Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно на­правленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круг­лого бруса (рис. 26.1). Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса про­тив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ (рис. 26.1б). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возни­кает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы образуют пару с моментом

dm = pdQ;

р — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю:

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

Практически крутящий момент определяется из условия равно­весия отсеченной части бруса.

Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1 в):

Эпюры крутящих моментов

Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После опре­деления величин моментов по сечениям строим график-эпюру кру­тящих моментов вдоль оси бруса.

Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае мо­мент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).

Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса, значения моментов откладывают от оси вверх или вниз, масштаб построения выдерживать обязательно.

Примеры решения задач

Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, кото­рая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распреде­ляются следующим образом: Р₂ = 8 кВт, Р₃ = 3 кВт, Р₄ = 1кВт, вал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.

Решение

1. Определяем моменты пар сил на шкивах.

Вращающий момент определяем из формулы мощности при вра­щательном движении

Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 — моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противопо­ложное направление. Брус скручивается между движущим момен­том и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:

2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.

3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему моменту.

Выбираем соответствующий масштаб.

Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, об­водим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участ­ке III М_кз = 320 Н*м.

Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). m₁ = 280 Н • м; т₂ = 140 Н • м; т₃ = 80 Н* м.

Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу, можно изменять величины крутящих моментов. Рациональ­ным расположением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально располо­жение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих момен­тов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.

Пример 3. Для бруса, изображенного на рис. 2.34, а, построить эпюру крутящих моментов.

Решение

1. Заданный брус имеет три участка I, II, III. Напомним, что границами участков являются сечения, в которых прилажены внешние (скручивающие) моменты.

В данном случае проще, применяя метод сечений, оставлять левую и отбрасывать правую часть бруса — это дает возможность не определять реактивный момент в заделке.

Проводим произвольное поперечное сечение на уча­стке I и составляем уравнение равновесия для оставлен­ной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, 6:

В любом сечении участка I крутящий момент имеет найденное значение M¹_z = т. Из уравнения равновесия для оставленной части значение M¹_z получилось со знаком плюс. Это указывает на то, что выбранное направление M¹_z соответствует действительному.

Эпюра крутящих моментов на этом участке — прямая, параллельная оси абсцисс. Согласно принятому правилу знаков М¹_я отрицателен, и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси.

2. Проводим произвольное поперечное сечение на участ­ке II и составляем уравнение равновесия для оставлен­ной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, в:

Откуда

И в этом случае выбранное направление M^II_z соответст­вует действительному. В любом сечении участка II кру­тящий момент Mz^II = 2m. Согласно принятому правилу знаков, Mz^II положителен и ординаты эпюры откладываем вверх от ее оси.

3. Проводим произвольное поперечное сечение на участке III и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 2.34, г:

откуда

В любом сечении участка III Mz^III = —Зт.

Эпюра крутящих мо­ментов представлена на рис. 2.34, д.

При нагружении бруса сосредоточенными моментами эпюра всегда имеет такой же харак­тер, как и в рассмат­риваемом случае: на от­дельных участках она ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах при­ложения внешних (скру­чивающих) моментов по­лучаются скачки на ве­личину этих моментов.

Пример 4. На вал насажены шкивы 1, 2, 3, 4 (рис. 2.35, а). Шкив 1 передает от ис­точника энергии на вал мощность N₁ = 5,2 кВт, а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответ­ственно N₂ = 1,5 кВт; N₃ = 1,7 кВт; N₄ = 2,0 кВт. Вал вращается с частотой п = 240 об/мин. Построить эпюру крутящих моментов.

Решение

При построении эпюры крутящих моментов потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности (Л^—N₂+N_b+N₄). В действительности потери имеют место, но их величина незначительна — не превы­шает 1—2% передаваемой мощности.

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, прило­женные к валу:

где

На рис. 2.35,6 показана расчетная схема вала. Вал имеет три участка I, II, III. Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 1.

На участке I

на участке II

на участке III

Эпюра крутящих моментов показана на рис. 2.35, в.

Поменяем местами шкивы 1 и 2 (рис. 2.36, а). Расчет­ная схема вала показана на рис. 2.36, б.

Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива 2.

На участке I

на участке II

на участке III

Сравнивая эпюры крутящих моментов (см. рис. 2.35, б и 2.36, в), видим, что во втором случае максимальный крутящий момент меньше, чем в первом. Следовательно, второй вариант расположения ведущего шкива предпоч­тительнее.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при круче­нии?

5. Что такое рациональное расположение колес на валу?

6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую эпюру крутящих моментов (а, б, в), m₁ = 40 Н • м; m₂ = 180 Н • м; m₀ = 280 Н • м.

7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу для уменьшения нагрузки на вал (рис. 26.7)?

ЛЕКЦИЯ 27