Неравномерное движение. Ускорение

Если скорость тела (материальной точки) с течением времени изменяется по величине или направлению, то такое движение называется неравномерным. Векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости по модулю и направлению, называется ускорением. Среднее ускорение за промежуток времени Δt:

, (1.1)

где - изменение вектора скорости за время Δt.

Переходя к пределу в формуле (1.1), получаем выражение для мгновенного ускорения:

.

Вектор ускорения может быть выражен следующими способами:

· в виде суммы составляющих по осям координат

,

где − проекции вектора ускорения на соответствующие оси;

· в виде суммы взаимно перпендикулярных векторов тангенциального (касательного) и нормального ускорений (здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором все точки траектории лежат в одной плоскости – (рис.1.3)

,

где – единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости, т.е. по касательной к траектории; – единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно к . Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости:

. (1.2)

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Его модуль:

, (1.3)

где R – радиус кривизны траектории в данной точке. Модуль полного ускорения равен

. (1.4)

Разным сочетаниям тангенциального и нормального ускорений соответствуют различные виды плоского движения, приведенные в табл.1.

Таблица 1

Виды плоского движения

		Вид движения
		Прямолинейное равномерное
const		Прямолинейное равнопеременное
		Прямолинейное неравномерное
	const	Равномерное по окружности
	≠ 0	Криволинейное равномерное
const	≠ 0	Криволинейное равнопеременное
	≠ 0	Криволинейное неравномерное

Кинематические уравнения

Кинематические уравнения – это уравнения, показывающие зависимость основных кинематических характеристик (радиуса-вектора, координат, скорости, ускорения) от времени. В случае произвольного движения эти уравнения могут быть весьма сложными. Ниже приведены кинематические уравнения для некоторых простых случаев.

1.4.1. Равномерное прямолинейное движение

Это такое движение, при котором материальная точка (тело) за любые равные промежутки времени проходит одинаковые отрезки по прямой. Уравнение скорости для такого движения имеет вид:

. (1.5)

Выразим отсюда элементарное перемещение и, проинтегрировав по времени в пределах (0, t), получим уравнение радиуса-вектора

Полагая для простоты, что вектор скорости направлен вдоль оси ОХ, можно записать уравнение (1.5) в скалярной форме:

(1.5,а)

откуда

(1.5.б)

Интегрируя выражение (1.5,б) по времени в пределах (0, t), получим уравнение пути:

.

Здесь х₀–начальная координата движущейся точки. Отсюда уравнение координаты имеет вид:

.

Не следует забывать, что в зависимости от выбора положительного направления оси ОХ численное значение может быть как положительным, так и отрицательным.

1.4.2. Равнопеременное движение

Это такое движение, при котором материальная точка (тело) за любые равные промежутки времени изменяет свою скорость на одну и ту же величину, т.е. имеет постоянное ускорение. При равнопеременном прямолинейном движении возможны два варианта: равноускоренное и равнозамедленноедвижение.

Первый вариант соответствует ситуации, когда начальная скорость либо равна 0, либо сонаправлена с ускорением . Примером такого варианта движения является падение тела с некоторой высоты: либо свободно отпущенного, либо брошенного с начальной скоростью вертикально вниз.

Второй вариант соответствует ситуации, когда направлена противоположно . Например, движение тела, брошенного вертикально вверх (на участке траектории до верхней точки подъема).

Уравнение ускорения для прямолинейного вдоль оси ОХ равнопеременного движения в скалярной записи имеет вид:

. (1.6)

Элементарное изменение скорости выразится , откуда интегрированием получаем приращение скорости за конечный промежуток времени (0, t)

,

и, окончательно, уравнение скорости:

. (1.7)

Далее, подставляя (1.7) в (1.5,б) и интегрируя с учетом начальных условий, получим уравнение координаты:

. (1.8)