Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов. Неполнота классической и полнота квантовой статистики.

Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В связи с этим интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.

С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде

В последнем равенстве введена характеристическая функция:

(1.5)

Таким образом, плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:

(1.6)

Тогда сама характеристическая функция есть прямое преобразование Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины :

Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть - характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса :

В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:

Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно, плотность, нормированную на единицу).

Проведенные выше расчеты позволяют обосновать следующее утверждение: для того чтобы функция была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции , удовлетворяющей условию нормировки:

(1.7)

Необходимость: пусть - характеристическая функция, тогда согласно (1.6) она определяет некоторую плотность . Определим пси-функцию как , где - произвольная действительная функция (в частности, можно положить ). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция , определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).

Достаточность: пусть представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции , нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения - посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам функция будет характеристической функцией распределения . Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию и единственное распределение . Утверждение доказано.

Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции . Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию в импульсном пространстве. Аналогично соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию в координатном пространстве. Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных (квантовых) систем.

Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы. Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.

Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему 4.2.4 в [32], а также [33]). Однако классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции , фигурирующей в данном представлении.

Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.

Нетрудно видеть, что значение характеристической функции в точке ноль всегда равно единице:

Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных характеристической функции в точке ноль. Действительно:

, откуда

.

Таким образом, первая производная характеристической функции в точке ноль связана с математическим ожиданием.

Аналогично получаем, что производная - го порядка связана с -ым моментом случайной величины:

,