Найти матрицу в базисе из собственных векторов

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица из собственных чисел.

…ничего не напоминает из заключительного параграфа статьи о линейных преобразованиях? ;-)

Такое разложение матрицы также называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:

Подчёркиваю важность порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима!

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордананетруднополучить . Это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Таким образом, матрица запишется в следующем виде:

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Каноническое разложение матрицы выгодно использовать во многих задачах, и, кроме того, в нём сразу видны векторы, которые при данном линейном преобразовании не меняют направление. Это в точности векторы канонического базиса, т.е. собственные векторы.

Давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. Там мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы. И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов! (в случае его существования). Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования (в одном и том же векторном пространстве)имеют один и то же характеристический многочлен, и, скорее всего, именно по этой причине он и получил своё название. Так, в Примере 6 первой статьи по теме у исходной и итоговой матрицы «три на три» один и тот же характеристический многочлен – по той причине, что они задают одно и то же линейное преобразование трёхмерного пространства.

Пример 3

Записать матрицу в базисе из собственных векторов

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что .

Таким образом, кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор .

! Примечание: в общем случае такое утверждение неверно!

Канонические разложение матрицы имеет вид , и в нашей ситуации данного разложения не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет ни что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одна группа коллинеарных векторов, сохраняющих своё направление. Направление же всех остальных ненулевых векторов данное линейное преобразование меняет.

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах.

Задача с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 4

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером №1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-ей степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере №1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Таким образом:

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена/решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

Крайне желательно проверить, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-ое и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы:

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение – то здесь это возможно. Различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы: составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу . Геометрически собственные векторы базиса указывают на три различных направления пространства, которые данное линейное преобразование не меняет.

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-ей степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнеепредставить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.