Основы теории предельного напряженного состояния (ТПНС) и определение второй критической (предельной) нагрузки

При значительном развитии областей сдвигов, когда грунт близок к разрушению, использование уравнений ТЛДС (4.1) уже невозможно. Здесь необходимо использовать более общие соотношения – дифференциальные уравнения равновесия грунта в точке. Для условий плоской задачи, используя схему и обозначения на рис. 4.2 и приравнивая нулю суммы проекций на координатные оси, получаем:

(4.6)

К уравнениям (4.6) присоединяется условие предельного равновесия (2.16), которое следует записать, как и (4.6), через компоненты σ_x, σ_z, τ:

. (4.7)

σz+ τ +   σx +   τ +   σx σz τ τ γdxdz Z X Рис. 4.2. К выводу дифференциальных уравнений равновесия

Уравнения (4.6) и (4.7) составляют систему уравнений ТПНС для условий плоской задачи. Отыскание напряжений, удовлетворяющих уравнениям (4.6, 4.7), позволяет находить предельную нагрузку на основание, устанавливать устойчивость откосов, определять давление грунта на подпорные стены и т.п. Весь этот круг задач составляет область приложения ТПНС.

Задачи ТПНС решаются различными методами: аналитически, с помощью приближенных инженерных приемов и численными методами с преобразованием системы (4.6, 4.7) и заменой производных конечными разностями. Соответствующие решения получены Соколовским В.В., Березанцевым В.Г. и др. Формулы для определения второго критического давления приводятся обычно к трехчленной форме, как и (4.5).

На основе анализа и обобщения решений ТПНС с учетом опытных данных в нормах проектирования принята следующая формула для предельного давления на основание внецентренно нагруженного фундамента произвольной формы:

, (4.8)

где N_γ, N_q, N_c – коэффициенты несущей способности, определяемые по табл. 4.1 в зависимости от расчетного значения φ_I и угла наклона равнодействующей нагрузки к вертикали δ;

γ_I и γ΄_I – расчетные значения удельного веса грунта под подошвой в пределах глубины заложения фундамента d;

ξ_γ, ξ_q, ξ_c – коэффициенты формы подошвы фундамента (для ленточного фундамента ξ_γ=ξ_q=ξ_c=1);

b΄ – приведенная ширина подошвы фундамента.

Таблица 4.1

Значения коэффициентов несущей способности в формуле (4.8)

Угол внутреннего трения φ°	Коэффициенты	Коэффициенты Nγ, Nq, Nc при углах наклона равнодействующей нагрузки к вертикали δ. град.
	Nγ Nq, Nc	1,35 10,98	1,02 3,45 9,13	0,61 2,84 6,88	0,21 2,06 3,94
	Nγ, Nq, Nc	2,88 6,40 14,84	2,18 5,56 12,53	1,47 4,64 10,02	0,82 3,64 7,26	0,36 2,69 4,65
	Nγ, Nq, Nc	5,87 10,66 20,72	4,50 9,17 17,53	3,18 7,65 14,26	2,00 6,13 10,99	1,05 4,58 7,68	0,58 3,60 5,58
	Nγ, Nq, Nc	12,39 18,40 30,14	9,43 15,63 25,34	6,72 12,94 20,68	4,44 10,37 16,23	2,63 7,96 12,05	1,29 5,67 8,09	0,95 4,95 6,85
	Nγ, Nq, Nc	27,50 33,30 46,12	20,58 27,86 38,36	14,63 22,77 31,09	9,79 18,12 24,45	6,08 13,94 18,48	3,38 10,24 13,19	1,60 7,04 8,63

b' Y X b ex 2ex δ Рис. 4.3.

В СНиП 2.02.01–83 формула (4.8) записана для силы предельного сопротивления основания Nи, равной , где b΄,ℓ΄– приведенные, т.е. уменьшенные на величину двойного эксцентриситета нагрузки размеры подошвы фундамента: b΄= b-2ex ; l΄= l-2ey, где ex, ey – эксцентриситеты (рис. 4.3) Коэффициенты формы определяются по формулам:

где – отношение приведенных сторон подошвы.

При возможности возникновения нестабилизированного состояния основания коэффициенты N_γ, N_q, N_c в (4.8) берутся при φ_I = 0.