Метод максимума правдоподобия

Стоит несколько особняком среди других методов факторного анализа, поскольку направлен на статистическую оценку адекватности исходной теоретической модели исследуемой корреляционной матрице (при фиксированном числе факторов). Метод максимума правдоподобия позволяет на основании гипотезы о числе общих факторов и выборки из N наблюдений набора в n параметров определить факторные нагрузки для генеральной совокупности. Алгебраические преобразования, используемые в этом методе, достаточно сложны, поэтому мы не будем на них останавливаться.

Групповой метод

В групповом методе факторы представляются осями координат, проходящими через центр тяжести отдельных групп параметров. Обычно такие группы не ортогональны одна другой, поэтому факторы могут также быть не ортогональными.

Исходным материалом для группового метода служит редуцированная корреляционная матрица со значениями общностей на главной диагонали, оцененными с помощью других методов. Работа начинается с группировки n параметров по m группам G_p (p = 1, 2, ..., m), полученным либо на основании априорных сведений, либо любым другим способом.

Групповой метод отличается тем, что после каждого фактора, получаемого на данном шаге, нет необходимости вычислять матрицу остаточных коэффициентов корреляции. Суть метода сводится к тому, что на каждом шаге можно вычислить несколько факторов, после чего достаточно подсчитать лишь одну матрицу остатков. Если число выбранных линейно независимых групп равно размерности пространства общих факторов, то достаточно лишь одной матрицы остатков; если же оценка числа групп занижена, то процесс повторяется.

Факторы, полученные на одном шаге, не ортогональны друг другу (косоугольная система координат), но факторы, полученные на разных шагах, взаимно ортогональны.

Примечание:

Как отмечалось выше, большинство методов факторного анализа исходят из того, что распределения параметров в многомерном пространстве имеют вид нормальных распределений. Отсюда – гипотеза об ортогональности векторов. Однако интерпретацию факторов не всегда можно совместить с требованием их некоррелированности, т.е. ортогональности. Большинство факторов связано между собой. В случае неортогональности факторов используются косоугольные решения, и кроме рассмотренных выше методов факторного анализа, существует ряд других (аналитических) методов (квартимакс, варимакс, облимакс, квартимин, облимин и др.), рассчитанных на косоугольные решения.

11.3.3. Выбор числа факторов и оценка их значений

Существует ряд способов определения числа факторов, с которыми связаны исследуемые переменные величины. Наиболее надежный из них – определение вкладов F₁, F₂ ..., F_m в общую дисперсию. Обычно, если сумма вкладов первых m факторов составляет 90 или 95%, дальнейший анализ прекращают.

Минимальное число факторов, вызывающих корреляцию переменных, можно определить по значениям общностей (диагональных элементов корреляционной матрицы). Существуют различные способы предварительной оценки общностей, но ни один из них не имеет исчерпывающего теоретического обоснования. Эмпирически показано, что в среднем на каждый фактор должно приходиться 4-5 переменных.

Для оценки значений факторов обычно используют множественный регрессионный анализ, реже – другие методы. Мерой точности оценки значений фактора является коэффициент множественной корреляции между фактором и нагружаемыми его переменными.

11.3. 4. Представление результатов факторного анализа

В результате факторного анализа, независимо от использованного метода, вычисляются две группы показателей:

а) факторные веса, отражающие относительный вклад каждого из факторов в суммарную дисперсию (напомним, что факторные веса могут варьировать от 0 до 1 и закономерно убывают для каждого последующего фактора);

б) факторные нагрузки (коэффициенты при факторах), которые отражают степень связи каждого из n исследуемых параметров с тем или иным фактором. Оптимальным способом представления данных является матрица упорядоченных факторных нагрузок, пример которой приводится в табл. 11.4.

В рассмотренном примере несколько десятков испытуемых были протестированы на предмет некоторых черт характера и темперамента. Тестирование проводилось с использованием тестов Айзенка, Шмишека и ЧХТ, по которым определялось 18 отдельных характеристик испытуемых.

Можно видеть, что при упорядочении факторных нагрузок по каждому фактору (упорядочение производится от максимальной факторной нагрузки до минимальной) 18 исследованных характеристик группируются по пяти факторам (более корректно сказать – нагружают пять факторов), имея различную степень связи с каждым из них. В факторном анализе в первую очередь принято учитывать нагрузки, большие 0,5, а малые нагрузки (меньшие 0,25) вообще не учитываются. По данным таблицы видно, что первые шесть индивидных характеристик (нейротизм, импульсивность, тревожность, циклотимность, сила нервной системы (НС) по торможению и подвижность нервных процессов) нагружают первый фактор (a₁ > 0,5), причем сила НС по торможению нагружает этот фактор с отрицательным, а остальные черты – с положительным знаком. Пять следующих характеристик нагружают второй, три черты – третий, три – четвертый и только одна характеристика – пятый фактор. В то же время можно видеть, что один и тот же параметр может нагружать два или даже три фактора, хотя эти дополнительные нагрузки относительно невелики.

Что касается явления, когда разные параметры нагружают один и тот же фактор с разным знаком, то это явный признак того, что они отрицательно коррелируют между собой.

Таблица 11.4

Черта характера или темперамента испытуемого	Факторы
Нейротизм	0,781		0,395
Импульсивность	0,779
Тревожность	0,727
Циклотимность	0,727				-0,292
Сила НС по торможению	-0,580	-0,444
Подвижность нервных процессов	0,522		0,427
Эмоциональная лабильность		0,788
Экстраверсия		0,768
Дистимность		-0,742
Гипертимность		0,704		0,334
Демонстративность		0,530		0,311	-0,437
Сензитивность		0,259	0,753
Чувствительность нервной системы			0,685
Педантичность		0,459	0,558
Сила НС по возбуждению				0,676
Развитие 2-й сигнальной системы				0,622
Уровень притязаний	0,277	0,338		0,569
Искренность высказываний					-0,731

Несмотря на то, что в приведенном примере исследованы характеристики индивида, имеющие, в основном, отношение к эмоциональной сфере, можно видеть, что природа (можно сказать, глубинная сущность) этих психологических признаков неоднородна (следует напомнить, что разные факторы по определению не коррелируют друг с другом). В то же время одна из характеристик (имеется в виду искренность или ложность высказываний), которая в некоторых тестовых методиках формирует «шкалу лжи», вообще оказалась не связанной с характеристиками эмоциональной сферы.

Кроме матриц упорядоченных факторных нагрузок, иногда используется графическое выражение результатов факторного анализа. В данном случае факторы на графике представлены осями координат (например, x = F₁, y = F₂; x = F₂, y = F₃ и т. д.), а исследуемые переменные – точками. Расположение точек на графике соответствует степени тяготения (величине факторной нагрузки) к тому или иному фактору. Более детальную информацию по этому вопросу можно получить в соответствующих источниках (например, К. Иберла, 1980; Г. Харман, 1972), которые фигурируют в перечне рекомендуемой литературы.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ

4.1. Квартили: Q₁ = 88, Q₂ = 100,5, Q₃ = 108.

Бимодальное распределение: Mo₁ = 88, Mo₂ = 103.

Md = 100,5; IQ_ср = 99,1.

4.2. Средний балл успеваемости у девочек 3,75, у мальчиков - 3,58 (для усреднения данных необходимо воспользоваться средневзвешенным арифметическим значением).

4.3. х_g = 2,818.

5.1. Т_max – Т_min = 55 мс; Q = 21 мс; Q_1/2= 10,5 мс; MD = 11,84; s_х² = 219,918; s_х = 14,830; V_х = 10,17%. Процентные соотношения частот в 8-классовом распределении 0, 0, 17, 43, 22, 14, 4, 0. Размах распределения составляет 3,71 стандартного отклонения.

5.2. Средние значения: х₁ = 35,2; х₂ = 37,5.

Стандартные отклонения: s₁ = 6,877; s₂ = 7,169.

Коэффициенты вариаций: V₁ = 0,195 (19,5%); V₂ = 0,191 (19,1%).

Средние значения и стандартные отклонения для первой группы испытуемых несколько ниже, чем для второй. Для коэффициентов вариации соотношения обратные.

6.1. As = 0,687 > As_кр = 0,53_.; Ex = –0,496 < Ex_кр. = 0,85. Для уровня значимости 0,95 распределение статистически достоверно отличается от нормального по коэффициенту асимметрии (As > As_кр ).

6.2. χ² = 54,17 > χ²_кр. = 22,4; 27,7; 34,5. λ = 1,66. По критерию хи-квадрат и критерию Колмогорова экспериментальное распределение статистически достоверно отличается от нормального.

6.3. Т_ср = 130 мс; s_T = 15,275; As = 0,631; Ex = 0,558. По коэффициенту асимметрии распределение статистически достоверно отличается от нормального (As > As_кр = 0,39), по показателю эксцесса – не отличается от такового (Ex < Ex_кр = 0,83).

6.4. Для всех медалей: c² = 0,101 < c²_ст. (различия недостоверны); для золотых медалей c² = 0,643 < c²_ст.(различия недостоверны); для серебряных медалей c² = 3,855 > c²_ст.= 3,84 (различия статистически достоверны). Вывод: девушки получают серебряные медали достоверно чаще, чем юноши.

6.5. P₁₀(0) = 0,001; P₁₀(1) = 0,010; P₁₀(2) = 0,044; P₁₀(3) = 0,117; P₁₀(4) = 0,205; P₁₀(5) = 0,246; P₁₀(6) = 0,205; P₁₀(7) = 0,117; P₁₀(8) = 0,044; P₁₀(9) = 0,010; P₁₀(10) = 0,001.

6.6. P₅(0) = 0,168; P₅(1) = 0,360; P₅(2) = 0,309; P₅(3) = 0,132; P₅(4) = 0,028; P₅(5) = 0,002.

6.7. P₁₀(1) = 0,347; P₁₀(2) = 0,276; P₁₀(3) = 0,130.

6.8. p_ср. = 0,00253; P₁₀₀₀(1) = 0,202; P(2) = 0,255; P(3) = 0,215.

7.1. U =133 < U_кр. = 138; t = 1,92 < t_кр. = 2,03; F = 3,68 < F_кр. = 4,10. По критерию Стьюдента и по критерию Фишера различия показателей нейротизма у юношей и девушек статистически недостоверны, по критерию Манна-Уитни – достоверны для 1-го уровня значимости. Очевидно, что в данном случае следует отдать приоритет параметрическим критериям и сделать общий вывод о недостоверности различий между двумя группами.

7.2. t = 1,28 < t_кр. = 2,00; F = 1,76 < F_кр. = 4,01. Различия между показателями РДО у юношей и девушек статистически недостоверны.

7.3. U = U_кр.. По критерию Манна-Уитни различия между мальчиками и девочками по коэффициенту интеллекта лежат на границе достоверности.

7.4. Можно говорить о выраженности асимметрии, поскольку угловое преобразование Фишера дает статистически значимые различия: j* > j*_кр.

7.5. Различия статистически недостоверны, следовательно, связи между полом и количеством пропусков детского сада нет.

7.6. По критерию χ² Пирсона распределения IQ в студенческих группах различаются недостоверно.

7.7. В первом случае (ассоциация с яркими цветами сиюминутного настроения): j* = 4,27. Различия статистически достоверны.

Во втором случае (ассоциация прошлого): j*= 0,97. Различия недостоверны.

8.1. Коэффициент корреляции между экстра-интроверсией и нейротизмом близок к нулю, что свидетельствует об отсутствии связи между этими характеристиками и подтверждает концепцию Г. Айзенка.

8.2. r_xy = –0,43 > r_кр. = 0,28. Вывод: гипертимность и дистимность, по Шмишеку, связаны между собой достоверной отрицательной связью.

8.3. Связь между импульсивностью и нейротизмом для данной выборки статистически достоверна для 2-го уровня значимости: r_xy = 0,786 > r_кр. = 0,77_.).

8.4. r_s = 0,503 < r_кр. Связь между знаниями по биологии и математике не является статистически достоверной.

8.5. Между коэффициентом интеллекта и уровнем успеваемости существует слабая положительная связь (r_s = 0,250 < r_кр. = 0,63; τ = 0,211 < τ = 0,51), которая не является статистически значимой.

8.6. j = 0,365 > φ_кр. = 0,35._. К τорреляция с полом положительна и статистически достоверна для 1-го уровня значимости. Юноши чаще, чем девушки, посещают дискотеку.

8.7. Связь между полом и уровнем экстра-интроверсии не является статистически значимой (r_pb = 0,085).

8.8. Для данной выборки связь между УЛТ и типом темперамента статистически достоверна для 1-го и 2-го уровня значимости (r_pb = 0,673 > r_кр. = 0,51; 0,64).

8.9. Корреляция между импульсивностью и экзальтированностью для данной выборки испытуемых статистически недостоверна (r_xy = 0,346 < r_кр. = 0,63).

8.10. Между полом и средним баллом аттестата существует очень слабая, статистически недостоверная отрицательная корреляция (r_pb = –0,143).

8.11. 11-а выступил чуть более успешно, чем 11-б, тем не менее, корреляция между классами и призовыми местами очень слабая и не является статистически значимой (r_rb = 0,167 < r_кр.).

8.12. Коэффициент корреляции числа ошибок с вербальным интеллектом составляет 0,019, с невербальным –0,538 при критическом значении 0,63. Связи между количеством ошибок, допущенных на тренажере, и коэффициентом интеллекта по Векслеру нет.

8.13. Коэффициент корреляции Пирсона равен 0,507, коэффицент Спирмена – 0,497. Критическое значение коэффициентов корреляции для 1-го уровня значимости равно 0,47. Вывод: депутат соответствует эталону.

8.14. r_s = 0,639 > r_кр. = 0,44; 0,56; τ = 0,484 > τ_кр. = 0,33; 0,43. Корреляция значима для 1-го и 2-го уровней. Обратите внимание, что шкалы х и у инвертированы относительно друг друга, поэтому корреляцию между эмоциональной устойчивостью и степенью заикания следует считать отрицательной.

8.15. Коэффициент корреляции Пирсона r_xy = 0,885 > r_кр.; коэффициент Спирмена r_s = 0,903 > r_кр (при ранжировании показателей шкал MMPI). Профили значимо коррелируют; следовательно, существенных изменений за 2,5 года не произошло.

8.16. Если соотношение ответов разных категорий у данных групп испытуемых будет различно, то мы не обнаружим значимой корреляции между группами. Так как нас интересует соотношение ответов, то мы должны использовать ранговую корреляцию. По вычисленным коэффициентам корреляции Спирмена строится корреляционная матрица. Если коэффициенты корреляции выше критического значения, то такие группы различаться не будут. r_кр. = 0,61 (0,05) и r_кр.= 0,76 (0,99).

Вывод: по соотношению категорий ответов нельзя различить группы:

- норма и невротики (r_s = 0,86);

- норма и эпилептики (r_s = 0,64);

- невротики и шизофреники (r_s = 0,63);

- невротики и эпилептики (r_s = 0,68);

- шизофреники и эпилептики (r_s = 0,77);

- заключенные и эпилептики (r_s = 0,86);

8.17. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена (без поправок) равен 0,94. Вывод: соотношение ответов коррелирует между собой; говорить о различии мужской и женской групп нет оснований.

8.18. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для терминальных ценностей составляет 0,74, для инструментальных 0,72, что выше критических значений для 1-го и 2-го уровней значимости. Вывод: структура ценностей у юношей и девушек значимо коррелируют друг с другом.

8.19. Находим ранг каждого цвета при определении социальных стереотипов и вычисляем коэффициенты ранговой корреляции Спирмена. Критические значения составляют 0,72 (0,95) и 0,88 (0,99). Если коэффициенты корреляции являются значимо положительными, то социальные стереотипы близки, если же значимо отрицательными, то данные понятия взаимоисключают друг друга.

Вывод: противоположны по смыслу следующие понятия:

- друг – предатель (r_s = –0,74);

- отшельник – клоун (r_s = –0,86);

- клоун – предатель (r_s = –0,74);

- божий одуванчик – полковник (r_s = –0,76).

9.1. Логарифмическая функция типа R = 2,375 lg m – 2,292; s = 0,171; s_b = 0,048.

9.2. Психофизические функции: lg R₁ = 0,676 lg S – 0,681и lg R₂= 0,671 lg S – 0,577.

Для 1-го испытуемого: b = 0,676; a = –0,681; s = 0,026; s_b = 0,022. Для 2-го испытуемого: b = 0,671; a = –0,577; s = 0,056; s_b = 0,048. Поскольку b₁ = 0,676 ± 0,052 и b₂ = 0,671 ± 0,111, следовательно, различия между психофизическими функциями статистически недостоверны.

9.3. Психофизическая функция типа lg R = 0,334 lg B + 0,020. b = 0,334; a = 0,020; s = 0,019;s_b = 0,0006.

9.4. Степенная (двойная логарифмическая) функция типа lg L = 0,856 lg T + 1,443. b = 0,856; a = 1,443; σ = 0,029; σ_b = 0,006.

10.1. η_x² = 0,22; F = 3,38 > F_st = 2,86. Влияние сеансов НЛП как фактора достоверно для 1-го уровня значимости.

10.2. Для экстра-интроверсии η_x² = 0,008; F = 0,098; для нейротизма η_x² = 0,057; F = 0,728 < F_ст. = 2,86. Изменение экстра-интроверсии и нейротизма с возрастом статистически недостоверно.

10.3. η_x² = 0,22; F = 3,38 > F_ст. = 2,86. Изменение уровня личностной тревожности с возрастом у подростков статистически достоверно для 1-го уровня значимости.

10.4. η_x² = 0,177; F = 2,902 < F_ст.= 3,35. Влияние мотивации как фактора на успешность запоминания не является достоверным.

10.5. По критерию знаков s = 5:15 (s_кр. = 6:14). По критерию Вилкоксона Т = 78,5 (Т_кр. = 91). Вывод: влияние КГА как фактора статистически достоверно для уровня значимости β₁ = 0,95.

10.6. η_x² = 0,198; F = 5,64 > F_ст.= 3,16). Уровень активности статистически значимо вляет на артериальное давление.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. – М.: Прогресс, 1976.

2. Суходольский Г. В. Основы математической статистики для психологов. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1972.

3. Артемьева Е. Ю., Мартынов Е. М. Вероятностные методы в психологии. – М.: Изд-во МГУ, 1975.

4. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: Соц. психол. центр, 1996.

5. Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. – СПб: Речь, 2001. – 350 с.

6. Лупандин В. И. Математические методы в психологии. Уч. пособие. – Екатеринбург: УрГУ – УрГИ, 1996 (1-е изд.); Екатеринбург: гуманитарный университет, 1997 (2-е изд.); Екатеринбург: изд-во Урал. ун-та, 2002. – 208 с.

7. Лупандин В.И., Зайцев А.В. Сборник задач по курсу «Математические методы в психологии». Уч.-метод. пособие. – Екатеринбург, 2000.

Дополнительная

1. Плохинский Н.А. Математические методы в биологии. Уч.-метод. пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1978.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М., 1969.

3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятности. – М.: Наука, 1974.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1976.

5. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Наука, 1984.

6. Феллер Э. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1967. - Т. 1, 2.

7. Уилкс С. Математическая статистика. – М.: Наука, 1967.

8. Бикел П., Доксум К. Математическая статистика. Вып. 1-2. – М.: Финансы и статистика, 1983.

9. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. Уч. пособие. – М.: ИНФРА-М, 1998.

10. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1974.

11. Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей. – М.: Госстатиздат, 1958.

12. Тюрин Ю.Н. Непараметрические методы статистики. – М.: Знание, 1978.

13. Холлендер М., Вульф Д.А. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983.

14. Налимов В.В. Теория эксперимента. – М.: Наука, 1971.

15. Кемпбелл Д. Модели эксперимента в социальной психологии и прикладных исследованиях. – М.: Мир, 1980.

16. Рао С. Линейные статистические методы и их применения. – М.: Наука, 1968.

17. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. – М.: Наука, 1973.

18. Эдвардс Р. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1969.

19. Кендалл Дж. Ранговые корреляции. – М.: Мир, 1975.

20. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. – М.: Физматгиз, 1963.

21. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. – М.: Мир, 1980.

22. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. – М.: Физматгиз, 1963.

23. Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ. – М.: Статистика, 1977.

24. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1968.

25. Иберла К. Факторный анализ. – М.: Статистика, 1980.

26. Харман Г. Современный факторный анализ. – М.: Статистика, 1972.