Многомерное соотношение неопределенностей

Рассмотрим пространство размерности .

Пусть - соответствующие операторы координат и импульсов.

Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа следует ввести действительную симметричную матрицу с элементами . Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве. Действительно для скалярного , такая величина как неинвариантна, потому что индексы и , вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы величина будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу предполагается суммирование). Введем также действительный вектор ( ). С его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр: .

Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):

В развернутом виде получим:

Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов и друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.

В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).

В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:

Напомним, что матрица с элементами называется неотрицательно определенной, если для любого вектора :

В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями

Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.

Напомним, что произвольная эрмитова матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:

,

где - унитарная матрица, а - действительная диагональная матрица.

Если, к тому же, матрица неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы . В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:

С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:

Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при ). Отсюда следует, что и выражение неотрицательно определено, т.е.

Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.

Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при :

Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций в импульсном представлении и матрицей ковариаций - в координатном.

Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]

Информация Фишера

Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна: . Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:

Здесь штрих означает производную по .

Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:

Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:

Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе

Неравенство Рао- Крамера

Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния. Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра , т.е.:

.

Пусть есть несмещенная оценка неизвестного параметра , основанная на выборке объема в координатном пространстве, т.е. .

Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки совпадает с истинным значением параметра , т.е.

Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:

Пусть - оператор, канонически сопряженный параметру .

Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:

Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:

Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением

Проведем подробные вычисления. Пусть - кет вектор, где , как и ранее, произвольный действительный параметр, - соответствующий бра- вектор.

Заведомо неотрицательное выражение есть:

Здесь для сокращения записи мы полагаем, что ,

В развернутой записи имеем:

,

где

Можно показать, что . Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде

Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что .

Из условия для дискриминанта получаем искомый результат – неравенство Рао-Крамера [38- 40]:

Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.

В этом случае информация Фишера есть:

Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.

Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от независимых представителей в раз превосходит информацию от одного представителя).

Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.

Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них. Такие оценки называются эффективными.

Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:

(2.1)

где - смещение оценки. (2.2)

Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки относительно истинного значения .

Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.