Основные типы расчетов на прочность

Используя условие прочности (2.1), можно решать следующие основные типы расчетов:

Проектировочный расчет - определение по известной нагрузке и допускаемому напряжению размеров поперечного сечения стержня

.

Проверочный расчет - проверка прочности стержня, т.е. определение по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактических напряжений и сравнение их с допускаемыми .

Определение максимальной нагрузки по заданным размерам поперечного сечения и [s]

.

Определив допускаемую нормальную силу N_max и установив связь между нормальной силой и нагрузкой с помощью метода сечений, можно определить и максимальную нагрузку P_max .

1. Понятие об эквивалентных напряжениях и о равноопасных напряжённых состояниях.

Ответ:

При поперечном изгибе в произвольной точке балки одновременно действуют как нормальные напряжения, так и касательные. Материал балки находится при плоском напряженном состоянии, поэтому для оценки прочности следует воспользоваться теориями прочности, например, третьей . Если подставить выражения для главных напряжений (3.4), то получим

.

Эпюра эквивалентных напряжений, построенная для прямоугольного сечения, показана на рис.

Для обеспечения прочности балки при совместном действии как нормальных, так и касательных напряжений должно выполняться условие

.

Под предельным опасным напряженным состоянием понимается такое, при котором происходит качественное изменение свойств материала - переход от одного механического состояния к другому. Для пластичных материалов предельным обычно считается напряженное состояние, соответствующее возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала. Предельное состояние материала допустить нельзя, поэтому при расчете на прочность ориентируются на так называемое допускаемое состояние, которое соответствует нагрузке, полученной путем деления нагрузки, вызывающей предельное состояние, на некоторый коэффициент запаса. Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то они называются равноопасными. Для сравнения различных напряженных состояний за эталон (эквивалент) принято простое растяжение (сжатие) с главным напряжением .

Эквивалентное напряжение - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно заданному напряженному состоянию. Условие прочности записывается в виде .

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в предельное состояние.

Билет №6.

1. Положение главных осей и главных моментов инерции.

Ответ:

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:

,

или

,

откуда

. (4.22)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.21) нулю:

,

откуда

,

т.е. получили ту же формулу для .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через х₀ и у. Тогда

,

, (4.23)

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

1. Основные понятия о прочности и жёсткости. Критерии наступления предельных состояний.

Ответ:

Прочность - это способность конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость - способность элемента конструкции сопротивляться деформации.

За критерий перехода материала в предельное состояние принимается наибольшее нормальное напряжение. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда какое-либо из главных напряжений достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших главных напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения .

За критерий перехода материала в предельное состояние принимается наибольшая деформация. Согласно этой теории опасное состояние материала наступает тогда, когда линейные деформации достигают некоторого опасного значения.

Критерием перехода материала в предельное состояние принимается наибольшее касательное напряжение. Согласно этой теории опасное состояние наступает, если наибольшие касательные напряжения достигают опасного значения.

Критерием перехода материала в предельное состояние принимается удельная потенциальная энергия изменения формы.

1. Хрупкое и вязкое разрушение в зависимости от вида напряжённого состояния.

Ответ:

К весьма пластичным материалам относятся медь, алюминий, латунь, малоуглеродистая сталь и др. Менее пластичными являются дюраль и бронза. Мерой пластичности является относительное остаточное удлинение при разрыве d. Чем больше d, тем более пластичным считается материал.

Хрупкие материалы выдерживают напряжения равные пределу прочности σ_в и разрушаются без образования заметных остаточных деформаций. К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая инструментальная сталь, стекло, кирпич, строительные камни и др. Для таких материалов величина удлинения при разрыве d не превышает 2¸5%, а в ряде случаев измеряется долями процента.

Для пластичных материалов за предельные (опасные) напряжения s₀, для того чтобы избежать в работающей конструкции образование заметных остаточных деформаций, обычно принимают предел текучести s_т.

Для хрупких, а в некоторых случаях и умеренно пластичных материалов, за s₀ принимается предел прочности s_в.

Сопоставление предела прочности хрупких материалов при растяжении s_{в р} с пределом прочности при сжатии s_{в с} показывает, что эти материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, нежели при растяжении. Величина отношения для чугуна колеблется в пределах 2,5…5, а для керамических материалов k = 5…10.

Билет №7.

1. Понятие о моменте сопротивления и радиусе инерции.

Ответ:

Величина критических напряжений, определяемых по формуле Эйлера обратно пропорциональна гибкости стержня

.

Стержни одинаковых длин и способах закрепления могут иметь разные гибкости в зависимости от их форм поперечного сечения. Вычисляя радиус инерции сечения i_min или относительный радиус инерции , можно провести сравнительную оценку форм поперечных сечений стержней на способность сопротивляться потери устойчивости, так как чем больше ,тем больше величина критической силы тем устойчивее стержень.

Формула Эйлера может быть использована если приближенное уравнение упругой линии дает удовлетворительно совпадающее с точным решение относительно δ. Это имеет место пока в материале стержня напряжения σ_кр не превышают предела пропорциональности .

,

обозначая , получим

.

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня ( i_min - радиус инерции сечения).

Таким образом, условие, что критические напряжения не должны превышать предела пропорциональности можно записать в виде

.

Для того, чтобы выполнялось это условие значение гибкости должно быть больше предельного значения

.

Как видно из формулы, зависит только от свойств материала и для каждого материала ее величина может быть вычислена.

Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, то формула Эйлера дает большую погрешность и не может быть использована.

1. Методы расчёта по предельным состояниям, по допускаемым напряжениям, по разрушающим нагрузкам.

Ответ:

В основу расчета положено соображение, что если сжатый стержень теряет устойчивость, то это происходит раньше или в крайнем случае одновременно с потерей прочности. Исходя из этого, допускаемые напряжения на устойчивость должны быть меньшими, чем при расчете на прочность

,

где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений,.

- допускаемые напряжения при сжатии.

Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в таблицы . Эта величина заранее не известна так как не определены размеры поперечного сечения стержня, а следовательно и его гибкость.

Расчет на устойчивость фактически выполняется как расчет на прочность, при заданных допускаемых напряжениях методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений до выполнения рекуррентного соотношения

.

1. Критерии наступления предельных состояний. Теория нормальных наибольших напряжений.

Ответ:

За критерий перехода материала в предельное состояние принимается наибольшее нормальное напряжение. Согласно этой теории, опасное состояние наступает тогда, когда какое-либо из главных напряжений достигает опасного значения. В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших главных напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения .

За критерий перехода материала в предельное состояние принимается наибольшая деформация. Согласно этой теории опасное состояние материала наступает тогда, когда линейные деформации достигают некоторого опасного значения.

Критерием перехода материала в предельное состояние принимается наибольшее касательное напряжение. Согласно этой теории опасное состояние наступает, если наибольшие касательные напряжения достигают опасного значения.

Критерием перехода материала в предельное состояние принимается удельная потенциальная энергия изменения формы.

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии, то после деформации кручение окажется что:

· все образующие поворачиваются на один и тот же угол g, а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

· торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

· каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол j, называемый углом закручивания;

· радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю.

Билет №8.

1. Внешние и внутренние силы. Классификация внешних сил.

Ответ: