Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість

Хвильові процеси

У середовищі частинки зв’язані між собою силами взаємодії. Періодичне невелике зміщення деякої частинки середовища з положення рівноваги викликає зміщення сусідніх частино, тобто коливання одної з таких частинок викликає вимушені коливання інших. Процес розповсюдження коливань в середовищі із деякою швидкістю V називається хвилею. Якщо зміщення частинок x від положення рівноваги перпендикулярне швидкості V, то така хвиля називається поперечною,а якщо x паралельне V ¾ хвиля повздовжня. Швидкість хвилізалежить від сили взаємодії між частинками середовища - чим більша сила взаємодії, тим більша швидкість хвилі. Для твердого тіла

V= ,

де Е ¾ модуль Юнга, r ¾ густина речовини. Для повітря (газу)

V= = ,

де g ¾ стала адіабати, R ¾ універсальна газова стала, Т ¾ температура, m ¾ маса моля речовини, r ¾ густина повітря (газу), Р ¾ тиск газу.

Наведемо деякі визначення характеристик хвильового процесу.

1. Хвильовий фронт¾ геометричне місце точок середовища, до яких дійшли коливання.

2. Плоскою називається хвиля, у якої хвильовий фронт є нескінченною площиною.

3. Сферичною називається хвиля, у якої хвильовий фронт є сферою.

4. Циліндричною називається хвиля, у якої хвильовий фронт обмежений скінченою площиною.

5. Промінь¾ уявна крива, дотична до якої визначає напрямок розповсюдження коливань.

Рівняння хвилі, фаза та фазова швидкість

Рівняння хвилі, що розповсюджується в додатному напрямкові Ох, описує величину відхилення y матеріальної точки від положення рівноваги, з координатою х в момент часу t і має вигляд

. (1)

Дійсно, нехай джерело коливань розміщено в початку координат, і коливання розповсюджуються в додатному напрямкові осі ОХ із швидкістю (див.Ма.41). В точку з координатою х коливання прийдуть із запізненням на час розповсюдження , і тому рівняння коливання в цій точці в час t запишеться так

(2)

або

. (3)

Остаточно рівняння хвилізапишеться у вигляді

, (4)

де ¾ хвильове число.

В (4) косинус є періодичною функцією з періодом , а тому можна визначити її період по координаті х

. (5)

За визначенням довжина хвилі¾ відстань, на яку поширюється хвиля за період коливань Т: l=VT. З (4) видно, що довжина хвилі є періодом просторового розподілу коливань частинок середовища.

Якщо коливання розповсюджуються в зворотному напрямі, то х замінюємо на -х і рівняння зворотної хвилімає вигляд

. (6)

Величина в (4) називається фазою хвилі,а - початкова фаза. Зафіксуємо величину фази на рівні сталої С

. (7)

Візьмемо диференціал від лівої та правої частини (7)

. (8)

З (8) можна визначити величину

, (9)

яка називається швидкістюрозповсюдження фази коливань або фазовою швидкістю і вона за величиною дорівнює швидкості хвилі.

Плоска хвиля

Рівняння плоскої хвилі має вигляд:

, (1)

де ¾ хвильовий вектор, ¾ хвильове число, ¾ одиничний вектор нормалі до хвильового фронту.

Дійсно, нехай джерелом коливань є нескінченно велика площина 1 (див. Мал. 42) із нормаллю , що є хвильовим фронтом плоскої хвилі. Площина проходить через початок координат. Нехай рівняння коливання точок в площині 1 має вигляд

x=Acos(wt+a). (2)

Через час t' площина 1 переміститься на відстань d і займе положення 2. Відстань між площинами визначається скалярним добутком , де ¾ радіус-вектор деякої точки А на площині. Коливання в цій площині запізнюються на час і будуть мати вигляд

x = Acos(wt - wt' + a) = Acos(wt - w + a) = Acos(wt - kd + a). (3)

Тепер, позначивши , можна записати:

, (4)

що й треба було довести.

Сферична хвиля. Рівняння сферичної хвилімає вигляд

y= cos(wt-kr). (5)

Амплітуда сферичної хвилі зменшується обернено пропорційно відстані r від джерела хвиль, а енергія обернено пропорційна квадратові відстані.

Циліндрична хвиля. Циліндрична хвиля описується рівнянням плоскої хвилі з обмеженим деякою плоскою поверхнею хвильовим фронтом.

Спектр частот хвиль. Під частотним спектром хвилірозуміють сукупність частот, якими можна представити дану хвилю.

Хвиля з неперервним спектром частот ¾ хвиля, що містить значення частоти коливань в деякому неперервному інтервалі частот від w₁ до w₂ (див. Мал.43).

Хвиля з лінійчатим спектромчастот ¾ хвиля, що містить коливання дискретних значень частоти (див. Мал.44).