Анализ таблиц времен жизни

Наиболее естественным способом описания выживаемости в выборке является построение Таблиц времен жизни.

Техника таблиц времен жизни - один из старейших методов анализа данных о выживаемости (времен отказов). Такую таблицу можно рассматривать как "расширенную" таблицу частот. Область возможных времен наступления критических событий (смертей, отказов и др.) разбивается на некоторое число интервалов. Для каждого интервала вычисляется число и долю объектов, которые в начале рассматриваемого интервала были "живы", число и долю объектов, которые "умерли" в данном интервале, а также число и долю объектов, которые были изъяты или цензурированы в каждом интервале.

Рассмотрим два способа составления таблицы времени жизни: первый – способ Катлера –Эдерера более применим для больших наборов данных, второй – способ Каплана – Мейера для малого числа обследуемых.

Способ Катлера - Эдерера

Интервалы времени	Количество наблюдаемых объектов к началу интервала	Количество событий произошедших в данном интервале времени	Количество выбываний, произошедших в данном интервале времени	Доля наступления события в интервале	Доля выживших в интервале	Комулятивная доля выживших
i	ni	di	wi	qi	pi=1-qi	Si=pipi-1…p1

На основании этих величин вычисляются некоторые дополнительные статистики:

· Число изучаемых объектов

· Доля умерших

· Доля выживших

· Кумулятивная доля выживших (функция выживания)

· Плотность вероятности

· Функция интенсивности

· Медиана ожидаемого времени жизни

· Объем выборки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число изучаемых объектов -это число объектов, которые были "живы" в начале рассматриваемого временного интервала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Доля исследуемых,для которых событие наступило в i-ом интервале- это отношение числа объектов, для которых событие наступило в i-ом интервале, к числу объектов, изучаемых на этом интервале:

, где w_i-количество выбываний, произошедших в данном интервале.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Доля выживших,т.е. тех, для которых событие не наступило в i-ом интервале - эта доля равна единице минус доля исследуемых, для которых событие наступило в i-ом интервале: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Кумулятивная доля выживших (функция выживания)- это кумулятивная доля выживших к началу соответствующего временного интервала. Поскольку вероятности выживания считаются независимыми на разных интервалах, эта доля равна произведению долей выживших объектов по всем предыдущим интервалам. Полученная доля как функция от времени называется также выживаемостью или функцией выживания [точнее, это оценка функции выживания].

Способ Каплана - Мейера

Момент времени	Количество наблюдаемых объектов к моменту времени	Количество событий произошедших в данный момент времени	Количество выбываний, произошедших в данный момент времени	Доля наступления событияе	Доля выживших	Комулятивная доля выживших
i	ni	di	wi	qi	pi=1-qi	Si=pipi-1…p1

В этом способе первый столбец не разбивается на интервалы, а в нем записываются моменты, в которые произошло хотя бы одно событие.

, , где d_i - число умерших в момент времени i, n_i - число наблюдавшихся к моменту i.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Медиана ожидаемого времени жизни -это точка на временной оси, в которой кумулятивная функция выживания равна 0.5.

Объем выборки.Чтобы получить надежные оценки трех основных функций (функции выживания, плотности вероятности и функции интенсивности) и их стандартных ошибок на каждом временном интервале, рекомендуется использовать не менее 30 наблюдений.