Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование»

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование»

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или реальный, изображение, описание, схема, чертеж, карта и т.п. какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого-либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется практически любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой. Иногда построенная схема отражает какие-то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Из всей совокупности моделей мы выделим, и будем изучать как наиболее распространенные математические модели.

Существуют различные определения математических моделей.

1. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

2. Математической моделью называется некий математический объект, поставленный в соответствие реальному объекту и описывающий этот объект с требуемой точностью.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими.

Стохастические модели – это модели использующие случайные величины, вероятностные методы и законы, а детерменированные модели - это модели, в которых отсутствует элемент случайности, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления, и их изменения регламентируются строгими законами природы (физики, химии, биологии и т. д.), исключающими случайность.

По характеру режимов модели бывают статистическими и динамическими.

Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров, характеризующих объект.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта, при переходе от одного режима к другому, в процессе изменения каких-либо параметров (в частном случае, времени).

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа.

В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают отдельные изолированные значения.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на макро- и микроэкономические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: валовый национальный продукт (ВНП), потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей.

Пример.

Найти собственные числа (действительные) и соответствующие им собственные векторы матрицы.

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Пример.

Задана матрица парных сравнений 3 альтернатив. Проверить согласованность этой матрицы, провести ранжирование этих альтернатив методом парных сравнений (методом Саатти).

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru
Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru
Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru
Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru
3,136
3,1
3,15
+
-
2,8
3,2
+
+
+
-
3,1

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru Индекс согласованности:

IC = Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru = (3,136-3) / (3-1) = 0,068

Оценка согласованности:

ОС = 0,068 / 0,58 = 0,117

Пример.

Матрица парных сравнений:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Суммы элементов столбцов:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Матрица с нормированными столбцами:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Матрица средних значений (по строкам):

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Примеры.

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru Тема: «Математическое моделирование поддержки принятия решений на основе использования теории нечетких множеств».

Пример.

Работник за m месяцев получал зарплату:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru - количество месяцев

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru - полученный заработок за m месяцев

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

где M - математическое ожидание;

pk - вероятность получить зарплату ak.

Пример.

Модель Цена Двухсимкартный Дисплей Процессор ОЗУ Емкость аккумулятора Вес
Samsung Galaxy SM-J 120F -8990 + 4,5 -131
Samsung Galaxy SM-J 320F -11290 + 1,5 -138
Samsung Galaxy SM-J 105F -5490 + 0,768 -123
Samsung A3 SM-A300F -14990 + 4,5 -110
  Максимальное значение -14990 + 1,5 -138

Критерий двухсимкартный можно опустить, так как у всех моделей смартфонов он присутствует.

Построим матрицу соответствия альтернатив критериям, для этого каждый элемент делим на максимальное значение по столбцам и проранжируем по степени важности каждый критерий в баллах от 1 до 10.

Цена (y1) Дисплей (y2) Процессор (y3) ОЗУ (y4) Емкость аккумулятора (y5) Вес (y6)
-0,6 0,9 0,87 0,67 0,79 -0,95
-0,75 -1
-5490 0,8 0,8 0,5 0,58 -0,89
-0,37 0,9 0,8 0,67 0,73 -0,8
Баллы

Находим вес каждого критерия по нечеткому множеству В:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Находим функции принадлежности:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Примеры.

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru распределения Пуассона:

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru показательного распределения Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru точечную оценку неизвестного параметра Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru распределения Реллея, плотность распределения которого Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Пример.

Напишем систему нормальных уравнений для случая, когда в качестве класса функции выбирается система уравнений 1-ой степени.

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование» - student2.ru

Тема: «Понятие модели и моделирования. Математическое моделирование»

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или реальный, изображение, описание, схема, чертеж, карта и т.п. какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого-либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется практически любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой. Иногда построенная схема отражает какие-то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Из всей совокупности моделей мы выделим, и будем изучать как наиболее распространенные математические модели.

Существуют различные определения математических моделей.

1. Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений.

2. Математической моделью называется некий математический объект, поставленный в соответствие реальному объекту и описывающий этот объект с требуемой точностью.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими.

Стохастические модели – это модели использующие случайные величины, вероятностные методы и законы, а детерменированные модели - это модели, в которых отсутствует элемент случайности, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления, и их изменения регламентируются строгими законами природы (физики, химии, биологии и т. д.), исключающими случайность.

По характеру режимов модели бывают статистическими и динамическими.

Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров, характеризующих объект.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта, при переходе от одного режима к другому, в процессе изменения каких-либо параметров (в частном случае, времени).

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа.

В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают отдельные изолированные значения.

Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на макро- и микроэкономические.

Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связывая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: валовый национальный продукт (ВНП), потребление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой составляющей.

Наши рекомендации