Нормальные силы, обусловленные изменением скорости течения
Рассмотрим малый объем жидкости ΔV в виде цилиндра, ось которого совпадает с направлением движения (рис. 1)
| u2 |
| u1 |
| ∆S1 |
| ∆S2 |
| ∆n |
рис. 1.
Пусть торцовые поверхности ΔS1 и ΔS2 расположены перпендикулярно скорости жидкости, которая в этих сечениях различна по величине, но не по направлению.
Очевидно, что вследствие различия скоростей U1 и U2 при движении объема ΔV масса жидкости, заключенная внутри него, будет либо сжиматься, либо расширяться, так как торцы цилиндра будут сближаться или удаляться.
И в том и в другом случае внутренние силы сцепления между частицами будут изменяться и, значит, будут создавать некоторую силу, препятствующую этому сжатию или расширению
Будем считать (снова выдвигаем гипотезу), сто эта сила прямопропорциональна скорости смещения торцовых поверхностей относительно друг друга (т.е. скорости относительного сжатия или растяжения выделенного нами цилиндра вдоль его оси). Очевидно, что скорость деформации элемента ΔV равна ΔU = U1 - U2.
Для получения скорости относительной деформации разделим скорость деформации ΔU на расстояние между сечениями Δn. Затем перейдем к пределу в отношении 
при n → 0 и получим точное выражение рассматриваемой силы в сечении ΔS:
(2.12)
где 
- коэффициент пропорциональности.
Напряжение нормальной силы, вызванной (обусловленной) изменением скорости найдем, если перейдем к пределу в отношении 
при ΔS → 0, т.е.
(2.13)
Замечание:
1. Введенная гипотеза о прямопропорциональной зависимости силы от скорости деформации подтверждается экспериментально для жидкостей, которые подчиняются закону трения Ньютона.
2. Т.к. коэффициенты пропорциональности 
и ’ определяют внутреннее взаимодействие частиц среды при их взаимном смещении, то они связаны и между собой. Однако эта связь не однозначна и определяется характером распределения скоростей в потоке.
2.3.2.2.3. Тензор напряжения поверхностной силы
Рассмотрим, например, вихревое движение жидкости. Уже и для такого движения вопрос о напряжении поверхностных сил в некоторой произвольно выбранной точке, например M, оказывается значительно сложнее по сравнению с ранее рассмотренным случаем. Т.к. через выбранную точку M можно провести бесчисленное множество элементарных поверхностей ΔS, различным образом ориентированных в пространстве. На каждую такую площадку ΔS будет действовать, вообще говоря, различная сила. Т.к. для характеристики напряжения поверхностной силы в точке M необходимо задать всю совокупность бесчисленного множества сил, действующих на всевозможные элементарные площадки ΔS, включающие рассматриваемую нами точку М, то задача о математическом представлении напряжения поверхностной силы в точке, с первого взгляда, кажется совершенно безнадежной.
Однако, оказывается, практически нет надобности задавать всю совокупность поверхностных сил. Ориентация любой площадки в пространстве может быть охарактеризована единичным вектором 
, направленным по нормали к этой площадке (т.е. единичным нормальным вектором). Нужно лишь установить соответствия между этим вектором и силой, действующей на единицу поверхности характеризуемой им площадки.
Т.е. необходимо преобразовать вектор в вектор 
напряжения силы на данную площадку:
(2.13)
Где коэффициент 
называется тензором и является величиной иного ранга чем скаляр и вектор.
Таким образом из равенства (2.13) следует, что для характеристики напряженного состояния нужно задать не бесконечную совокупность векторов, а всего один тензор .
Замечание:
1. Тензор в гидромеханике имеет не только математический смысл, но и является носителем определенной физической характеристики. Термин «Тензор» происходит от латинского слова tendo, что буквально означает «напрягаю». Он возник в теории упругости и постепенно перекочевал в другие разделы науки, пока не утвердился окончательно в математике.
2. Тензор напряжений отличается определенными физическими свойствами. Тензор напряжений 
является симметричным тензором и геометрически представляется в виде поверхности эллипсоида. Поэтому в литературе нередко встречаются термины эллипсоид напряжений, эллипсоид инерции и т.д.
3. Если бы напряженное состояние было однородным во все массе жидкости, то в каждой точке вектор преобразовывался бы одинаковым образом в вектор , т.е. для всех точек пространства тензор был бы одним и тем же. В общем случае меняется при переходе из одной точки в другую, а в каждой точке еще может зависеть от времени. Иными словами, справедливо равенство
,
которое приводит нас к представлению тензорного поля, подобно тому как равенство 
утверждает существование векторного поля.