Соотношение неопределенностей

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо ввести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия у них волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Одно из основных различий заключается в том, что нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траттории и неправомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса. Это следует из корпускулярно-волнового дуализма. Так, понятие «длина волны в данной точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через длину волны (см. (213.1)), то отсюда следует, что микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс является полностью неопределенным.

В. Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом. Согласносоотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (рx, рy, рz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

(215.1)

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Из соотношения неопределенностей (215.1) следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты (∆х = 0), то в этом состоянии соответствующая проекция ее импульса оказывается совершенно неопределенной (∆р_х→ ∞), и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует

состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной ∆х , расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис. 295). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны да Бройля λ электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси 7, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем, так как основная доля интенсивности приходится на главный максимум).

До прохождения через щель. электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса , р_х = 0 так что ∆р_х = 0, а координата x частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направлении оси Х определяется с точностью до ширины щели, т. е. с точностью ∆х. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2φ (φ — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси X, которая, как следует из ряс. 295 и формулы (213.1), равна h

(215.2)

Для простоты ограничимся рассмотрением только тех электронов, которые попадают на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции (см. $ 179) известно, что первый минимум соответствует углу φ, удовлетворяющему условию

(2153)

где ∆х — ширина щели, а λ — длина волны де Бройля. Из формул (215.2) и (215.3) получим

где учтено, что дня некоторой, хотя и незначительной, части электронов, попадающих за пределы главного максимума, величина ∆р_х ≥ p sinφ. Следовательно, получаем выражение

т. е. соотношение неопределенностей (215.1).

Невозможность одновременно точно определить координату и соответствующую проекцию импульса не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов, а является следствием специфики микрообъектов, отражающей особенности их объективных свойств, а именно двойственной корпускулярно-волновой природы. Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является, таким образом, квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику физики микрочастиц, позволяет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической механики к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде

(215.4)
Рис. 295

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, ухе для пылинки массой 10^-13 кг и линейными размерами 10^-6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (∆х=10^-8 м), неопределенность скорости, по (215.4), ∆υ_х = 6,62 · 10^-34/(10^-8 · 10^-12) м/с = 6,62·10^-14 м/с, т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут бить одновременно измерены достаточно точно. Это означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Предположим, пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью υ= 10⁸ м/с, определяемой с точностью до 0,01% (∆υ_х ≈10⁴ м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.)

т. е. положение электрона может быть определено с точностью до тысячных долей миллиметра. определенной траектории, иными словами, описывать их движение законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона ∆х ≈10^-10 м (порядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит данному атому). Тогда, согласно (215.4), , ∆υ_х = 6.62∙10^-34 /(9.11∙ 10^-31∙10^-10 ) = 7.27∙ 10^-6 м/с. Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса

≈0,5 ∙10^-10 м его скорость в υ= 2,3·10⁶ м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т. е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

(215.5)

Подчеркнем, что ∆Е — неопределенность энергии некоторого состояния системы, ∆t — промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни ∆t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ∆Е = h/∆t возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность ∆ν = ∆Е/h , т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной ν±∆Е/h. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.