Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов».

Пусть заданы экспериментальные значения х12,…,хn полученные в моменты времени t1,t2,...,tn

Задан класс функций Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Каждая функция, из указанного класса, определяется значениями параметров a, b, …, d.

Например, в качестве класса функций могут выступать класс квадратных трехчленов Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Задача состоит в том, чтобы найти функцию Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru , такую что

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru (1)

Решая систему (1) находим a, b, …, d при которых минимум достигается.

Пусть функция Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Метод наибольшего правдоподобия»

При решении различных технических задач очень важно знать каким законам распределения подчиняются параметры, характеризующие изучаемый объект.

Закон распределения позволяет дать характеристику изучаемым объектам. Однако, знание общего вида закона распределения не дает возможности получать характеристики конкретного объекта, поскольку в законах распределения, как правило, присутствуют параметры, значение которых приходится определять по результатам эксперимента или наблюдений за объектом в течение некоторого промежутка времени.

Для рассмотрения метода наибольшего правдоподобия рассмотрим два случая:

1. случайная величина Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru является дискретной, ряд распределения которой имеет вид:

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru x1 x2 x3
p p1( Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru ) p2( Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru ) p3( Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru )

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

L – функция наибольшего правдоподобия

Принцип наибольшего правдоподобия состоит в том, что если событие произошло, то вероятность этого события является наибольшей, т.е. Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru предлагается выбирать таким образом, чтобы правая часть последнего равенства была наибольшей.

2. случайная величина Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru задана своей плотностью вероятности Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru Отметим, что параметр Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru может быть некоторым вектором (в первом случае тоже). В этом случае функция наибольшего правдоподобия пишется:

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

В этом случае считают, что Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru нужно выбирать таким образом, чтобы функция правдоподобия принимала наибольшее значение.

Примеры.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru распределения Пуассона:

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru показательного распределения Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru распределения Реллея, плотность распределения которого Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Метод наименьших квадратов»

Предположим, что проводятся измерения через равные промежутки Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru некоторой функции x = x(t) - неизвестная функция. В результате измерений получают некоторый набор значений:



t t1 t2 tn
x(t) x1 x2 xn

Перед нами стоит задача выбрать аппроксимирующую функцию из некоторого класса функций Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru такую, что сумма Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru будет минимальной, при этом подбираются неизвестные параметры Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Необходимо найти минимум функции Ф.

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Решая систему нормальных уравнений, находим значения параметров Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Пример.

Напишем систему нормальных уравнений для случая, когда в качестве класса функции выбирается система уравнений 1-ой степени.

Тема: «Традиционный подход к решению задач методом наименьших квадратов». - student2.ru

Наши рекомендации