Температурная зависимость электропроводимости полупроводников и диэлектриков

ЛЕКЦИЯ 15. ТЕРМОПЕЗИСТОРЫ

Температурная зависимость электропроводимости металлов

Электропроводность металлов, полупроводников и диэлектриков связана с наличием в них свободных носителей зарядов: электронов и дырок и их упорядоченным движением под действием электрического поля E. Движение носителей заряда под действием магнитного поля в настоящей работе не рассматривается. Проводимость σ определяется формулой

σ = q n μ_n + q р μ_p, (1)

где q – элементарный заряд, n – концентрация электронов, р – концентрация дырок, μ_n – подвижность электронов, μ_p – подвижность дырок.

Существует три типа металлов, отличающихся по типу проводимости: электронные (проводимость связана с движением электронов), дырочные (проводимость связана с движением дырок) и металлы со смешенным типом проводимости (проводимость связана с движением электронов и дырок). У всех типов металлов концентрация носителей заряда очень слабо зависит от температуры [1]. Например, у электронных металлов она равна концентрации валентных электронов и составляет n ~ 10²² штук на кубический сантиметр.

Подвижность носителей определяется химическим составом, структурой кристаллической решетки и температурой металла. У чистых металлов с идеальной кристаллической решеткой при температуре Т=0 К электроны движутся по волновым коридорам вдоль атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, при этом средняя длина свободного пробега электронов велика и сопротивление минимально. У некоторых металлов наблюдается явление сверхпроводимости. В настоящем издании это явление не рассматривается.

В реальных кристаллах всегда имеются атомы примесей и дефекты кристаллической решетки. На этих неоднородностях происходит рассеяние электронов, что приводит к уменьшению средней длины свободного пробега и увеличению электрического сопротивления. Это явление определяет сопротивление проводников при низких температурах. При Т>0 К атомы совершают тепловые колебания и возникает рассеяние электронов на тепловых колебаниях решетки. При повышении температуры это явление в основном обуславливает величину электрического сопротивления. Подвижность носителей заряда определяется средней длиной свободного пробега электронов.

Для практических целей определения удельного сопротивления чистого металла ρ часто используют формулу

ρ=ρ₀(1+αТ), (2)

где ρ₀ – удельное сопротивление при комнатной температуре, a –положительный, слабо зависящий от температуры температурный коэффициент сопротивления металлов.

Температурная зависимость электропроводимости полупроводников и диэлектриков

В отличие от металлов, в полупроводниках и диэлектриках концентрация носителей и их подвижность зависят от температуры. На рис.1,а приведена зонная диаграмма собственного полупроводника (i - типа). Здесь изображены зависимости уровней энергии дна зоны проводимости W_c, верха валентной зоны W_v и уровня энергии Ферми W_Fi, а также зависимость концентрации электронов n_i и дырок p_i от температуры Т [2]. На рисунке по вертикальной оси отложена энергия W в электрон-вольтах, концентрация свободных носителей заряда n_i, p_i в одном кубическом сантиметре полупроводникового кристалла, а по горизонтальной – температура в градусах Кельвина. Уровни W_c, и W_v (непрерывные горизонтальные линии) не зависят от Т. Положение уровня Ферми

, (3)

где k = 0.86·10⁻⁴ эВ/К постоянная Больцмана, m_n^* и m_p^* ‑ эффективные массы электронов и дырок. Если m_n^* ≈ m_p^* и полупроводник широкозонный ΔW = W_c − W_v ~ 1 эВ, то второй член при Т = 300 К имеет порядок 0.03 эВ и слабо изменяет положение уровня энергии Ферми. Вплоть до температур плавления вкладом второго члена можно пренебречь и считать W_Fi не зависящей от температуры (горизонтальная пунктирная линия на рис.1,а).

При Т = 0 К все электроны “связаны со своими атомами” и свободных носителей заряда нет. Полупроводник является идеальным изолятором. При повышении температуры начинаются тепловые колебания атомов кристаллической решетки. В результате электрон может получить энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны, и попасть в зону проводимости. Такой процесс называется тепловой генерацией пары электрон – дырка. Электрон совершает хаотические (броуновские) движения по всему объему полупроводника в межатом-ном пространстве. Дырки также хаотически перемещаются, но только по межатомным электронным связям. Через некоторое время τ электрон рекомбинирует с дыркой, но в другом месте полупроводника появится новая пара. Равновесные концентрации электронов и дырок n_i, дырок p_i равны и определяются:

n_i = N_c exp (−ΔW/ 2kT),

p_i = N_v exp (−ΔW/ 2kT), (4)

где N_c =2(2πm_n^*kT/h²)^3/2 – плотность квантовых состояний у дна зоны проводимости, N_v = 2(2πm_p^*kT/h²)^3/2 – плотность квантовых состояний у верха валентной зоны, а h = 4.14·10⁻¹⁵ эВ·c ‑ постоянная Планка.

Экспоненциальная зависимость концентрации свободных носителей от температуры показана на рис.1,а жирной линией. В собственном полупроводнике концентрация свободных носителей заряда при всех температурах, вплоть до температуры плавления, существенно меньше концентрации валентных электронов, поэтому проводимость полупроводников на несколько порядков меньше проводимости металлов. Исключение составляют вырожденные полупроводники, у которых уровень Ферми располагается в зоне проводимости. Это может произойти при нагревании узкозонных полупроводников, у которых ΔW ~ kT.

В примесном полупроводнике n-типа уровень энергии W_d валентного электрона атома донорной примеси, который не участвует в образовании ковалентных связей с соседними атомами полупроводника, располагается в запрещенной зоне недалеко от дна зоны проводимости (рис.1,б). В этом случае при Т = 0 К уровни энергии валентной зоны и примеси заполнены электронами, в зоне проводимости электронов нет и уровень Ферми располагается посередине между W_d и W_с. Энергетический зазор ΔW_n = W_c − W_d << ΔW, и при повышении температуры вероятность перехода электронов с уровня энергии донорной примеси существенно больше, чем с уровня энергии верха валентной зоны. Поэтому концентрация свободных электронов в зоне проводимости вначале экспоненциально растет:

n_n = N_c exp (−ΔW_n/ kT), (5)

а уровень Ферми понижается. При температуре активации примеси T_s вероятность нахождения электрона на уровне донорной примеси F_n(W) = 0.5 и уровень Ферми пересекает W_d.

При дальнейшем повышении температуры концентрация свободных носителей n_n ≈ N_d (N_d – концентрация донорной примеси) и уровень Ферми изменяются слабо. При температуре порядка температуры истощения примеси T_i концентрация электронов собственной проводимости полупроводника n_i становится соизмеримой с N_d, при этом начинается рост n_n = N_d + n_i, а уровень Ферми постепенно понижается. При T > T_i концентрация тепловых электронов и дырок становится больше концентрации примесных электронов и вклад собственной проводимости становится определяющим. При этом уровень Ферми асимптотически стремится к положению уровня Ферми в собственном полупроводнике W_Fi.

Аналогичные явления наблюдаются и в примесном полупроводнике р - типа (рис.1,в). В этом случае концентрация дырок в области малых температур также изменяется по экспоненциальному закону:

p_p = N_v exp (−ΔW_p/ kT). (6)

На длину свободного пробега и подвижность носителей заряда в основном влияют два физических фактора: рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки и рассеяние на ионах примесей. При больших температурах преобладает рассеяние на тепловых колебаниях атомов, и с ростом температуры подвижность уменьшается. В диапазоне низких температур уменьшаются тепловые скорости движения электронов и увеличивается время воздействия электрического поля иона примеси на носители заряда, поэтому подвижность падает. Зависимость μ = f(T) для разных концентраций примесей N приведена на рис.2. При увеличении концентрации примесей в области низких температур μ уменьшается. В области высоких температур преобладает рассеяние на тепловых колебаниях атомов кристаллической решетки, и подвижность слабо зависит от концентрации примесей.

При большой напряженности электрического поля Е в полупроводнике происходит “разогрев” электронов: их дрейфовая скорость становится соизмеримой со скоростью хаотического теплового движения, что приводит к увеличению числа столкновений. При этом средняя длина свободного пробега уменьшается, а подвижность начиная с Е_кр~10⁴ В/см падает (рис.3).

Для собственных полупроводников во всем интервале температур основной вклад в изменение проводимости вносит изменение концентрации носителей заряда:

σ = q μ_n N_c exp (−ΔW/ 2kT) + q μ_p N_v exp (−ΔW/ 2kT) = σ₀ exp (−ΔW/ 2kT), (7)

где σ₀ = q(μ_nN_c +μ_рN_v) – коэффициент, слабо зависящий от температуры.

Для примесных полупроводников сильная температурная зависимость проводимости наблюдается в области температур ионизации примесей T_s. При этом вклад тепловых электронов и дырок можно не учитывать и проводимость

σ_n = q μ_n N_c exp (−ΔW/ kT)= σ_0n exp (−ΔW/ kT),

σ_p = q μ_p N_v exp (−ΔW/ kT)= σ_0n exp (−ΔW/ kT), (8)

где σ_0n = qμ_nN_c и σ_0р = qμ_рN_v – коэффициенты, слабо зависящие от температуры.

В области температур выше T_s и ниже T_i проводимость примесных полупроводников слабо зависит от температуры. В этой температурной области работают полупроводниковые диоды, транзисторы и интегральные микросхемы. При Т > T_i примесные полупроводники обычно не используют.