Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Формула Ясинского

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии в предположении, что материал стержня подчиняется закону Гука. Следовательно, формула Эйлера применима лишь в том случае, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности, т. е.

Определим критические напряжения:

Учитывая, что

где i_min – наименьший из главных радиусов инерции поперечного сече-

ния стержня, получим:

Отношение приведенной длины стержня к радиусу инерции сечения называется гибкостью и обозначается , т. е.:

Окончательно получим:

Формула Эйлера будет применима до тех пор, пока критические напряжения не станут равными пределу пропорциональности, т. е.

Следовательно,

Определим предел применимости формулы Эйлера для стержней, изготовленных из стали Ст.3, для которой модуль упругости Е = = 2´10⁵ МПа, предел пропорциональности σ_пц =200 МПа, предел текучести σ_т = 240 МПа:

Таким образом, формула Эйлера может быть использована для стержней, у которых гибкость больше ста. В противном случае формулу Эйлера применять нельзя.

Аналогичным образом можно вычислить предел применимости формулы Эйлера и для любого другого материала, зная значение его модуля упругости и предел пропорциональности. Для чугуна формула Эйлера применима при гибкости > 80, для сосны при гибкости > 110.

Построим график зависимости критических напряжений от гибкости стержня, изготовленного из стали Ст.3. Если на оси ординат (рис. 12.9) отложить величину предела пропорциональности (σ_пц = = 200 МПа) и провести из полученной точки прямую, параллельную оси абсцисс, то она в пересечении с гиперболой Эйлера даст точку К, абсцисса которой и есть = 100.

Слева от точки К гипербола Эйлера показана штриховой линией, так как здесь она дает значения напряжений, большие предела пропорциональности и устойчивость стержня становится в этой области сомнительной.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности выполнить сложно, поэтому для определения критических напряжений обычно пользуются эмпирическими формулами. Профессор Ф. С. Ясинский собрал и обработал обширный опытный материал по продольному изгибу стержней и составил таблицы критических напряжений для стержней разной гибкости.

Рис.12.9. График зависимости критических напряжений

от гибкости стержня

Опыты показали, что короткие стержни с малой гибкостью (0< < < 40) не теряют устойчивости и разрушаются от простого сжатия, когда напряжения в них достигают предела текучести, т. е. для них σ_кр = = σ_Т.

Для стержней средней гибкости (40 < < 100) Ясинским предложена эмпирическая зависимость

,

где a и b – коэффициенты, зависящие от физико-механических свойств

материала.

Для стали (Ст.3): а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа, b = 0,194 МПа.

Таким образом, график состоит из трех частей: гиперболы Эйлера для стержней большой гибкости, наклонной прямой для стержней средней гибкости и слабо наклоненной прямой для стержней малой гибкости.

Подобные графики можно построить и для других материалов.