое элементарное количество информации (в каком из возможных базисных состояний обнаруживается квантовая система). Для точного восстановления квантового состояния потребуется бесконечное число представителей. В реальных задачах всегда имеется конечный объем экспериментальных данных и, соответственно, возможна только приближенная оценка квантового состояния. Точность восстановления квантового состояния оказывается тем выше, чем больше число представителей статистического ансамбля подвергается измерениям (и разрушению исходных квантовых состояний). Подробно задача статистического восстановления квантовых состояний рассмотрена в работах [30, 43, 44, 51, 52].

Состояния Белла

Состояниями Белла называют следующие четыре двухкубитовые состояния.

Задача 4.12 Покажите, что все состояния Белла являются запутанными

Указанные состояния могут быть созданы с помощью квантовой схемы, изображенной на рисунке.

Рис. 4.5 Квантовая схема для генерации состояний Белла