Континуальный подход в механике сплошных сред

Несмотря на победу атомизма, континуальный подход отнюдь не оказался «выброшенным на свалку». Такой подход был успешно применен в механике сплошных сред, которая включает в себя гидродинамику, акустику, теорию упругости и другие области физики. В соответствии с этим подходом среда считается непрерывной, бесструктурной, а каждый элемент ее объема взаимодействует со всеми соседними элементами по законам классической механики. Это никак не противоречит предположению о реальной дискретной структуре вещества на микроуровне, если рассматриваемые элементы объема среды, хоть и достаточно малы, но все же содержат в себе большое число частиц. Другими словами, при таком подходе среда считается непрерывной в «макроскопическом» смысле, оставаясь дискретной на микроуровне. Не затрагивая онтологическую сторону вопроса о структуре вещества, континуальный подход в указанных областях естествознания имел целью, прежде всего, упростить математический анализ движения объектов, состоящих из огромного числа частиц. Именно здесь был разработан математический аппарат теории поля1, который в дальнейшем оказался востребованным для описания материальных объектов иной, отличной от вещества, природы - электромагнитного и гравитационного поля.

В основе теоретико-полевого формализма, применяемого в механике сплошных сред, лежит специфический способ описания состояния вещественных объектов, который можно продемонстрировать на примере идеальной несжимаемой жидкости. Вместо того чтобы, как это делалось в механике материальных течек, указывать состояние (положение и скорость) каждой частицы (атома, молекулы) такой жидкости и следить за изменением этих состояний, отмечают скорость

v ( r ), которую имеют в каждой точкеr пространства проходящие через нее частицы. Другими словами, состояние рассматриваемой жидкости в момент времени t при таком способе характеризуется векторной функцией v(r, t), определенной одновременно во всех точках (!) непрерывного пространства. При этом говорят, что задано поле скоростей жидкости.

В общем случае если некоторая физическая величина имеет определенное значение в каждой точке или части пространства, то таким образом определяется поле этой величины, и если данная величина - скаляр (температура, давление, плотность и т.п.), то и поле ее называется скалярным, а если же данная величина есть вектор (скорость, деформация, напряжение, сила и т.п.), то поле, ею определяемое, называется векторным.

Для наглядного изображения полей часто применяют графические изображения, служащие как бы «портретами» соответствующих функций. Скалярные поля удобно изображать поверхностями (если поле трехмерное) или линиями (в случае двумерного, плоского поля), на которых значение функции одно и тоже. Такие рисунки (рис. 4.1) напоминают топографические карты с нанесенными на них замкнутыми линиями одинаковой высоты. Для изображения векторных полей пользуются линиями поля - непрерывными линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с векторами поля. Обычно проводят не все возможные линии поля, а только их часть, так что «густота» этих линий численно равна модулю вектора поля в данном месте пространства (рис. 4.2).

Y

Х

Рис. 4.1. Скалярное поле

Y

vv

X

Рис. 4.2. Векторное поле

Поле является, конечно, более сложным математическим объектом по сравнению с траекторией r(t), которая описывает движение материальной точки. Например, для изображенного на рис. 4. 1 скалярного поля j ( r ) скорость изменения функции j ( r ) в каждой точке r различна для разных направлений в пространстве. Вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции j ( r ) и равный по модулю скорости этого возрастания, называется градиентом и обозначается grad j (r ).

Для описания дифференциальных свойств векторных полей v ( r ) используются более сложные характеристики, такие как дивергенция div v ( r ) и ротор rot v ( r ). С помощью этих характеристик может быть получена важная информация о структуре поля, например, являются ли линии поля замкнутыми, как распределены в пространстве источники данного поля и др.

Основная задача механики сплошных сред - расчет скалярных и векторных полей по заданным значениям их векторных производных1 - в общем случае связана с решением дифференциальных уравнений в частных производных, которые являются более сложными математическими структурами, чем обыкновенные дифференциальные уравнения типа F =ma. Методы решения уравнений в частных производных изучаются специальным разделом математики - математической физикой. Дифференциальные уравнения в частных производных, как и обыкновенные дифференциальные уравнения, сами по себе имеют бесчисленное множество решений. Для однозначного определения искомого поля к этим уравнениям нужно добавить дополнительные условия. Таковыми являются начальные v (r, t = 0) =

v₀ (r ) и граничныеv (rÎ S, t) = v_s (t) условия.

Следует указать, что механика сплошных сред, в соответствии с современной терминологией, относится к динамическим теориям, так как позволяет однозначно предсказать состояние рассматриваемого объекта в будущем.