Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

О

R

p

О

2R

p

r

φ

О

2R

p

r

φ

О

R

R

y

x

О

R

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAkMY2qMIA AADdAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERP22oCMRB9L/Qfwgh9KZq4SCurUUrpRfRJ6wcMm3E3 uJksSVy3f98IQt/mcK6zXA+uFT2FaD1rmE4UCOLKG8u1huPP53gOIiZkg61n0vBLEdarx4cllsZf eU/9IdUih3AsUUOTUldKGauGHMaJ74gzd/LBYcow1NIEvOZw18pCqRfp0HJuaLCj94aq8+HiNMy+ iu2HfVY76/oLHrcyqG/eaf00Gt4WIBIN6V98d29Mnl9MX+H2TT5Brv4AAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQCQxjaowgAAAN0AAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA " filled="f" stroked="f">

y

x

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAIZH6FsIA AADdAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPzWoCMRC+F/oOYQpeiibdFimrUURqLXrS+gDDZtwN biZLEtft25tCobf5+H5nvhxcK3oK0XrW8DJRIIgrbyzXGk7fm/E7iJiQDbaeScMPRVguHh/mWBp/ 4wP1x1SLHMKxRA1NSl0pZawachgnviPO3NkHhynDUEsT8JbDXSsLpabSoeXc0GBH64aqy/HqNLx9 FrsP+6z21vVXPO1kUFveaz16GlYzEImG9C/+c3+ZPL8oXuH3m3yCXNwBAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAhkfoWwgAAAN0AAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA " filled="f" stroked="f">

Рис. 32. Окружность радиуса R

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AAI2fLTCAAAA3QAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET0uLwjAQvi/4H8II3tbUHlSqUUR8HdwF H3gemrEtNpPSpLb+eyMs7G0+vufMl50pxZNqV1hWMBpGIIhTqwvOFFwv2+8pCOeRNZaWScGLHCwX va85Jtq2fKLn2WcihLBLUEHufZVI6dKcDLqhrYgDd7e1QR9gnUldYxvCTSnjKBpLgwWHhhwrWueU Ps6NUbBp4rj9uY2ro97dH/sTN+1t+qvUoN+tZiA8df5f/Oc+6DB/NJnA55twgly8AQAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQACNny0wgAAAN0AAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA ">

О

p

a

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAo+nCU8IA AADdAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPzWoCMRC+F3yHMIKXoolSWlmNIqXaoqeqDzBsxt3g ZrIkcV3fvikUepuP73eW6941oqMQrWcN04kCQVx6Y7nScD5tx3MQMSEbbDyThgdFWK8GT0ssjL/z N3XHVIkcwrFADXVKbSFlLGtyGCe+Jc7cxQeHKcNQSRPwnsNdI2dKvUqHlnNDjS2911Rejzen4WU3 23/YZ3WwrrvheS+D+uSD1qNhv1mASNSnf/Gf+8vk+dP5G/x+k0+Qqx8AAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQCj6cJTwgAAAN0AAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA " filled="f" stroked="f">

Рис. 33. Лемниската Бернулли Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: .

p

О

a

Рис.34. Трехлепестковая роза В полярных координатах ее уравнение имеет вид: , где .

О

p

p

О

О

p

Рис. 35. Улитка Паскаля Уравнение в полярных координатах имеет вид:

x

y

O

x

y

O

Рис. 36. Полукубическая парабола Уравнение кривой или

Рис. 37. Астроида Уравнение в прямоугольных координатах: ; параметрические уравнения:

p

О

r

2a

φ

О

2π

2π

p

Рис. 38. Кардиоида Уравнение в полярных координатах имеет вид , где . Кардиоида – частный случай улитки Паскаля

Рис. 39. Спираль Архимеда Уравнение кривой в полярных координатах , где – постоянное

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AB2BnGTEAAAA3AAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0FrAjEUhO9C/0N4Qm+aVbCuq1GsIAi9 VGvF42PzTBY3L8sm6vbfN4WCx2FmvmEWq87V4k5tqDwrGA0zEMSl1xUbBcev7SAHESKyxtozKfih AKvlS2+BhfYP3tP9EI1IEA4FKrAxNoWUobTkMAx9Q5y8i28dxiRbI3WLjwR3tRxn2Zt0WHFasNjQ xlJ5Pdycgg8zCafcbG67c/Zt7XFsPqv3tVKv/W49BxGpi8/wf3unFeSzKfydSUdALn8BAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L3BpY3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAB2BnGTEAAAA3AAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA nwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACQAwAAAAA= ">

О

x

y

2a

2πa

Рис. 40. Циклоида Параметрические уравнения циклоиды имеют вид где . Циклоида – это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой