Пересечение прямой с поверхностью или плоскостью

(основная задача НГ)

Данные задачи решаются с помощью посредников, в качестве которых используются вспомогательные секущие пл-ти. Вид посредника выбирается в зависимости от конкретных условий задачи.

Дано: ∑ - пов-ть (или пл-ть), в данном случае эллипсоид; ℓ - прямая.

Построить т-ки пересечения ∑ и ℓ.

Алгоритм решения задачи:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную плоскость – посредник Г. ℓ Î Г
2. Строится ЛП вспомогательной пл-ти Г с заданной пов-тью ∑ :

Г ∩ ∑ Þ m (ЛП)

3. Находятся т-ки пересечения А и В заданной прямой ℓ с построенной ЛП m:

ℓ ∩ m Þ А и В –т-ки пересечения.

4. Определяется видимость прямой ℓ.

Задача . Построить т-ку пересечения прямой ℓ с пл-тью общего положения, заданного ∆ АВС. (основная позиционная задача)

Решение

Алгоритм решения задачи:

1). Выбор посредника

Q ^ П₂ Þ Q_П2 Î ℓ

След этой пл-ти Q_П2 совпадает с ℓ₂.

2). Построение ЛП Q с заданной пл-тью ∆ АВС

Q ∩ ∑ Þ (1₂ – 2₂) Þ (1₁ – 2₁) – ЛП

3). Опред. т-ки пересечения прямой с пл-тью - т. К₁ Þт. К₂

ℓ ∩ (1 - 2) Þ т. К

4). Опред. видимость прямой ℓ методом конкурирующих т-ек.

Задача Построить т-ки пересечения прямой n с пов-тью сферы.

Решение:

Развёртки поверхностей.

Построение развёрток – это инженерная задача, встречающаяся при выполнении технических деталей из тонкого листового материала, например, кожух вентилятора, воздуховод, патрубки и колпаки в вентиляционной системе и т.д.

Итак, развёрткой поверхности наз-ся плоская фигура, получаемая при последовательном совмещении пов-ти с пл-тью, без образования складок и разрывов.

К развёртываемым линейчатым поверхностям относятся только три поверхности: цилиндрическая, коническая, торсовая.

Развёртки прямых круговых конусов и цилиндров могут быть выполнены точно. Боковая поверхность цилиндрапредставляет собой прямоугольник со сторонами Н, πD. Боковая поверхность конусапредставляет собой сектор круга, радиус которого равен ℓ - длине образующей конуса, а угол при его вершине j = 360⁰ R / ℓ.

Развёртки наклонного конуса и цилиндра – приближённые. В первый вписывается n – гранная пирамида, во второй – n –гранная призма.

Поверхности вращения (исключая конус и цилиндр) относятся к неразвёртываемым поверхностям. Для них строят условные развёртки, заменяя части этих поверхностей отсеками развёртываемых поверхностей.

Т.к. все элементы поверхности на развёртке изображаются в нат. величину, то построение её сводится к определению нат. величин элементов заданной поверхности.

Между поверхностью и развёрткой существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждой т-ке поверхности соответствует единственная т-ка на развёртке, и наоборот.

Свойства взаимооднозначного соответствия:

1. Прямая на пов-ти переходит в прямую на развёртке.
2. || - ые прямые на пов-ти переходят в || -ые прямые на разв-ке.
3. Длины линий на развёртке и на поверхности равны.
4. Площадь поверхности равна площади развёртки.