Задача №2. Вычисление достоверности различий в группах с использованием критерия Колмогорова-Смирнова.

Условие: были изучены сроки гибели подопытных крыс (в минутах) после введения токсического вещества. Ряд X – контрольная группа, в которой лечение не проводилось; ряд Y – опытная группа, где проводилось определенное лечение

X	Y
n=7	n=8

Задание: определить, существенны ли различия в сроках гибели подопытных крыс.

Критерий Колмогорова-Смирнова наиболее мощный критерий из серии непараметрических критериев, применяемых при сопоставлении двух различных групп наблюдений.

Задача его та же, что и всех предыдущих.

Последовательность обработки данных:

1. объединяются в один ряд в возрастающем порядке все варианты, встречающиеся в сравниваемых группах наблюдений.

2. записываются частоты вариант для одной и другой групп.

3. проставляются частоты в накопленном порядке.

4. накопленные частоты делятся на число наблюдений в соответствующих группах.

5. вычисляются разности накопленных частот по группам X и Y без учета знаков.

6. находится максимальная разность D.

7. по формуле определяется критерий l²

l=D

8. сравнивается полученное значение l с граничными значениями: 0,05 и 0,01. Если l<l_0,05, то различия между сравниваемыми группами признаются существенными. Таблица приведена в приложении 4.

9. по формуле рассчитывается l

Учитывая, что максимальная разность равняется 0,49, получаем:

l=

Варианты X и Y в последовательно возрастающем порядке	Частоты вариант по группам	Накопленные частоты по группам	Sx/nx	Sy/ny	Разности Sx/nx - Sy/ny
Px	Py	Sx	Sy	nx ny, без учета знаков
		-			0,14		0,14
	-				0,14	0,125	0,015
		-			0,43	0,125	0,302
					0,57	0,25	0,32
	-				0,57	0,37	0,20
		-			0,71	0,37	0,34
		-			0,86	0,37	0,49
	-				0,86	0,62	0,24
		-			1,00	0,62	0,38
	-				1,00	0,75	0,25
	-				1,00	0,88	0,12
	-				1,00	1,00
	nx=7 ny=8

По таблице в приложении 4 определяем, что l, равной 0,94, соответствует 0,35266, что существенно выше 0,05. Следовательно, еще раз подтверждается вывод о том, что сроки гибели животных в опытной и контрольной группах существенно не отличаются друг от друга, и различия, которые имеют место, случайны.

Задания для самостоятельной работы

Вариант№1

После футбольного матча Спартак – Ювентус, завершившегося со счётом 3:0 в пользу итальянской команды, был изучен уровень общего белка крови у основных составов двух футбольных команд. Из анонимного источника стало известно, что игроки команды Ювентус до игры использовали допинг. Данные представлены в таблице. Определите, достоверна ли разница в уровне общего белка в крови у футболистов обеих команд.

Уровень белка (г/л). команда Спартак	Уровень белка (г/л). команда Ювентус
	-

Вариант№2

Была изучены данные частоты сердечных сокращений у студентов до и после экзамена. Сведения представлены в таблице. Ряд X – показатели пульса у группы студентов до экзамена, ряд Y – после экзамена. Определите, достоверна ли разница в показаниях ЧСС у студентов до и после экзамена.

X	Y

Вариант№3

При проведении гистологического исследования биоптатов печени были получены следующие данные, представленные в таблице. Ряд X количество гепатоцитов печени в одном поле зрения у здоровых людей. Ряд Y – количество гепатоцитов у лиц, страдающих хроническим алкоголизмом. Определите, достоверна ли разница количества гепатоцитов печени в обеих группах.

X	Y

Применение непараметрических критериев для определения существенности различий любых совокупностей

Критерий соответствия (χ²) – «хи-квадрат»

Условие: при изучении организации специализированной помощи больным системной красной волчанкой были проанализированы сроки постановки диагноза с момента обращения в поликлинику (менее 20 дней, 20 дней и более) 73 пациента поликлиники №1, где прием больных вел специалист в ревматологическом кабинете (у 54 пациентов диагноз был поставлен менее, чем за 20 дней), и 21 пациент поликлиники №2, где специализированного кабинета не было (прием вел терапевт), только у 7 больных диагноз был поставлен до 20 дней.

Задание: определить, существенно ли различаются группы больных СКВ по срокам постановки диагноза с момента обращения в поликлинику в зависимости от наличия в поликлинике ревматологического кабинета.

1-й вариант решения:

1 этап: распределение фактических данных (P) по всем группам, суммирование 61+33=94

2 этап: определение величин (P₁) на основе нулевой гипотезы (Н₀). Согласно ей допускают, что наличие или отсутствие в поликлинике ревматологических кабинетов не влияет на сроки постановки диагноза СКВ. В ходе решения задачи необходимо подтвердить или опровергнуть нулевую гипотезу и сделать соответствующие выводы.

В соответствии с нулевой гипотезой распределение двух групп больных, обслуживаемых с участием специалистов ревматологического кабинета и без него, по срокам постановки диагноза должно быть одинаковым и соответствовать итоговому фактическому распределению всех наблюдаемых больных, т.е. 61 и 33. При таком условии в первой группе (где есть ревматологический кабинет) «ожидаемое» число больных со сроком установления диагноза менее 20 дней определяется по следующей пропорции:

94-61

73-x x=47,4

«Ожидаемое» число больных со сроком установления диагноза 20 дней и более получается путем вычисления 73-47,4=25,6

Подобным же образом рассчитывают «ожидаемые» числа больных второй группы.

94-61

21-x x=13,6

21-13,6=7,4

Полученные числа по всем группам заносят в таблицу.

3 этап: определяют разность между фактическими и «ожидаемыми» числами (P-P₁) = 54-47,7=+6,6; 19-25,6=6,6. Вторая группа больных (P-P₁) = 7-13,6=-6,6; 14-7,4=+6,6 (в числовом отношении разность между фактическими и «ожидаемыми» числами (P-P₁) одинакова, что позволяет проверить правильность расчетов).

4 этап: определяют квадрат разностей (P-P₁)² по всем группам.

5 этап: квадрат разности делят на ожидаемое число во всех группах и результаты заносят в таблицу, например, 47,56/47,4=0,9 и т.п.

6 этап: критерий соответствия определяется путем суммирования результатов (P-P₁)²/P₁ по всем группам:

χ² = ∑ (P-P₁)²/P₁=0,9+1,7+3,2+5,9=11,7.

Ревмат. Кабинет	Число б-ных	1 этап	2 этап	3 этап	4 этап	5 этап
P	P1	P-P1	(P-P1)2	(P-P1)2/P1
<20 дней	20 и >дней	<20 дней	20 и >дней	<20 дней	20 и >дней	<20 дней	20 и >дней	<20 дней	20 и >дней
Есть				47,4	25,6	+6,6	-6,6	43,56	43,56	0,9	1,7
Нет				13,6	7,4	-6,6	+6,6	43,56	43,56	3,2	5,9
Итого

Величина критерия χ² зависит от величины разности между фактическими и «ожидаемыми» числами и от числа слагаемых (т.е. числа сравниваемых групп по графам и строкам). Чем больше разность, тем больше критерий. Если бы фактические данные были бы равны «ожидаемым», то χ² был бы равен нулю и «нулевую гипотезу» надо было бы признать существенной. И, наоборот, чем больше величина критерия, тем «нулевая гипотеза» становится менее вероятной, несущественной.

Для оценки критерия учитывают число рядов (R) и число строк (S) распределения фактических чисел (без итоговых) и на основании этих данных вычисляют так называемое число степеней свободы, которое необходимо нам для определения величины χ² по специальной таблице (см. приложение 5).

Число степеней свободы рассчитывается следующим образом:

n=(R-1)*(S-1)

n=(2-1)*(2-1)=1.

Для того, чтобы опровергнуть «нулевую гипотезу», вычисленный критерий соответствия должен быть равен или больше табличного (критического) значения χ² при уровне вероятности «нулевой» гипотезы p=5%.

В нашем случае, учитывая, что число степеней свободы равно 1, по таблице видим, что уровень критического значения χ² (при p=5%) равен 3,8. Но в ходе решения задачи получаем χ²=11,7. Этот показатель больше табличного, в связи с чем «нулевую гипотезу» отвергаем. Т.о., необходимо признать существенными различия в распределении по срокам постановки диагноза двух сравниваемых групп (обследованных специалистом, работающим в ревматологическом кабинете, и при отсутствии такого специалиста).

2-й вариант решения:

При альтернативном распределении применяется упрощенная формула расчета χ² на основе таблицы взаимной сопряженности, т.н. четырехпольной таблице.

	p2	q2	всего
p1	a	c	a+c
q1	b	d	b+d
всего	a+b	c+d	a+b+c+d

Где p и q – значения альтернативных признаков в обеих группах;

a, b, c, d – абсолютные величины в клетках таблицы.

χ²=

Согласно «нулевой гипотезе» допускаем, что наличие или отсутствие ревматологических кабинетов не влияет на сроки постановки диагноза у больных СКВ.

Далее составляем четырехпольную таблицу

	p2-срок постановки диагноза менее 20 дней	q2-срок постановки диагноза 20 дней и более	всего
p1-есть кабинет	a-54	c-19
q1-кабинета нет	b-7	d-14
всего	a+b	c+d

χ²= = =11,8

Оцениваем число степеней свободы. В нашем примере имеется только одно число степеней свободы n=1.

Полученную величину критерия χ² при n=1 оценивают по специальной таблице (см. приложение 5). Вычисленная нами величина χ²=11,8 больше критического значения χ², при котором уровень ее вероятности подтверждения «нулевой гипотезы» будет равен 0,1% (т.е.>10,8). Это дает основание опровергнуть «нулевую гипотезу» и признать существенными различия в распределении по срокам постановки диагноза двух сравниваемых групп (обследованных специалистом, работающим в ревматологическом кабинете, и при отсутствии такого специалиста).

Следовательно, на основании проведенного исследования можно утверждать, что организация специализированных ревматологических кабинетов в поликлиниках позволяет снизить сроки обследования больных СКВ.

3-й вариант решения:

Величину χ² можно оценить и без таблицы, по упрощенной формуле. Но по этой формуле можно только опровергнуть или доказать «нулевую гипотезу». Величина χ² и число степеней свободы вычисляются по приведенным выше схемам.

Если χ²-n/√2n больше 3, то «нулевая гипотеза» отвергается.

В нашем случае: 11,7-1√2·1 = 10,3

Таким образом, в очередной раз подтверждается тот факт, что организация специализированных кабинетов позволяет снизить сроки обследования больных.

Задания для самостоятельной работы

Вариант№1

При изучении организации помощи онкологическим больным были проанализированы сроки постановки онко-диагноза с момента обращения в поликлинику (менее 30 дней, более 30 дней) 85 пациентов поликлиники №1, где прием вел специалист-онколог (диагноз был выявлен у 73 пациентов), а в поликлинике №2, где не было специалиста онколога, из 63 пациентов диагноз был выявлен только у 24 пациентов. Определить, существенно ли различаются группы онкологических больных по срокам постановки диагноза с момента обращения в поликлинику в зависимости от наличия в поликлинике специалиста онколога.

Вариант №2

Были проанализированы данные по срокам выявления беременности в зависимости от наличия или отсутствия диагностической возможности. В поселке А, где имеется ФАП и участковая больница, где прием ведет врач-гинеколог, из 224 женщин беременность до 12 недель была выявлена у 200 женщин, а в поселке В, где имеется только ФАП из 180 женщин беременность была выявлена у 115. Определить, существенно ли различаются сроки выявления беременности до 12 недель в двух поселках в зависимости от наличия или отсутствия участковой больницы.

Вариант №3

При изучении организации помощи хирургически больным были проанализированы следующие данные: в одной и той же больнице, где оперировал хирург с высшей категорией, должный эффект достигнут у 135 пациентов из 143. А у 117 пациентов, которых оперировал хирург без категории, должный эффект достигнут у 102 пациентов. Определить, существенно ли различаются результаты лечения в зависимости от наличия категории у хирургов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гланц С. Медико-биологическая статистика. Пер. с англ. — М.: Практика, 1998. - С. 36-44, 81-104, 193-220.

2. Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Прикладная медицинская статистика. –СПб: ООО «Издательство Фолиант», 2003. -432с.

3. Калиниченко А.В., Чебыкин Д.В., Аверьянова Т.А. Общая теория медицинской статистики / учебное пособие. –Новосибирск: Сибмедиздат, 2006. -139с.

4. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др. Социальная гигиена и организация здравоохранения. / учебное пособие). — М., 2000 — 432 с. Тестовые задания по общественному здоровью и здравоохранению. — М.: ММА им. ИМ. Сеченова, -2002г.

5. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2002. - 520 с.

6. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии. Прикладная статистика здоровья. Руководство в 2-ух томах. Москва. «Медицина», 2001.

7. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению. Часть I. Общественное здоровье -М.: Медицина, 2003. -368 с.

8. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для студентов / Под ред. В.А. Миняева, Н.И. Вишнякова. — М.: Мед пресс-информ, -2002. -528 с.

9. Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения / Под.ред. чл.корр. Рамн, проф. В.З.Кучеренко. –М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. 192с.

10. Сборник задач по общей теории статистики. Учебное пособие. Изд. 2-е, под ред.Серга Л.К. –М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», Рилант, 2001г.

11. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. –СПб.: ООО «Речь», 2003. 350с.

12. Статистика. Курс лекций/ Харченко Л.П., Долженкова В.Г., Ионин В.Г. и др., Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, М.:ИНФРА-М, 1997г.

13. Юрьев В.К. Здоровье населения и методы его изучения Учебное пособие. С.-Петербург, 1993.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Критические значения Z-критерия знаков (число знаков, менее часто встречающихся) по Ван дер Вардену

Число парных наблюдений (n)	Уровни значимости	Число парных наблюдений (n)	Уровни значимости
5%	1%	5%	1%

Приложение 2

Критические значения критерия Вилкоксона (Т) для уровней статистической значимости. t≤0,05 и p≤0,05.

	p		p
n	0,05	0,01	n	0,05	0,01
		-
		-

Приложение 3

n / n
0,05	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01

Критические значения критерия Уайта (K)

Приложение 4

Критерий Колмогорова-Смирнова для сопоставления эмпирического распределения с теоретическим (при n>50) или двух эмпирических распределений между собой (при n>50): уровни статистической значимости разных значений λ

По полученному значению λ определяется уровень значимости различий между двумя распределениями (по Митропольскому А.К., 1971).

λ	λ, последний десятичный знак
P – десятичные знаки («0» опущен )
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4

Приложение 5

Критические значения одностороннего критерия χ²

Число степеней свободы	Уровни значимости	Число степеней свободы	Уровни значимости
p=0,05	p=0,01	p=0,001	p=0,05	p=0,01	p=0,001
	3,84	6,63	10,83		32,67	38,93	46,80
	5,99	9,21	13,82		33,92	40,29	48,27
	7,81	11,34	16,27		35,17	41,64	49,73
	9,49	13,28	18,47		36,42	42,98	51,18
	11,07	15,09	20,51		37,65	44,31	52,62
	12,59	16,81	22,46		38,89	45,64	54,05
	14,07	18,48	24,32		40,11	46,96	55,48
	15,51	20,09	26,12		41,34	48,28	56,89
	16,92	21,67	27,88		42,56	49,59	58,30
	18,31	23,21	26,59		43,77	50,89	59,70
	19,68	24,73	31,26		44,99	52,19	61,10
	21,03	26,22	32,91		46,19	53,49	62,49
	22,36	27,69	34,53		47,40	54,78	63,87
	23,68	29,14	36,12		48,60	56,06	65,25
	25,00	30,58	37,70		49,80	57,34	66,62
	26,30	32,00	39,25		51,00	58,62	67,98
	27,59	33,41	40,79		52,19	59,89	69,35
	28,87	34,81	42,31		53,38	61,16	70,70
	30,14	36,19	43,82		54,57	62,43	72,06
	31,41	37,57	45,31		55,76	63,69	73,40