Теоретические сведения к Л.Р.„

Теоретические сведения к Л.Р.№ 3

Пространственно-статистический анализ геополей.

Особенности оценки статистических характеристик геофизических полей.

Практически любые данные, получаемые в результате геолого-геофизических исследований, в силу объективных причин, можно считать выборкой одной или нескольких случайных величин. Это позволяет анализировать их статистические характеристики с помощью аппарата теории оценок рассмотренного в предыдущих разделах. Такой анализ существенно увеличивает объем полезной для исследователя информации, содержащейся в наблюдениях, позволяет подчеркнуть особенности изменения геополей по площади, оценить закономерности распределения изучаемого параметра, что существенно повышает эффективность процесса геологической интерпретации и качество конечных результатов обработки в целом.

Одним из условий эффективного применения математических методов в определенной прикладной области требует детального учета свойственной этой области особенностей. Использование математического аппарата без учета этого приводит к заведомо отрицательным результатам.

Характерной чертой геолого-геофизических наблюдений является то, что они в большей части являются пространственными, то есть любое измерение значения параметра, сопровождается набором атрибутов, определяющих координаты точки наблюдения в пространстве. Если наблюдения проводятся вдоль профиля (профильные наблюдения), то точка характеризуется одной координатой x, определяющей ее положение на профиле. При площадных съемках положение точки наблюдения описываются двумя координатами х,y. Наиболее общий случай, когда положение точки измерения параметра в пространстве характеризуется набором из трех координат x,y,z. Иногда атрибутом, сопровождающим отдельное наблюдение геолого-геофизического параметра, является параметр, определяющий время его наблюдения. Так для сейсмических наблюдений, в общем случае, необходимо знание четырех параметров – координат (x,y,z) и времени t. Стационарные измерения геолого-геофизического параметра в одной точке наблюдения также сопровождаются временной привязкой.

Другой важнейшей особенностью геолого-геофизических измерений является то, что выборка, полученная в результате наблюдений случайного параметра в различных точках наблюдения, не является однородной и представлена набором нескольких случайных величин. Это связано с изменением статистических характеристик геополей в пространстве (статистической нестационарностью геополей). То есть, наблюдения случайной величины в различных точках, часто являются элементами выборок разных случайных величин. Так, например, оценивая среднее значение поля по данным площадных наблюдений, состоящей из M профилей и N пикетов, можно в качестве выборки использовать все MxN значений и получить одно значение оценки среднего. Можно получить М различных оценок среднего, используя М выборок, включающих по N наблюдений на каждом профиле. Анализ полученных оценок средних значений поля на каждом из профилей определяет закономерности изменения поля от профиля к профилю.

Таким образом, изменяя состав выборки, посредством выбора точек наблюдения в соответствии с их пространственным расположением, можно получать различные оценки статистического параметра. Наилучшим вариантом, с точки зрения корректности оценки параметра, представляется случай, когда все MxN наблюдений случайной величины разбиваются на k однородных выборок, каждая из которых представляет одну случайную величину. Такое пространственное разбиение всей совокупности наблюдений на статистически однородные (стационарные) области является важнейшей задачей интерпретации геолого-геофизической информации с использованием методов вероятностно-статистического подхода. Способы ее решения будут рассматриваться в последующих разделах.

Рис.19.Результат расчета среднего значения в скользящем окне разных размеров.

При обработке площадных наблюдений (двумерный вариант), можно оценивать статистические характеристики в двумерном скользящем «окне», состоящем из n пикетов и m профилей. При этом первоначально «окно» располагается в левом верхнем угле исследуемой площади, затем перемещается на один пикет в направлении простирания профилей. По достижению правого верхнего угла, окно смещается на один профиль вниз и скольжение окна вдоль профилей повторяется. Конечное положение скользящего окна – правый нижний угол. Рассчитанное значение статистического параметра при каждом конкретном положении «окна», относится к точке двумерной сети, совпадающей с положением центральной точкой «окна». Поэтому значения величин n и m должны быть нечетными.

В результате такой процедуры получается оценка статистической характеристики в каждой точке двумерной сети. Как и в одномерном случае, важным параметром, влияющим на конечный результат, является размер скользящего «окна». В двумерном случае, размер «окна» определяется двумя величинами – количеством пикетов n (ширина «окна») и профилей m (высота «окна»). В отличии от одномерной фильтрации, в двумерном случае, имеется еще один параметр существенным образом влияющий на конечный результат. Этот параметр получил название наклона «окна» w. При этом величина наклона «окна» w определяется, как смещение, выраженное в пикетах, между соседними профилями, осевой линии «окна». На рисунке 20 показано положение скользящего «окна», состоящего из 3-х пикетов и 5-ти профилей, при различных его наклонах. Зеленым цветом изображено «окно», имеющее нулевой наклон, фиолетовым – плюс один, желтым - плюс два, красным – минус один и синим – минус два.

Рис.20. Иллюстрация положения «окна» при различных наклонах,

желтое(+2), фиолетовое(+1), зеленое(0), красное(-1), синее(-2).

Пример расчета среднего в «окнах» различного размера и наклона, по исходному магнитному полю, состоящему из 101 профилей по 230 пикетов на каждом (рис.21) приведен на рисунках 22-23.

На рисунке 22( а,б,с) приведены расчеты среднего, при наклоне скользящего окна равного 1 и размерах 3х5, 5х11 и 7х15 соответственно. На рисунке 23(a,b,c) – для тех же размеров, но наклоне окна равного 0. На рисунках 24(a,b,c) – для наклона окна –1. Анализ полученных результатов позволяет сделать очевидные выводы:

-увеличение размеров скользящего «окна», как и в одномерном случае, приводит к большему сглаживанию;

-при различных наклонах скользящего «окна» в результатах отмечается вытянутость изолиний в направлении ориентации окна;

Рис.21. Исходное магнитное поле.

При наличии информации, организованной в трехмерные регулярные сети, по аналогии с одномерным и двумерным случаями, возможна оценка статистических характеристик геополей в трехмерном скользящем окне, включающем n пикетов, m профилей и k слоев. Ориентация «окна» будет определяться двумя углами его наклона и , в плоскости пикетов-профилей и профилей-слоев соответственно. Пример оценки среднего в скользящих трехмерных «окнах» разных размеров приведен на рисунках 25-27

.

Рис.22 .Среднее в скользящем окне, наклон +1.

Рис.23 .Среднее в скользящем окне, наклон 0.

Рис.24 .Среднее в скользящем окне, наклон -1.

Рис.25.Исходное поле мгновенных амплитуд по данным

Трехмерной сейсморазведки.

Рис.26.Результат осреднения в скользящем трехмерном

Окне размером 7х7х7.

Рис.27. Результат осреднения в скользящем трехмерном

Окне размером 15х15х15.

В приведенных выше примерах в скользящем «окне» рассчитывались статистические характеристики, по одному геофизическому признаку. Очевидно, что аналогично можно вычислять статистические характеристики по двум и более геофизическим полям или признакам. На рис.27² приведен пример рассчета коэффициента корреляции в скользящем окне с использованием выражения 1.28 между магнитным и гравитационным полями, изображенными на рис.27¹. На рис. 27² (a) – показан результат, для случая , когда размеры скользящего окна, в котором рассчитывался коэффициент корреляции, были равны n=m=7. На рис. 27² (b) - для большего, по размерам ,«окна» - n=m=21.

Как было показано выше, коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости двух случайных величин. Очевидно, что при малых размерах «окна», коэффициент корреляции будет отражать степень коррелируемости между, небольшими по размерам (высокочастотными), аномальными компонентами магнитного и гравитационного полей. При увеличении размеров окна, коэффициента корреляции будет характеризовать зависимость между более крупными (средне, низкочастотными) составляющими анализируемых полей.

Математическому ожиданию.

Рис.38. Вид поля дисперсии (красный цвет), асимметрии (синий цвет) и

Рис.40.Вид поля дисперсии (красный цвет), асимметрии (синий цвет) и

Рис.41. Наблюденное магнитное поле dZ в nT.

Рис.42. Дисперсия магнитного поля в окне.

Рис.43. Асимметрия магнитного поля в окне.

Рис.44. Эксцес магнитного поля в окне.

Другой пример, иллюстрирующий эффективность расчета статистических моментов в скользящих окнах для исследования «тонкой» структуры геополей приведен на рисунках 45-48. На рисунке 45 представлены результаты наблюдений гравитационного поля на той же площади, что и поля dT, изображенного на рисунке 41. На рисунках 46-48 покаазаны результаты вычисления в скользящем окне соответственно дисперсии, асимметрии и эксцесса. Легко видеть, что поля статистических моментов более дифференцированы, по отношению к сравнительно гладкому исходному полю. Кроме этого, в поле асимметрии и эксцесса отчетливо выделяются аномальные области в правой нижней части площади, совершенно незаметные в наблюденном гравитационном поле и совпадающие с аномалиями магнитного поля и его статистических характеристик на рисунках 41-45.

В двух рассмотренных примерах размеры скользящего окна были выбраны равными 35 пикетов и 23 профиля, при этом вся исследуемая площадь представлена 86 профилями по 186 пикетов на каждом. Естественно, что с уменьшением размеров скользящего окна, в полях статистических характеристик будут более детально отображаться особенности поля, связанные с аномалеобразующими объектами верхней части геологического разреза. При увеличении размеров окна, полученные результаты будут характеризовать более крупные, глубинные объекты и соответствующие им стационарные области.

Рис.45. Наблюденное гравитационное поле.

Рис.46. Дисперсия гравитационного поля в окне.

Рис.47. Асимметрия гравитационного поля в окне.

Рис.48. Эксцес гравитационного поля в окне.

Таким образом, в полях статистических характеристик содержится дополнительная информация, совместное использование которой с другими данными, может быть, достаточно эффективным при интерпретации геолого-геофизических наблюдений.

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ «ПРОСТРАНСТВЕННО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Задача:

В таблице приведены результаты опробования по одному из профилей с расстоянием между точками наблюдения в 20 м (содержания элементов увеличены в 1000 раз). Исходя из предпосылок, что перспективным на обнаружение оруденения является участок профиля с высоким содержанием элемента, характеризующийся повышенными значениями дисперсии, оценить результаты опробования профиля с помощью скользящего окна размером в 5 наблюдений, сдвиг 1 точка.

nI	В.1	В.2	В.З	В.4	В.5	В.6	В.7	В.8 | В.9	В. 10	В.11	В.12	В.13	В.14	В.15	В. 16	В.17
1.
2.
3.
4.
5.					2 .
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.														л
18.
19.																j
20.
21.
22.
nI	В.18	В. 19	В.20	В.21	В.22	В.23	В.24	В.25	В.26	В.27	В.28	В.29	В.30	В.31	В.32	В. 33	В.34
1.									I
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
19.
20.
21.
22.

[1] Число m должно быть нечетным, так как в противном случае невозможно определить центральную точку окна к которой относится результат.

[2] Вопрос определения характера зависимости результатов оценки статистических характеристик от размера «окна», по мере изложения материала будет рассматриваться более детально и с различных позиций.

Теоретические сведения к Л.Р.№ 3