Кинематический анализ механизма

При кинематическом исследовании решаются следующие задачи: определение траекторий движения точек и звеньев механизма, вычисление линейных скоростей и ускорений звеньев. При этом действие нагрузок не учитывается. Используются следующие методы: графический, аналитический, графоаналитический, экспериментальный.

1.2.1. Построение 12 планов положений механизма

Для выполнения этого пункта необходимо знать размеры звеньев: l_AB=0,30 м; l_BC=1,00 м. Примем на плане AB=60мм. Тогда масштабный коэффициент длин:

μ_{l =} м / мм, (1.3)

где - отрезок на чертеже, которым изображается кривошип.

Определим масштабную длину других звеньев:

мм (1.4)

где BC - отрезок на чертеже; l_BC – заданная длина шатунов.

В курсовом проекте рекомендуется принимать длину отрезка 40-60 мм.

В принятом масштабе выполним схему механизма в 12 положениях. Для этого из произвольно выбранной точки А, которая является центром, строим окружность радиусом АВ и делим её на 12 равных частей. При этом произвольно выбираем то, что кривошип AB находится в вертикальном положении. Откладываем отрезок AD и находим точку D. В этой точке проводим окружность радиусом AD. Из точек деления В₁, В₂, …, В₁₂ радиусом ВС проводим дуги, пересекая окружность CD, точки пересечения дуг с окружностью будут являться точками траекториии движения точки С. Точки пересечения C₁, С₂, …, C₁₂ соединяем прямыми линиями с соответствующими им точками В₁, В₂, …, В₁₂. Приняв центры тяжести шатуна расположенными посередине звеньев, обозначив их точками S₁, S₂, …, S₁₂ и соединив плавной кривой, получим траектории движения.

По построенным планам положений можно определить траектории движения точек механизма: точка В - окружность радиуса АВ; S – замкнутая кривая; точка C – прямая CА. Ход ползунов

Одно из положений (в данном случае 4-е) обводится основной линией, остальные – тонкими (вспомогательными).

1.2.2. Построение 12 планов скоростей механизма

План скоростей — такое графическое изображение, при котором векторы абсолютных скоростей выходят из одной точки, называемой полюсом. Построение плана рассмотрим на примере 4-го положения механизма.

Определим скорость точки В. Поскольку она совершает вращательное движение относительно центра А с постоянной угловой скоростью ω₁ = 14 рад/с, то

, (1.6)

где - длина звена АВ.

Выберем масштаб построения:

. (1.7)

В проекте рекомендуемая длина вектора не менее 50 мм. Из произ­вольно выбранного полюса Р проведем вектор Р_b длиной 50 мм пер­пендикулярно звену АВ по направлению вращения кривошипа.

Для определения скорости точки С составим два векторных урав­нения:

, (1.8)

где — вектор скорости неподвижной точки С₀, принадлежащей стойке СА; и — векторы скоростей точки С относительно точек В и С₀. Вектор является линейной скоростью вращатель­ного движения шатуна относительно точки В. Следовательно, он пер­пендикулярен звену ВС. Вектор характеризует поступательное движение ползуна 3, он параллелен направляющей СA.

Систему уравнений (1.8) решим графически, для чего из конца вектора скорости точки b на плане проведем линию, перпендикулярную звену СВ, а из точки с₀ (все неподвижные точки расположены в полюсе плана) — линию, параллельную направляю­щей СA. Точка пересечения этих двух прямых определяет конец век­тора Рс, который в масштабе характеризует скорость точки С.

Рассмотрим порядок пользования планом для определения ли­нейных и угловых скоростей.

Скорость точки С равна:

(1.9)

Отрезок Рс измерим непосредственно на чертеже. Величину угловых скоростей шатунов определим по формуле

(1.10)

где cb — отрезок на плане скоростей, l_BC - длина звена ВС.

Для определения направления угловoй скорости мысленно перенесем вектор относительной скорости в точ­ку С механизма; его направление укажет направление вращения шатунов.

В курсовом проекте строится 12 планов скоростей для каждого положения механизма. Они располагаются на свободном поле листа. Вычислим линейную скорость точки Си угловую скорость . Результаты занесем в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

Линейные и угловые скорости точек и звеньев механизма

Параметры
Pc, мм
м/с		2,6	4,1	4,1	3,0	1,5		1,5	3,0	4,1	4,1	2,6
bc,мм
	4,1	3,5	2,0		2,2	3,65	4,1	3,65	2,2		2,0	3,5

1.2.3. Построение плана ускорений для 9-го положения механизма

План ускорений строится для одного из положений механиз­ма (в данном случае 4-го), для которого проводится силовой расчет. Предварительно составим уравнения в векторном виде и определим ускорение точки В:

(1.11)

где — тангенциальное ускорение точки В, характеризующее из­менение скорости по величине, которая определяется как (учитывая, что звено АВ вращается с постоянной угловой скоростью, угловое ускорение кривошипа ); — нормальное ус­корение точки В, характеризующее изменение скорости по направле­нию.

Оно вычисляется так:

(1.12)

где - угловая скорость звена АВ, -его длина.

Зададимся масштабом построения:

(1.13)

Из произвольно выбранного полюса проведем вектор дли­ной 100 мм параллельно звену АВ по направлению к центру вращения кривошипа — точке А.

Как и при построении плана скоростей, для определения ускорения точки С составим два векторных уравнения:

(1.14)

где — нормальное ускорение точки С относительно В, оп­ределяющееся как:

(1.15)

где - угловая скорость звена ВС, - его длина.

Значение возьмем из табл. 1.2. Ускорение параллельно звену ВС и направлено к точке В. На плане это ускорение определяется вектором длиной

(1.16)

Тангенциальное ускорение точки С относительно В вычисляется как и имеет направление, перпендикулярное шатуну СВ); — ускорение точки С относительно неподвижной точки С₀ параллельно направляющей СА..

Решим систему уравнений (1.14) графически. Из точки b плана ускорений проведем вектор длиной 6,48 мм, параллельный ВС и направленный к точке С. Из конца вектора проведем линию, перпендикулярную звену ВС, а из точки с₀ (она лежит в полюсе пла­на) — линию, параллельную стойке СA. Их пересечение определит точку с. Отрезок в масштабе выражает абсолютное ускорение ползуна. Отрезок, соединяющий точки и плана, представляет собой вектор .

Найдем на плане ускорений центр тяжести шатуна . Для этого соединим прямой линией точку с точкой , определим центр линии . Отрезок, соединяющие точку с полюсом , выразим в определенном масштабе ускорения центра тяжести 2-го звена.

Пользуясь планом, вычислим линейные ускорения точек и угловые ускорения звеньев. Линейные ускорения точек С, :

(1.17)

(1.18)

Отрезки , измерим на плане ускорений в милли­метрах. Угловое ускорение 2-го звена:

(1.19)

где - тангенциальное ускорение точки С относительно точки В, - масштаб построения, - длина звена ВС.

Длина вектора измеряется также на плане. Для определения направления ускорения мысленно перенесем в точку С механизма вектор, который укажет направление углового ускорения.

1.2.4. Построение кинематических диаграмм

Кинематическими диаграммами называют графики зависимости перемещения S, скорости и ускорения а одной из точек механизма от угла поворота кривошипа или времени t. В проекте эти диаграммы строятся для точки С и ползуна 3.

Построение начнем с диаграммы перемещения и системы координат. На оси абсцисс отложим 12 равных отрезков произволь­ной величины (1 – 2, 2 – 3, ..., 12 – 13), которые в масштабе означают время поворота кривошипа на угол . Для рассматриваемого варианта длина отрезка 1 – 13, выражающего время одного оборота кривошипа, равна 120 мм. Время определим как

, (1.20)

где = 3,14, - угловая скорость звена АВ. Масштаб времени

(1.21)

По оси ординат отложим перемещения ползуна С в масштабе . Для этого в каждом положении механизма измерим отрезки и отложим их на соответствующих ординатах: 1 - 1', 2 - 2', ..., 13 - 13'диаграммы . Соединив точки 1', 2',..., 13' плавной кривой, получим кинематическую диаграмму перемещения ползуна.

Графически продифференцировав эту кривую в определенной последовательности методом хорд, получим диаграмму изменения скорости .

1. Под диаграммой построим оси координат и , влево от начала оси абсцисс отложим отрезок произвольной длины.

2. Из точки K₁ проведем лучи параллельно хордам 1' - 2', 2' - 3', ..., 12' — 13' кривой . Эти лучи отсекут на оси ординат отрезки, пропорциональные средней скорости .

3. Из точек пересечения лучей с осью ординат проведем лучи, параллельные оси , до их пересечения со средними ординатами со­ответствующих участков диаграммы. Получим точки 1', 2', 3' и т. д. Соединив их плавной кривой, получим диаграмму скоростей .

Аналогично продифференцировав диаграмму , построим ди­аграмму ускорений ползуна . Масштабы полученных диаграмм и рассчитаем по формулам

; (1.22)

. (1.23)

Пользуясь диаграммами, определим скорость и ускорение точ­ки С в 5-м положении, а результаты сравним со значениями, рассчи­танными по методу планов.

Метод диаграмм:

, (1.24)

, (1.25)

где Y^/₅и Y^//₅– длины ординат из диаграммы скорости и ускорения соответственно, мм.

Метод планов:

; .

Разница расчетов составляет:

; (1.26)

. (1.27)

Ошибки при решении инженерных задач графоаналитическими методами не должны превышать ±5 %. Таким образом, достигнута необходимая точность кинематического анализа.

Отдельно взятый план скоростей (ускорений) позволяет определить скорости (ускорения) всех точек и звеньев механизма в заданном его положении. Кинематические диаграммы дают возможность просле­дить изменение параметров за один оборот кривошипа, но только для одной точки механизма. Эти два метода дополняют друг друга.