Основы динамики системы материальных точек

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давле­ния, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от

n

суммарной массы системы m = ∑ Δ m k, где Δ m k -- масса отдельных точек

механической системы.

124 Лекция 17

Движение системы зависит и от положения центра масс си­стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.

Основное уравнение динамики при поступательном движении тела

Для определения движения тела (системы материальных точек) можно использовать второй закон динамики

где m — суммарная масса тела; а_с— ускорение центра масс тела.

В поле земного притяжения центр масс совпадает с центром тяжести.

Моменты инерции некоторых тел

126 Лекция 17

Примеры решения задач

Пример 1.Автомобиль двигался со скоростью 54 км/ч. В ре­зультате резкого торможения автомобиль остановился. Определите время торможения, если коэффициент трения между поверхностью дороги и колесами автомобиля 0,36.

Решение

Принимаем автомобиль за материальную точку (рис. 17.8).

1. Считаем, что торможение произошло только за счет трения.
Используем теорему об изменении количества движения. Начальная скорость

54∙1000

vo = ——— = 15 м/с. По теореме изменения количества движения mv — mvo = F_Tt.

Конечная скорость v = 0 (остановка).

2. Тормозная сила F_T = —fR.

R = G = тq,

здесь R — сила прижатия; f— коэффициент трения; G — сила тяжести; т — масса автомобиля; q — ускорение свободного падения; q = 9,81м/с².

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 127

3. После подстановок получаем формулу для определения вре­мени торможения.

Пример 2.После отключения двигателя колесо радиусом 0,5 м и массой 700 кг имело угловую частоту вра­щения 300 об/мин. Определите момент трения в подшипниках, если вал колеса остановился через 1,5 мин. Вращение принять равнопере­менным, колесо считать сплошным цилиндром (рис. 17.9).

Решение

1. Запишем уравнение динамики при вращении:

где M∑ — суммарный момент внешних сил; J — момент инерции; ε — угловое ускорение; М_дв — движущий момент; М_тр — момент трения (сил сопротивления).

2. Определим угловое ускорение по формуле для угловой скорости при равно-переменном движении:

128 Лекция 17

Тогда

3. Определим момент инерции колеса, считая его сплошным цилиндром:

4. Определяем величину тормозного момента — момента трения
в подшипниках: М_дв = 0; —М_тр = Jε;

-М_тр = 87,5(-0,35); М_тр = 30,625 Н∙м.

Пример 3. Шкив приводится во вращение ременной передачей (рис. 17.10). Натяжение ведущей ветви ремня S1 = 120 Н, ведомой — S2 = 50 Н. Масса шкива 200 кг, диаметр 80 мм, момент сопроти­вления в подшипниках 1,2 Н∙м. Определить угловое ускорение вала, пренебрегая его массой. Шкив считать тонкостенным цилиндром.

Решение

1. Используем основное уравнение ди­намики M∑ = Jε.

2.Определяем суммарный момент внешних cил

3. Рассчитываем момент инерции шкива, влиянием вала пренебрегаем:

4. Определяем угловое ускорение шкива

Тема 1.15. Общие теоремы динамики 129

Контрольные вопросы и задания

1. Тело массой 10 кг поднято на высоту 6 м. Определите потенциальную энергию тела и работу, которую совершит тело при падении с этой высоты.

2. Материальная точка массой 16 кг, движущаяся со скоростью 10 м/с, остановилась через 40 с. Определите величину тормозной силы.

3. Тело массой 9,2 кг двигалось из состояния покоя 3с с ускорением 4 м/с² под действием силы F. Определите запас кинетической энергии, накопленный телом.

4. Сплошной однородный цилиндр вращается вокруг продольной оси (рис. 17.11). От каких параметров зависит момент инерции

5. Определите вращающий момент на шкиве (рис. 17.12); d = 60 мм.

6. По результату решения предыдущей задачи (вопрос 5) определите момент инерции шкива, если, двигаясь из состояния покоя, он приобрел угловую скорость 50 рад/с за 10 с.

Примечание. При ответах на контрольные во­просы ускорение свободного па­дения можно принимать равным 10 м/с².

5 - 8060 Олофинская

130 Практическое занятие 1

Практическое занятие 1

Расчетные формулы

Равнодействующая системы сил

где F∑x, F∑_y — проекции равнодействующей на оси координат;

Fkx, Fky —проекции векторов-сил системы на оси координат.

где α∑_х — угол равнодействующей с осью Ох.

Условие равновесия

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, мно­гоугольник сил должен быть замкнут.

Пример 1. Определение равнодействующей системы сил

Определить равнодействующую плоской системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим способами (рис. П1.1). Дано:

Практическое занятие 1 131

Решение

1. Определить равнодействующую аналитическим способом (рис. П1.1а).

132 Практическое занятие 1

С помощью транспортира в масштабе 2 мм = 1 кН строим много­угольник сил (рис. П1.16). Измерением определяем модуль равно­действующей силы и угол наклона ее к оси Ох.

Результаты расчетов не должны отличаться более чем на5 %:

Решение

1. Определяем вероятные направления реакций (рис. П1.2а). Мысленно убираем стержень АВ, при этом стержень С В опускается, следовательно, точка В отодвигается от стены: назначение стержня АВ — тянуть точку В к стене.

Если убрать стержень СВ, точка В опустится, следовательно, стержень СВ поддерживает точку В снизу — реакция направлена вверх.

2. Освобождаем точку В от связи (рис. П1.26).

3. Выберем направление осей координат, ось Ох совпадает с реакцией R1.

4. Запишем уравнения равновесия точки В:

134 Практическое занятие 1

5. Из второго уравнения получаем:

Вывод: стержень АВ растянут силой 28,07 кН, стержень СВ сжат силой 27,87 кН.

Примечание. Если при решении реакция связи окажется отрицательной, значит, вектор силы направлен в противоположную сторону.

В данном случае реакции направлены, верно.

Темы 1.1, 1.2. Статика.

Практическое занятие 2

Расположенных сил

Знать теорему Пуансо о приведении силы к точке.

Уметь приводить произвольную плоскую систему сил к точ­ке, определяя величины главного вектора и главного момента сис­темы.

Знать три формы уравнений равновесия и уметь ими пользо­ваться при определении реакций в опорах балочных систем.

Работе

1. Перенести силу F в точку А, используя теорему Пуансон (рис. П2.3). F = 20 кН; АВ = 6 м; ВС = 2 м.

2. Привести систему сил к точке В, определить главный вектор
и главный момент системы сил (рис. П2.4). АВ = 2 м; ВС = 1,5 м;
CD = 1м. F1 = 18 кН; F₂ = 10 кН; F₃ = 30 кН; т = 36кН∙м.

Практическое занятие 2 139

3. Система сил находится в равновесии. Определить величину
момента пары т (рис. П2.5). F1 = F'₁ = 10кН; F₂ = F'₂ = 20 кН.

4. Нанести реакции в опорах балок 1 и 2 (рис. П2.6).

5. Определить величину реакции в опоре А. Приложена распределенная нагрузка интенсивностью q = 5кН/м (рис. П2.7).

6. Записать систему уравнений равновесия для определения ре­акций в опоре защемленной балки.

7. Записать систему уравнений равновесия для определения ре­акций в опорах двухопорной балки, закрепленной на двух шарнирах.

140 Практическое занятие 2

Основы динамики системы материальных точек

Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой.

Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая система, образуемая совокупностью материальных точек.

Из определения механической системы следует, что движение каждой из точек, входящих в систему, зависит от движения осталь­ных точек.

Силы, действующие на точки системы, делятся на внешние и внутренние. Силы взаимодействия между точками этой системы называют внутренними. К внешним силам относятся силы, действу­ющие со стороны точек, не входящих в эту систему.

Примерами внешних сил являются сила тяжести, сила давле­ния, сила трения и др.

К внутренним силам относятся силы упругости.

Движение механической системы зависит не только от внешних сил, но и от

n

суммарной массы системы m = ∑ Δ m k, где Δ m k -- масса отдельных точек

механической системы.

124 Лекция 17

Движение системы зависит и от положения центра масс си­стемы — условной точки, в которой сосредоточена вся масса тела. Обычно считают, что в центре масс приложены все внешние силы.

Движение центра масс определяет движение всей системы толь­ко при поступательном движении, при котором все точки тела дви­жутся одинаково.