Как влияет число Куранта на устойчивость разностной схемы.

Ku=1
	u0	u1	u2	u3	u4	u5	u6	u7	u8

Ku=0,5

Ku	0.5
	u0	u1	u2	u3	u4	u5	u6	u7	u8
				0.5
				0.75	0.25
				0.875	0.5	0.125
				0.9375	0.6875	0.3125	0.0625
				0.96875	0.8125	0.5	0.1875	0.03125
				0.984375	0.890625	0.65625	0.34375	0.109375	0.015625
				0.992188	0.9375	0.773438	0.5	0.226563	0.0625
				0.996094	0.964844	0.855469	0.636719	0.363281	0.144531
				0.998047	0.980469	0.910156	0.746094	0.5	0.253906

Эффект «размазывания» скачка на несколько ячеек.

«Размазывания» нет только при числе Куранта=1.
В реальных задачах невозможно выполнить это условие.

Ku=2

Ku
	u0	u1	u2	u3	u4	u5	u6	u7	u8
					-4
						-16
					-8		-48
						-48		-128
					-12		-208		-320
						-96		-768

Развитие неустойчивости при числе Куранта=2.

Условно устойчивые и абсолютно устойчивые схемы. Абсолютно неустойчивые схемы.

2.2. Явные и неявные численные схемы.

Если численная схема может быть записана в явном виде относительно искомой переменной, то схема называется явной.

y_i= y_i-1(1+Dx) – явная схема;

Для уравнения не всегда можно записать явную схему, например

Если невозможно записать разностное уравнение в явном виде относительно искомой переменной, то численная схема называется неявной. Для неявных схем уравнения приходится решать методом итераций.

2.3. Метод контрольного объема на примере одномерного уравнения переноса примеси.

Рассмотрим задачу

J=rVY_n+Г_n, где Г_n – диффузионный поток компонента n.

Закон сохранения концентрации химического компонента

(2.3.1)

‑ диффузионный поток,

‑ конвективный поток,

S – источник компонента (кг/м³с)

В соответствии с уравнением неразрывности

(2.3.2)

Применим для дискретизации метод контрольного объема (рис.2.3.1)

(2.3.3)

Пусть r=Const, D=Const

S_i=r×Y_i, r=Const.

Рис.2.3.1. Шаблон для численной схемы по методу контрольного объема.

С учетом сделанных опущений приведем уравнение (2.3.3) к виду:

Обозначим:

И перепишем разностное уравнение в виде

или, обозначая

, , С=

Запишем в окончательном виде

Проведем расчет для следующих значений параметров:

u=10 м/с, D=2.5 м²/с, r= -100 кг/м³с, К₁=4, К₂=-40

Результаты расчетов на рис.2.3.2

Рис.2.3.2.

Решение уравнения переноса примеси.

К₁=4, К₂=-40; Коричневая линия – аналитическое решение;
синяя – численное Dx/l=0.0625.

Рис.2.3.3. Неустойчивость при решении уравнения переноса (2.3.3).

Коричневая линия – аналитическое решение;
синяя – численное Dx/l=0.0625; зеленая - Dx/l=0.125.

2.4. Решение разностных уравнений для одномерного уравнения переноса.

В 2.3 мы провели дискретизацию уравнения переноса компонента и получили систему алгебраических уравнений (будем считать теперь, что коэффициенты А, В и С переменны):

(2.4.1)

Чтобы решить эту систему уравнений рассмотрим очень распространенный метод (метод прогонки):

Предположим, что существуют такие a и b, что

(2.4.2),

Подставим (2.4.2) в (2.4.1)

Преобразуем к виду

Для того, чтобы это равенство выполнялось, нужно чтобы выражения в обеих скобках были равны 0, т.к. выражение в левой умножено на Y_i. Тогда получим два уравнения для определения коэффициентов a и b

(2.4.3)

(2.4.4)

Значения переменной Y_i, т.е. решение уравнения (2.4.1) найдем из (2.4.2).

2.5. Метод контрольного объема для решения уравнений Навье-Стокса.

2.4.2. Метод контрольного объема для многомерной задачи.

Рассмотрим метод контрольного объема на примере уравнений для плоской задачи.

Запишем исходные уравнения в обобщенной векторной форме

(2.4.5)

Переменная Ф может принимать значения компонента вектора скорости и тогда это уравнение будет уравнением движения, энтальпии (уравнение энергии), концентрации химического вещества (уравнение переноса компонента смеси) и т.д.

Для того, чтобы применить метод контрольного объема к решению задачи, в которой 2 или 3 пространственные координаты нужно построить сетку на плоскости или в пространстве. Рассмотрим сетку на плоскости (рис.2.5.1).

Рис.2.5.1. Сетка для решения задачи о расчете течения
в межлопаточном канале турбинной решетки

Выберем небольшой фрагмент этой сетки и покажем, как получить разностные уравнения для решения 2D задачи.

Рис.2.5.2. Шаблон для построения разностной схемы
по методу контрольного объема.

Будем рассматривать стационарное течение, т.е. производную по времени будем считать равной 0. Проинтегрируем уравнение по объему ячейки, применяя теорему Грина

(2.4.6)

Считая, что функции Ф по объему ячейки постоянны, а потоки на границах вычисляются интерполяцией, получим

(2.4.7)

DW – объем ячейки,

A_f – площадь грани f ячейки,

N_f – количество граней, ограничивающих ячейку,

- массовый расход через грань f;

A_f – площадь грани,

- проекция градиента величины F на внешнюю нормаль к грани,

Применяя эту процедуру к каждой ячейке сетки, получим систему алгебраических, которая должна быть решена тем или иным методом пригодным для решения систем алгебраических уравнений.

2.5. Граничные условия.

Влияние граничных условий на решение.

Граничные условия определяют единственность решения задачи.

Типы граничных условий (внутренние и внешние).

• Внешние границы

Входные и выходные границы

– Общие (для сжимаемых и несжимаемых течений)

• Pressure Inlet (Входное давление)

• Pressure Outlet (Выходное давление)

• Mass Flow Inlet (Массовый расход на входе)

• Wall (Стенка)

• Symmetry (Плоскость симметрии)

• Periodic (Периодичность)

– Для несжимаемых течений

• Velocity Inlet (Входная скорость)

• Outflow (не рекомендуется использовать)

– Для сжимаемых течений

• Pressure far field (Давление на удаленной границе)

– Другие типы границ

• Axis (Ось симметрии; только для 2D осесимметричных течений)

– Специальные граничные условия

• Inlet / Outlet Vent (Входное/выходное отверстие)

• Внутренние границы

– Fan (Вентилятор)

– Interior (Внутренняя граница)

– Porous Jump (Скачок давления на пористой стенке)

– Radiator (Теплообменник)

– Wall (Внутренняя стенка)

Особенности каждого типа.

Pressure Inlet

Диалоговое окно; использование Operating Conditions, особенности при сверхзвуковом течении – нужно задать избыточное статическое давление (относительно Operating Conditions);

Mass flow boundary conditions can be used in ANSYS FLUENT to provide a prescribed mass flow rate or mass flux distribution at an inlet. As with a velocity inlet, specifying the mass flux permits the total pressure to vary in response to the interior solution. This is in contrast to the pressure inlet boundary condition.

A mass flow inlet is often used when it is more important to match a prescribed mass flow rate than to match the total pressure of the inflow stream. An example is the case of a small cooling jet that is bled into the main flow at a fixed mass flow rate, while the velocity of the main flow is governed primarily by a (different) pressure inlet/outlet boundary condition pair. A mass flow inlet boundary condition can also be used as an outflow by specifying the flow direction away from the solution domain.

Mass Flow Rate sets the prescribed mass flow rate for the zone. This flow rate is converted internally to a prescribed uniform mass flux over the zone by dividing the flow rate by the flow direction area projection of the zone. This item will appear if you selected Mass Flow Rate in the Mass Flow Specification Method list.

Note that for axisymmetric problems, this mass flow rate is the flow rate through the entire ( -radian) domain, not through a 1-radian slice.

The static pressure (termed the Supersonic/Initial Gauge Pressure) must be specified if the inlet flow is supersonic.

If you selected Direction Vector and your geometry is 2D, go to the next step. If your geometry is 3D, choose Cartesian (X, Y, Z), Cylindrical (Radial, Tangential, Axial), Local Cylindrical (Radial, Tangential, Axial), or Local Cylindrical Swirl in the Coordinate System drop-down list

Mass Flow-Rate
Total Temperature
Supersonic/Initial Gauge Pressure
X-Component of Flow Direction
Y-Component of Flow Direction
Z-Component of Flow Direction
Turbulent Kinetic Energy
Turbulent Dissipation Rate

If the inlet is supersonic, the static pressure used is the value that has been set as a boundary condition. If the inlet is subsonic, the static pressure is extrapolated from the cells inside the inlet face

Свободная граница. Задавать граничные условия, совпадающие с параметрами внешнего потока можно только в том случае, если известно, что никакие возмущения из внутренней области до границы не доходят.

Особенности задания параметров турбулентности.

В полностью развитом турбулентном потоке в канале интенсивность турбулентности можно вычислить по эмпирической формуле:

а масштаб турбулентности l=0.07D, где D – характерный размер течения.

Pressure Outlet

Из Никущенко. Уравнения Навье-Стокса для несжим. течения: тензорная запись, общая дивергентная форма уравнений переноса (показать, как получаются разные уравнения).

3. Методы численного решения: МКЭ, МКО. Метод SIMPLE.

4. Дискретизация по МКО.

5. Граничные условия.

6. Погрешности численного решения.