Распределение нагрузки в часах по неделям 2-го семестра

ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Дисциплина «теоретическая механика» является первой из трех частей курса «строительная механика», цель которого – дать будущему архитектору представление о механике, являющейся научной основой многих прикладных наук, в которых ее общие законы движения и взаимодействия тел находят применение при исследовании каких-либо частных случаев. Цель курса включает в себя развитие навыков расчетов при выборе материала и таких пропорций конструкции, которые гарантировали бы ее несущую способность, соблюдение нормативных условий строительства и эксплуатации.

Курс «строительная механика» предполагает решение задачи формирования у обучаемых знаний о классических и современных методах расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при статическом действии нагрузки с учетом требований надежности и экономичности с одной стороны и архитектурной оригинальности – с другой. Окончательный расчет конструкции проводит специалист, но архитектор сам должен быть способен придумать ее, придав правильные пропорции. Лишь в этом случае она будет долговечной и, возможно, прекрасной.

Указанной цели можно достичь развивая соответствующую интуицию, для чего, в свою очередь, необходимо изучить основные понятия и методы расчетов, прорешать ряд простейших задач как по теоретической механике, так и по сопротивлению материалов и строительной механике, научиться понимать работу отдельных элементов и конструкций в целом, оценивать рациональность того или иного конструктивного решения с точки зрения прочности и надежности сооружения.

Содержание курса «теоретическая механика» и количество часов аудиторных занятий на рассмотрение его тем (л–лекции, п – практические занятия)

1. Введение. Предмет и содержание раздела «статика» курса строительной механики и его значение в образовании архитектора-инженера (л-0.5 часа);

2. Основные понятия и аксиомы раздела «статика» курса теоретической механики. Абсолютно твердое тело, материальная точка, система тел. Сила, система сил, свободное тело, степень свободы. Аксиомы статики, идеальные связи и их реакции (л-1.5ч.);

3. Система сходящихся сил.Геометрический способ сложения и разложения сил. Проекция силы на ось. Условия равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической формах. Теорема о трех силах. Примеры решения задач (л-2ч., п-1ч.);

4. Момент силы.Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Примеры решения задач. Пара сил.Пара сил, момент пары. Сложение пар сил, условия эквивалентности и равновесия системы пар сил (л-2ч., п-1ч.);

5. Произвольная система сил.Лемма Пуансо. Главный вектор и главный момент системы сил. Теорема Пуансо, условие равновесия произвольной системы сил (л-1ч., п-1ч.);

6. Система параллельных сил. Центр параллельных сил. Центр тяжести тела и методы его определения (л-1ч., п-1ч.);

7. Плоская система сил.Три формы условия равновесия плоской системы сил. Определение реакций связей в балках и рамах. Примеры решения задач (л-2ч., п-4ч.);

8. Расчет ферм. Основные понятия о фермах. Определение внутренних усилий в стержнях плоской фермы. Графический способ определения усилий в ферме. Примеры решения задач (л-2ч.,п-3ч.);

9. Трение. Законы трения скольжения. Равновесие тел при наличии трения. Кинематика точки. Примеры решения задач (л-2ч.,п-2);

10. Простейшие виды движения тела. Динамика материальной точки. Примеры решения задач (л-2ч., п-2ч.);

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Исходные данные по каждой задаче следует выбирать из приведенных таблиц в соответствии с личным шифром студента и четырьмя буквами русского алфавита. Первая цифра шифра - последняя цифра номера текущего года, вторая - последняя цифра номера группы, третья и четвертая – двузначный номер студента по списку группы у преподавателя (который может меняться от контрольной к контрольной).

Например, в 2037 г. студент 213 группы с порядковым номером по списку 05 имеет шифр 7305. Каждой цифре соответствует буква

7 3 0 5

б г д е

Контрольная №1. Определение реакций опор балок

1)

	Данные к балке 1
	L (м)	F (кН)	(кН/м)	(кНм)	xF (м)	x1 (м)	x2 (м)	xm (м)

Исх. данные, результат (контрольная №1, задача1)
№ гр	№ п/с

2)

Исх. данные, результат (контрольная №1, задача2)
№ гр	№ п/с

3)

Исх. данные, результат (контрольная №1, задача3)

№ гр.

№ п/с

L

Контрольная №2. Определение реакции опор рам

1)

2)

3)

Контрольная №3. Определение положения центра тяжести

Плоской фигуры

Исходные данные и геометрические характеристики фигуры
№ гр.	№ п/с	(cм)	(cм)	(cм)	(cм)	(cм)

Контрольная №4. Определение усилий в стержнях фермы

Исходные данные, номера стержней

№ гр.

№ п/с

d (м)

h (м)

F1 (кН)

F2 кН)

F3 (кН)

F4 кН)

F5 (кН)

Общие положения основ теории статики

1. Система сходящихся сил

Систему сил называют сходящейся, если линии их действия пересекаются в одной точке.

Теорема: система сходящихся сил эквивалентна (~) одной силе , называемой равнодействующей, которая равна геометрической сумме всех сил системы и проходит через точку пересечения линий их действия

,

Силовым многоугольником системы сходящихся сил называют многоугольник, построенный на ее векторах (силах). Построение многоугольника можно осуществить в произвольном порядке так, чтобы конец одного вектора являлся началом другого, переносимого параллельно его линии действия. Вектор , замыкающий силовой многоугольник, начало и конец которого совпадают соответственно с началом первого и концом последнего векторов системы, является геометрической суммой этой системы сил.

Зачастую величину и направление равнодействующей удобнее определять аналитически. Так, если за систему отсчета принять прямолинейные ортогональные оси координат Oxyz, то, в частности, задачу о сложении сил можно решить с помощью следующих соотношений

,

,

где - проекции соответственно на оси x, y, z; l, m, n - направляющие косинусы .

Существуют геометрическая и аналитическая формы условий равновесия системы сходящихся сил:

- (геометрическая) для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы ее силовой многоугольник был замкнут;

- (аналитическая) для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно равенства нулю сумм проекций всех сил системы на оси координат

В практических приложениях весьма полезным может оказаться утверждение следующей теоремы (теорема о трех силах): если свободное тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то эти силы расположены в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке. Так, например, для конструкции, изображенной на рис. 1, требуется определить, какие усилия возникают в ее элементах под действием силы тяжести груза G, если АВ - абсолютно гибкая нить и собственным весом стержня ВС можно пренебречь.

Строим силовую схему рассматриваемой конструкции (рис.2). Реакция закрепления нити в точке А направлена по ее оси. Линии действия и пересекаются в точке В, а поскольку система находится находится в равновесии, то на основании теоремы о трех силах можно заключить, что линия действия реакции в шарнирно-неподвижной опоре С направлена по оси СВ.

Любая часть конструкции, находящейся в равновесии, также находится в равновесии, что позволяет рассмотреть равновесие узла В (рис.3). Действие отброшенной части на рассматриваемую, согласно аксиоме о действии и противодействии, заменим усилиями , которые и являются искомыми по условию задачи. Определение N_AB, N_CB уже можно проводить как аналитически с помощью условий равновесия:

так и графически, путем построения силового многоугольника, который в масштабе в 1 см 2 Н изображен на рисунке. Знак минус при найденном значении N_CB указывает на то, что истинное направление противоположно показанному на рис.3, т.е. стержень СВ сжат.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

2.1. Условия равновесия плоской системы сил

Рассмотрим систему сил , расположенных в одной плоскости. Главный вектор системы лежит в этой плоскости, а вектор главного момента, как и его составляющие, всегда ортогонален ей.

Если в рассматриваемой плоскости введем систему координат Оxy, то для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно соблюдение следующих условий:

(1)

Возможны и другие формы условий равновесия плоской системы сил, эквивалентные (1), например

, , (2)

2.2. Определение реакций связей

Определение реакций связей тел и системы тел является одной из основных задач статики и первым шагом ее решения является построение силовой схемы.

Если уравнений равновесия достаточно для определения всех неизвестных усилий (включая реакции связей), то задачу по их определению и само исследуемое тело или систему тел (конструкцию) называют статически определимыми.

Если уравнений равновесия недостаточно для определения неизвестных усилий (включая реакции связей) системы, то ее, как и соответствующую ей задачу, называют статически неопределимыми. Методы решения статически неопределимых задач будем изучать в разделе «строительная механика».

Напомним, что различают внутренние и внешние связи. Внутренними называют связи, соединяющие между собой части составной конструкции и тела в систему тел. Внешними являются связи, соединяющие систему с телами, в нее не входящими, например, соединяющие систему тел с землей. Соответственно и реакции связей будем делить на внешние и внутренние. Таким образом, внешние реакции - это реакции опор, внутренние - это силы взаимодействия тел системы.

На следующих рисунках приведены примеры силового анализа – составления силовой схемы тел для двухопорной и консольной балок.

При рассмотрении составных конструкций – систем тел удобно воспользоваться методом расчленения системы на составляющие ее части. При этом следует помнить, что, согласно аксиоме о действии и противодействии, реакции внутренних связей равны по величине (модулю) и противоположны по направлению ^*. Условия равновесия составляют для каждого из тел системы

Рис.7.4

Рассмотрим пример составления уравнений равновесия при условии, что известны F₁, F₂ и все размеры конструкции:

Система расчленяется на два тела. При расчленении системы и рассмотрении равновесия составляющих ее частей мы получаем возможность перевести внутренние реакции связей в разряд внешних. Как видно из силовой схемы количество неизвестных реакций равно шести. Следовательно, задача по их определению и сама конструкция статически определимы.

Условия и уравнения равновесия части АД:

:

Условия и соответствующие им уравнения равновесия ВД:

:

Во избежание утомительных решений систем алгебраических уравнений равновесия следует варьировать формы применения условий равновесия и, в частности, выбирать моментные точки так, чтобы по возможности в каждое из рассматриваемых уравнений системы входило по одному еще не определенному неизвестному. Если значение какой-либо реакции получилось отрицательным, то это означает, что истинное направление ее противоположно указанному на силовой схеме.

3. Центр тяжести

При рассмотрении материальных тел, размерами которых можно пренебречь по сравнению с радиусом Земли, силы тяжести частей, составляющих тело, можно приближенно считать системой параллельных сил. Центром тяжести твердого тела называют неизменно связанную с этим телом точку С, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любых его положениях в пространстве.

Ограничимся рассмотрением методов определения центров тяжести плоских фигур. Для однородного тела, имеющего форму тонкой пластины постоянной толщины, существуют следующие формулы для определения координат ее центра тяжести:

(16)

где

(17)

- осевые статические моменты плоской фигуры относительно осей x и y, лежащих в ее плоскости; - площадь фигуры, A_k, x_k, y_k - площади и координаты центров тяжести частей, составляющих фигуру.

Основным свойством статического момента является то, что он равен нулю относительно осей, проходящих через центр тяжести фигуры. Отсюда, в частности, следует, что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит, соответственно, в этой плоскости, на этой оси или в этом центре.

Метод разбиения тела на части и метод отрицательных масс непосредственно определен формулами (16), (17). Разбиение фигуры производится на части, положения центров тяжести и площади которых могут быть легко определены. Метод отрицательных масс предполагает присвоение отрицательного знака площадям вырезов при рассмотрении многосвязных фигур.

Метод интегрирования работает при неприемлемости описанных выше формул, когда фигуру приходится разбивать на множество дифференциально малых частей. В пределе, при стремлении всех A_k к нулю, в (16) статические моменты следует считать согласно выражениям

4. Расчет ферм

Фермой называют стержневую систему, которая остается геометрически неизменяемой после условной замены в расчетной схеме жестких узлов шарнирами. Будем рассматривать лишь плоские фермы, у которых все стержни находятся в одной плоскости. Узлы - места соединения стержней фермы. Внешние нагрузки прикладывают в узлах фермы, поэтому каждый из ее стержней испытывает лишь растяжение или сжатие, т.е. находится под действием равных по величине и противоположно направленных осевых усилий.

Будем предполагать, что все силы, действующие на ферму, расположены в ее плоскости. Усилия в стержнях определяют согласно методу сечения, исходя при этом из следующих соображений: поскольку вся ферма под действием внешних сил и реакций опор находится в равновесии, то в равновесии находятся и ее части. В зависимости от вида этих частей различают следующие методы определения усилий:

а). Метод вырезания узлов. Усилия, действующие на узел, представляют собой плоскую систему сходящихся сил, и, следовательно, для определения неизвестных в нашем распоряжении лишь два условия равновесия, то есть ;

б). Метод Риттера предполагает рассмотрение равновесия любой из двух частей фермы, полученных в результате ее сечения. Необходимость удовлетворения трем условиям равновесия рассматриваемой плоской системы сил обусловливает требование попадания в разрез не более трех стержней с неизвестными усилиями. Если линии действия двух из трех неизвестных усилий имеют точку пересечения, то можно записать условие равенства нулю моментов сил, действующих на рассматриваемую часть фермы, относительно этой точки, которую называют «моментной». В результате получим уравнение с одним неизвестным, что, естественно, удобно.

Преимущество метода Риттера по сравнению с методом вырезания узлов в том, что усилие в любом стержне можно определить независимо от ранее найденных значений усилий в других стержнях и, следовательно, не происходит накопления ошибок вычислений.

В качестве примера приложения метода сечений определим усилия в стержнях АВ, ВД, ДС фермы, изображенной на рис.9,а. Рассмотрим сечение 1-1. Равновесие правой части фермы (рис.9,б) позволяет записать следующие три условия равенства нулю моментов относительно «моментных» точек:

.

При определении N_AB, N_ВД оказалось удобным воспользоваться теоремой Вариньона. Так, например,

.

Поскольку при проектировании фермы важно знать растянут или сжат тот или иной стержень, рекомендуем в силовых схемах частей фермы усилия изображать так, чтобы они вызывали растяжение стержня. Если численный результат определения усилия окажется отрицательным, то это означает, что соответствующий стержень сжат, в противном случае - растянут.

Примеры определения реакций опор балки

П-1.

Определим реакции опор 1-ой из трех задач 1-ой контрольной работы. В качестве исходных данных примем соответствующие шифру студента 112 группы, числящегося в списке преподавателя под №37.

б	г	д	е

Из таблицы исходных данных следует:

Проверка:

П-2.

Проверка:

Примеры определения реакций опор рам

(все рассматриваемые рамы соответствуют шифру студента 112 группы, числящегося в списке преподавателя под №37)

1)

Проверка:

2)

Проверка 1:

Проверка 2:

.

3)

Проверка:

Плоской фигуры

В качестве исходных данных примем соответствующие шифру студента 112 группы, числящегося в списке преподавателя под №37.

б	г	д	е

Из таблицы исходных данных следует:

№ части	Хi	Yi	Ai	Xi Ai	XiAi
	5,5	3,5		423,5	269,5
	7,331	9,67		322,5	425,3
		1,699	-25,12	-150,7	-42,7
	А=95,88	Sy=595,3	Sx=652,1

,

,

На рис. фигуры отмечаем положение т.С – ее центра тяжести.

Пример 2 определение положения центра тяжести плоской фигуры

Разбиваем данную фигуру на составляющие ее части: прямоугольник abek, треугольник ked и полукруг mnk. Фиксируем на рисунке положения их центров тяжести (т.т. О₁, О₂, О₃). При этом расстояние от центра круга до центра тяжести полукруга вычисляем по формуле

Положение центра тяжести фигуры определим относительно произвольно выбранной системы координат xKy с помощью формул

.

Обозначим через - координаты центров тяжести и площади составляющих фигуру частей, составим таблицу

Номер части	xi (дм)	yi (дм)	Ai (дм2)	xiAi (дм3)	yiAi (дм3)
	-5			-600
	-4	1,7	-25,13	100,5	-42,72

Так как

окончательно получим

Положение центра тяжести отметим на чертеже фигуры.

Пример выполнения 4-ой контрольной работы

«Определение усилий в стержнях фермы »

За исходные данные примем соответствующие шифру студента 112гр., числящего в списке преподавателя под №37.

б	г	д	е

Из таблицы исходных следует:

d=4м, h=5.2м, F₁=12кН, F₁=12кН, F₁=12кН, F₂=0, F₃=14кН, F₄=10кН, F₅=0.

Определению подлежат усилия в стержнях №№: 2, 3, 20, 10, 13, 19.

Определение реакций опор

Проверка:

Определение усилий

(для полноты картины определим усилия во всех стержнях фермы)

а) Метод вырезания узлов.

Узел А

Узел А1

Узел А4

Узел В

Узел А3

Узел А7

Сечение 1-1

–плечо силы N₅ относительно точки А.

.

Сечение 2-2

,

Узел А3

Сечение 3-3

,

.

Сечение 4-4

– плечо силы N₁₇ относительно

точки О.

Узел А7

.

Сечение 5

.

Сечение 6-6

– плечо силы N₂₂ относительно

точки О.