Эпюры и линии влияния внутренних силовых факторов в стержневых системах

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ

(с примерами и пояснениями)

Учебное пособие

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

УДК 624.07(07) М487

Мельчаков А.П., Никольский И.С. Сборник задач по строительной механике (с примерами и пояснениями): Учебное пособие. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2004 – 58 с.

Учебное пособие содержит задачи по курсу строительной механики статически определимых стержневых систем и состоит из двух частей. Первая часть сборника включает задачи по построению эпюр и линий влияния внутренних усилий в разных по типу конструкциях (балки, рамы, фермы, распорные системы). Вторая часть сборника содержит задачи на определение перемещений в стержневых системах от различных внешних воздействий. В сборнике к каждому типу задач приводятся пример решения, необходимые пояснения и требуемые для самостоятельного изучения темы учебники и учебные пособия.

Пособие предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения.

Авторы выражают глубокую благодарность Соломину В.И. и Сытнику А.С. за помощь при подготовке учебного пособия.

Ил. 223, табл. 16, список лит. 6.

Одобрено учебно-методической комиссией архитектурно-строительного факультета.

Рецензенты: В.А. Жилкин, С.Б. Шматков.

ISBN © Издательство ЮУрГУ, 2004.
ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Расчет однопролетных балок. 5

1.2. Расчет многопролетных балок. 11

1.3. Расчет плоских рам.. 20

1.4. Расчет балочных ферм.. 29

1.5. Расчет распорных и комбинированных систем.. 37

2. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

2.1. Расчет перемещений от нагрузки. 40

2.2. Расчет перемещений от изменения температуры.. 47

2.3. Расчет перемещений от кинематического воздействия. 53

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель сборника – помочь студенту усвоить законы статики кинематически неизменяемых плоских стержневых систем. От обычных учебников по строительной механике сборник отличается значительным многообразием расчетных схем конструкций, в которых требуется построить эпюры и линии влияния внутренних силовых факторов, либо определить линейные и угловые перемещения заданных сечений. Задачи в сборнике расположены по возрастающей сложности, при этом к каждому типу задач приводится пример расчета, необходимые для решения задач пояснения и требуемые для самостоятельного изучения темы учебники и учебные пособия.

Первая часть сборника посвящена статике стержневых систем, не имеющих «избыточных» (лишних) связей. Для определения внутренних сил в них достаточно знать (и уметь применять) только законы равновесия. В этой части приведены задачи, которые позволят студенту освоить методы и технику построения эпюр внутренних силовых факторов и линий влияния в различных по сложности стержневых системах.

Вторая часть сборника посвящена проблеме определения перемещений в стержневых системах от различных внешних воздействий (нагрузка, изменение температуры, кинематическое воздействие).

Сборник задач может быть использован на практических занятиях по строительной механике, при промежуточном контроле знаний студентов, а также на зачетах и экзаменах.

ЭПЮРЫ И ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

Расчет однопролетных балок

Формулировка задачи

Для одной из однопролетных балок, изображенных на рис. 1.1.1 – 1.1.25 требуется:

- построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечениях n и k;

- определить усилия в сечениях n и k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.1.

Таблица 1.1

Номер варианта
a, м
b, м
c, м
d, м
M, кНм
F, кН
q, кН/м

Пример решения задачи Исходные данные: схема балки на рис. 1.1.25; a=2м; b=2м; c=2м; d=2м; M=8кНм; F=2кН; q=1кН/м.

а) Эпюры внутренних силовых факторов (рис. 1.1.26)

б) Линии влияния внутренних силовых факторов в сечениях n и k (рис. 1.1.27)

в) Определение внутренних усилий S (изгибающего момента или поперечной силы) в сечениях n и k по формуле влияния:

tg ,
где	M – сосредоточенный момент («+» - направлен по часовой стрелке, «-» - направлен против часовой стрелки);
	α – наклон линии влияния в месте приложения M;
	F – сосредоточенная сила («+» - направлена вниз, «-» - направлена вверх);
	y – ордината линии влияния под силой;
	q – интенсивность распределенной нагрузки («+» - направлена вниз, «-» - направлена вверх);
	ω – площадь линии влияния под нагрузкой.

кНм,

,

кНм,

кН.

Значение усилий совпали с соответствующими усилиями на эпюрах.

Пояснение к решению задачи

1) Для построения линий влияния в балках целесообразно воспользоваться статико-кинематическим методом. Суть метода заключается в том, что вначале определяется вид линии влияния. Для этого из балки удаляется связь, линию влияния усилия в которой требуется построить. В полученном таким образом механизме с одной степенью свободы строится эпюра возможных перемещений (рис. 1.1.28). В теории линий влияния на основе принципа возможных работ доказано, что вид линии влияния совпадает с очертанием этой эпюры. При известном очертании линии влияния любую ее ординату несложно вычислить из законов статики. Для этого достаточно установить единичный груз над ординатой, отделить часть балки, содержащей искомое усилие, и рассмотреть равновесие этой части.

Примечание. Знак линии влияния определиться автоматически, если возможное перемещение механизму задать в направлении, совпадающем с положительным направлением искомого усилия.

2) При определении усилий по линиям влияния следует помнить, что внешний сосредоточенный момент вносится в формулу влияния со знаком «+», если направлен по часовой стрелке, внешняя сосредоточенная сила и распределенная нагрузка со знаком «+», если направлены вниз. Такие правила приняты при выводе формулы влияния. Знак же тангенса определяется обычным образом, т.е. в первой и третьей четвертях он положительный (если линия влияния не перевернута).

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

Расчет многопролетных балок

Формулировка задачи

Для одной из многопролетных балок, изображенных на рис. 1.2.1 – 1.2.25 требуется:

- построить эпюры внутренних силовых факторов и линии влияния внутренних усилий в сечении k;

- определить усилия в сечении k по линиям влияния от заданной нагрузки и сравнить их с усилиями на эпюрах;

- найти максимальное и минимальное значение изгибающего момента в сечении k от подвижной системы связанных грузов, показанной на рис. 1.2.26.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.2.

Таблица 1.2

Номер варианта
l, м
M, кНм
F, кН
q, кН/м

Пример решения задачи Исходные данные: схема балки на рис. 1.2.25; l=2 м; M=4кНм; F=2 кН; q=2 кН/м.

а) Кинематический анализ системы

1) Степень свободы системы

.

2) Геометрическая неизменяемость многопролетной балки следует из анализа ее «монтажно-поэтажной» схемы, показанной на рис.1.2.27. Все диски на этой схеме имеют необходимое число правильно установленных связей. Следовательно, многопролетная балка является статически определимой системой.

б) Реакции в связях Силы, обеспечивающие равновесие дисков балки, показаны на рис.1.2.28.   Из уравнений равновесия для диска А-1 находятся реакции: х1= 0; уА= –1 кН; у1= 1 кН.   Из уравнений равновесия для диска 1–2 находятся реакции: х2= 0; уВ= 2 кН; у2= 5 кН.   Из уравнений равновесия для диска 2-Д находятся реакции: xD=0; уС= 17,5 кН; уD= –4,5 кН.   Правильное направление и величины найденных реакций показаны на рис.1.2.29.

в) Эпюры внутренних силовых факторов

г) Линии влияния внутренних силовых факторов в сечении k

д) Определение внутренних силовых факторов в сечении k по линиям влияния

кНм,

кН.

Знаки и значения усилий совпали со знаками и значениями усилий на эпюрах.

е) Определение невыгодного загружения линии влияния изгибающего момента в сечении k подвижной системой связанных грузов, показанной на рис. 1.2.26

1) На рис. 1.2.32 показано положение системы грузов, при котором в сечении k возникает максимальный (наибольший со знаком плюс) изгибающий момент. Критическим грузом является сила 4 кН, так как при переходе этого груза через вершину знак производной М_k меняется с «+» на «–»:

,

.

кНм.

2) На рис. 1.2.33 показано положение системы грузов, при котором в сечении k возникает минимальный (наибольший со знаком минус) изгибающий момент. Критическим грузом является сила 4 кН, так как при переходе этого груза через вершину знак производной М_k меняется с «–» на «+»:

,

.

.

Пояснения к решению задачи

1) Стержневая система является статически определимой, если степень ее свободы W равна нулю и она геометрически неизменяемая. В геометрически неизменяемых системах перемещения от нагрузок являются следствием только деформаций ее элементов. Для многопролетных статически определимых балок анализ геометрической неизменяемости проще выполнять через построение т.н. «монтажно-поэтажной» схемы, показывающей последовательность монтажа отдельных балок. На каждом «этаже» такой схемы должно присутствовать три связи (см. рис. 1.2.27).

2) При определении реакций в связях многопролетной статически определимой балки целесообразно воспользоваться наиболее общим подходом, заключающимся в том, что любая многодисковая статически определимая система может быть представлена в виде набора отдельных дисков с действующими на них внешними нагрузками и реакциями связей, обеспечивающих им равновесие в составе системы. В теории статически определимых систем доказано, что число независимых уравнений статики в точности равно числу реакций в связях, включая и силы взаимодействия в шарнирах, которые на смежные диски прикладываются в соответствии с законом Ньютона «действие равно противодействию», т.е. равными и противоположно направленными.

Примечание. Сосредоточенные внешние силы, действующие на шарниры, можно приложить к любому из смежных дисков.

После построения эпюр внутренних силовых факторов в отдельных дисках они объединяются и образуют эпюры для многопролетной балки в целом (см. рис. 1.2.30).

3) При построении линий влияния усилий в многопролетных балках проще всего воспользоваться статико-кинематическим методом, описание которого приведено в пояснениях к разделу 1.1. Поскольку линии влияния усилий в статически определимых системах имеют полигональный вид, то достаточно найти всего одну наиболее просто определяемую из условий равновесия ординату этой линии влияния. В примере определена ордината, когда единичный груз установлен над сечением k. При таком положении груза второстепенные балки (см. рис. 1.2.27) не работают, их можно отбросить и из законов равновесия определить изгибающий момент и поперечную силу в сечении k основной балки.

4) Правила определения усилий по линиям влияния и формула влияния приведены в разделе 1.1.

5) Определение максимального и минимального значений усилия S от подвижной системы связанных между собой сосредоточенных грузов требует нахождения невыгодного загружения линии влияния этой системой грузов. В теории линий влияния доказано, что в при невыгодном загружении один из грузов (критический) должен находиться над одной из вершин (критической) линии влияния: над выпуклой, если отыскивается maxS, и вогнутой, если отыскивается minS (линия влияния при этом не должна быть перевернута). Условием, что груз и вершина действительно критические, является смена знака производной усилия при переходе грузом вершины: с «+» на «–», если отыскивается maxS, и с «–» на «+», если minS. Производная усилия определяется по формуле:

tg
где	Fi – сосредоточенный груз;
	ai – угол наклона линии влияния в месте приложения сосредоточенного груза Fi.

Задача нахождения критического груза и критической вершины решается перебором возможных вариантов. Определение maxS и minS осуществляется по формуле влияния

,
где	Fi – сосредоточенный груз;
	уi – ординаты линии влияния усилия S под сосредоточенными грузами, установленными в положение невыгодного загружения.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

Расчет плоских рам

Формулировка задачи

Для одной из рам, изображенных на рис. 1.3.1 – 1.3.25, требуется:

- выполнить кинематический анализ;

- определить реакции в связях, включая силы взаимодействия в шарнирах;

- построить эпюры внутренних силовых факторов.

Исходные данные для расчета принять из табл.1.3

Таблица 1.3

Номер варианта
l, м
h, м
F, кН
M, кНм

Пример решения задачи Исходные данные: схема рамы на рис. 1.3.25; l=2 м; h=2 м; M=4 кНм; F=4 кН.

а) Кинематический анализ рамы

1) Степень свободы системы

.

2) Рама представляет собой неизменяемую фигуру (рис. 1.3.27), состоящую из трех дисков, соединенных между собой шарнирами А, 1 и 2, не лежащими на одной прямой. Следовательно, геометрическая неизменяемость рамной конструкции обеспечена.

б) Реакции в связях

Силы, обеспечивающие равновесие дисков рамы, показаны на рис. 1.3.28.

Направление и величины реакций х_А, у_А, х_В, у_В, М_В, х₁, у₁, х₂, у₂, найденных из 9-и уравнений равновесия (по три для каждого диска), показаны на рис.1.3.29.

в) Эпюры внутренних силовых факторов в дисках рамы

Эпюры продольных сил (кН)

Эпюры поперечных сил (кН)

Эпюры изгибающих моментов (кНм)

г) Проверка равновесия жестких узлов С и D

Узел С	Узел D
SX = 0; SY = 0; SMC = 0.	SX = 0; SY = 0; SMD = 0.

Пояснения к решению задачи

1) Кинематический анализ производится с целью доказательства, что рассматриваемая рамная конструкция является статически определимой, т.е. она не имеет избыточных («лишних») связей и обеспечена ее геометрическая неизменяемость. Процедура анализа геометрической неизменяемости включает отыскание в раме связанных дисков, в совокупности образующих простейшие неизменяемые фигуры, к которым относятся:

а) три диска, соединенных тремя не лежащими на одной прямой простыми шарнирами (см. рис. 1.3.27.);

б) два диска, соединенные тремя простыми не параллельными и не пересекающимися в одной точке связями.

При этом земля рассматривается как неизменяемый и неподвижный диск.

2) При определении реакций в связях статически определимой рамы целесообразно воспользоваться наиболее общим подходом, заключающимся в том, что любая многодисковая статически определимая система может быть представлена в виде набора отдельных дисков с действующими на них внешними нагрузками и реакциями связей, обеспечивающих им равновесие в составе системы. В теории статически определимых систем доказано, что число независимых уравнений статики в точности равно числу реакций в связях, включая и силы взаимодействия в шарнирах, которые на смежные диски прикладываются в соответствии с законом Ньютона «действие равно противодействию», т.е. равными и противоположно направленными.

Примечание. Сосредоточенныевнешние силы, действующие на шарниры, можно приложить к любому из смежных дисков.

3) Определение внутренних силовых факторов в дисках производится методом сечений, суть которого состоит в следующем:

а) разрезают диск на две части так, чтобы в разрез попало поперечное сечение, в котором отыскиваются внутренние силовые факторы;

б) отбрасывают одну часть диска (любую), а ее действие заменяют усилиями N, Q и M;

в) для рассматриваемой части диска составляют три независимых уравнений равновесия, из которых определяются величины и направления внутренних силовых факторов.

4) Для проверки равновесия жестких узлов с построенных эпюр в сечениях, максимально приближенных к узлам, снимаются внутренние силовые факторы и с учетом знака усилия прикладываются к узлам. Проверяется выполнение условий равновесия, при составлении которых необходимо учесть внешние сосредоточенные силы или моменты, непосредственно приложенных к узлу.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)
624.07(07) М487	А.П. Мельчаков, А.С. Сытник. Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских рамах. Учебное пособие.

Расчет балочных ферм

Формулировка задачи

Для одной из балочных ферм, изображенных на рис. 1.4.1 – 1.4.25 требуется:

- определить аналитически усилия в отмеченных стержнях от неподвижной нагрузки в виде сосредоточенных сил F, приложенных в каждом узле прямолинейного пояса фермы;

- построить линии влияния усилий для отмеченных стержней при «езде» по прямолинейному поясу фермы;

- вычислить по линиям влияния усилия в отмеченных стержнях от сил F и результаты сравнить со значениями усилий, полученными аналитически.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.4.

Таблица 1.4

Номер варианта
l, м			1,5	1,5			2,5
h, м		1,5	0,75	1,75
F, кН

Пример решения задачи

Исходные данные: схема фермы на рис. 1.4.25; l=4 м; h=3 м; F=3кН.

а) Аналитическое определение усилий в отмеченных стержнях от неподвижной нагрузки

кН

кН

кН

кН.

б) Линии влияния усилий для отмеченных на схеме стержней

(уравнение правой ветви)

(уравнение правой ветви)

в) Определение усилий в отмеченных стержнях по формуле влияния от сил F=3 кН.

кН,

кН,

кН,

кН.

Пояснения к решению задачи

1) Аналитический способ нахождения усилий от неподвижной нагрузки требует рассмотрения равновесия отсеченной части фермы, содержащей определяемое усилие.

2) Основой для построения линий влияния в стержнях фермы, в большинстве случаев, являются линии влияния опорных реакций, вид и значение ординат которых очевиден. Задача, как правило, сводится к нахождению связи внутреннего усилия с реакциями опор через законы равновесия и последующего перемасштабирования линий влияния реакций. В приведенном примере связь усилия в стержне 1–2 с реакцией R_A, когда груз находится справа от разреза I, определена из равенства нулю моментов относительно точки (узла) 4 для левой отсеченной части фермы. В результате получено уравнение правой ветви, а левая ветвь, как известно, пересекается с правой в точке, лежащей на одной вертикали с моментной точкой (узлом) 4. Для усилия в стержне 2–4 ветви линии влияния параллельны, поскольку связь с реакцией определяется уравнением равновесия . Для построения линии влияния усилия в стержне 1–4 использована связь этого усилия с усилием в стержне 1–3 из равновесия узла 1, а линия влияния усилия в стержне 1–3 легко построить, если рассмотреть равновесие узла 3.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)

Формулировка задачи

Для одной из стержневых систем, изображенных на рис. 1.5.1 – 1.5.24 требуется:

- выполнить кинематический анализ;

- определить внутренние силовые факторы в указанных сечениях.

Исходные данные для расчета принять из табл. 1.5.

Таблица 1.5

Номер варианта
l, м		1,5		1,75
F, кН

Пример решения задачи

Этот раздел предусмотрен для студентов, желающих доказать, что они способны решать задачи статики стержневых систем повышенной сложности. Поэтому пример решения здесь не приводится.

Пояснения к решению задачи

1) В распорных системах при вертикальной нагрузке возникают реакции (распор) в горизонтальных связях (затяжках, распорках и др.). Найдите реакции в связях.

2) Сложности возникают не только при определении реакций в связях, но и при доказательстве, что рассматриваемая конструктивная схема является статически определимой, т.е. кинематически неизменяемой, у которой степень свободы равна нулю. Преодолейте эти трудности.

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (под ред. Г.К. Клейна)
624.07(07) М487	А.П. Мельчаков, А.С. Сытник. Построение эпюр внутренних силовых факторов в плоских рамах. Учебное пособие.

Формулировка задачи

Для одной из рам, изображенных на рис. 2.1.1 – 2.1.25, требуется определить линейное перемещение сечения m и угол поворота сечения n. Расчет перемещений выполнить с учетом податливости сжато-растянутых стержней и упругих связей (пружин). Для расчета принять:

- жесткость изгибаемых стержней EI постоянной по длине и одинаковой для всех элементов рамы;

- жесткость сжато-растянутых стержней EA= EI /l²;

- податливость пружин l³/EI.

Исходные данные для расчета принять из табл. 2.1.

Таблица 2.1

Номер варианта
q, кН/м				3,5	2,5	1,5
l, м	3,5	2,5	1,5
h, м				1,5	2,5	3,5

Пример решения задачи Исходные данные: схема рамы на рис. 2.1.25; l=2 м; h=2 м; q=3 кН/м.

а) Расчетная схема рамы, эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от нагрузки

б) Эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от единичной силы, приложенной в сечении m

в) Эпюра изгибающих моментов и значение продольной силы в элементе ab от единичного момента, приложенного в сечении n

г) Линейное перемещение сечения m (Δ_m) и угловое перемещение сечения n (φ_n), найденные по формуле Мора

,
где	M1, MF – эпюра моментов соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки;
	N1, NF – продольная сила в элементе ab соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки;
	R1, RF – реакция в пружине соответственно от единичного воздействия и заданной нагрузки.

(м).

(рад).

Пояснения к решению задачи

1) При построении эпюр изгибающих моментов использован прием, состоящий в том, что предварительно определена продольная сила в сжато-растянутом стержне ab. Для этого было записано выражение изгибающего момента относительно шарнира в отсеченной части, отделенной разрезом от рамы по шарниру и элементу ab, и этот момент приравнен к нулю.

2) В формуле Мора первый член учитывает влияние на величину перемещения изгиба стержней рамы. Для участков с криволинейной эпюрой изгибающих моментов этот член рекомендуется вычислять по формуле Симпсона, т.е.

,
где	(M1×MF)н, (M1×MF)с, (M1×MF)к – произведение значений изгибающих моментов соответственно в начале, середине и конце участка.

На участках с прямолинейной эпюрой M_F вычисление интеграла проще произвести по правилу Верещагина, т.е.

,
где	w– значений площадь эпюры MF у – ордината на эпюре M1 под (над) центром тяжести эпюры MF

3) Второй член формулы Мора учитывает влияние на величину отыскиваемого перемещения податливости сжато-растянутых стержней рамы. Этот член записан в форме решения интеграла Мора для случая, когда N₁ и N_F = const.

4) Третий член в формуле Мора учитывает влияние на величину отыскиваемого перемещения податливости упругих связей (пружин). Он также представлен в форме решения интеграла Мора по аналогии с предыдущим пунктом, если произвести замену N₁ на R₁, N_F на R_F, а вместо EA поставить жесткость пружины EI /L².

Учебники (учебные пособия)

Шифр библиотеки ЮУрГУ	Автор(ы), название учебника (учебного пособия)
624.04(07) А697	Н.Н. Анохин. Строительная механика в примерах и задачах. Часть I. Статически определимые системы.
624.04(07) С863	А.Ф. Смирнов и др. Строительная механика (стержневые системы).
624.04(07) С535	Снитко Н.К. Строительная механика
624.04(07) Д203	А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. Строительная механика.
624.04(07) Р851	Руководство к практическим занятиям по к