Понятие арбитражного портфеля

Будем рассматривать доходности ценных бумаг в рамках многофакторной модели.

Что же является арбитражным портфелем?

Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора, т.е. если , , - вес ценной бумаги в портфеле, то это требование может быть записано в виде

.

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Рассмотрим портфель

.

Тогда

, .

В-третьих, доходность арбитражного портфеля должна быть положительной, т.е.

,

где - ожидаемая доходность i-ой бумаги, .

Пример 4.2.1. Доходности ценных бумаг определяются однофакторной моделью. Инвестор обладает тремя видами акций, ожидаемые доходности которых равны 10%, 18%, 12%, а их чувствительности к фактору инфляция равны 0,5, 1, 1,5. Определить арбитражный портфель, если доля акций первого вида в нем равна 0,5.

Решение. Записываем условия арбитражного портфеля

Подставляя в два первых условия и решая следующую систему

получаем портфель . Проверим третье условие

Значит, найденный портфель является арбитражным.

В случае многофакторной модели доходностей ценных бумаг арбитражный портфель должен иметь нулевую чувствительность к каждому фактору, т.е.

Итак, арбитражный портфель не требует дополнительных инвестиций, имеет положительную ожидаемую доходность и не имеет факторного риска.

Упражнения

1. В рамках однофакторной модели инвестор обладает четырьмя видами акций, ожидаемые доходности которых равны 10%, 18%, 12%, 15%, а их чувствительности к фактору инфляция равны 0,5, 1, 1,5, 2,3. Определить арбитражный портфель, если доли акций первого и второго вида в нем равны 0,1 и 0,6.

2. Инвестор собирается создать арбитражный портфель из трех видов бумаг А, В, С путем увеличения количества ценных бумаг вида В на 0,4. Определить доли ценных бумаг в арбитражном портфеле и ожидаемую доходность полученного арбитражного портфеля, если ожидаемые доходности акций равны 14%, 16%, 12%, а их чувствительности к фактору равны 3, 2,5, 1.

3. Предположим, что доходности акций задаются однофакторной моделью. Инвестор хочет создать арбитражный портфель из пяти видов акций, ожидаемые доходности которых равны 10%, 18%, 12%, 15%, 25%, а их чувствительности к фактору инфляция равны 0,5, 1, 1,5, 2,3, 3. Привести несколько примеров арбитражных портфелей. Какой из них наиболее эффективен? Почему?

4. Предположим, что доходности акций определяются двухфакторной моделью. Инвестор сформировал портфель из трех видов акций с ожидаемыми недельными доходностями 1%, 1,2%, 2,5% и чувствительностями к рискам, заданными матрицей

.

Определить, при каких условиях данный портфель является арбитражным.

5. Предположим, что выполняется САРМ и доходности акций соответствуют однофакторной модели. Известно, что их чувствительность к инфляции определятся величинами , , дисперсия рыночного портфеля , степень зависимости доходности рыночного портфеля от инфляции характеризуется величиной ковариации =300. Определить «беты» акций. Найти равновесные ожидаемые доходности акций, если доходность рыночного портфеля 15%, а безрисковая ставка 4%.

Арбитражная теория расчётов

Для получения арбитражного портфеля инвестор продает одни акции и покупает другие. Если каждый инвестор будет так поступать, то это повлияет на курсы акций и, соответственно, на их ожидаемые доходности. Подобная деятельность по продаже и покупке акций будет продолжаться, пока все арбитражные возможности не будут существенно сокращены или исчерпаны, т.е. до тех пор, когда любой такой портфель будет иметь нулевую ожидаемую доходность. Тогда будет достигнуто равновесие.

Пусть на рынке имеется n активов. Для каждого из них

, .

Портфелю Х=( ) соответствует доход

,

при этом , , , если , , , .

Выберем такой портфель, чтобы одновременно выполнялись

, (3.3.1)

, (3.3.2)

. (3.3.3)

Первые два условия можно объединить

.

Образуем матрицу

.

По ней построим матрицу

.

Учитывая, что размеры матрицы В , размеры матрицы С будут . Матрица определена В.

Условия (3.3.1), (3.3.2) можно записать в виде , а (3.3.3) – в виде , где .

Условие возможно, если

.

Заметим, во-первых, что

.

Тогда, действительно,

=

.

Во-вторых,

.

Тогда,

.

Заменяя, , где , , - известные матрицы, можно найти вектор

,

получаем

,

где , .

Предположим, что допустима ситуация, когда при . Для этого выберем портфель Х=( ), где - константа. Тогда

.

Поэтому

,

.

Полагая , получаем

,

.

Предполагая для простоты, что ,

.

Видим, что если при , то и .

В итоге доказано, что при нулевом начальном капитале возможно составить такой портфель ценных бумаг, что ожидаемое значение дохода может быть сколь угодно большим, а риск, выраженный дисперсией дохода – сколько угодно малым. Такая ситуация называется арбитражем. Условие отсутствия на рынке арбитража указывает на неправомерность предположения . При очень больших n из ограниченности следует, что большинство компонент портфеля малы. Другими словами,

. (3.3.4)

Полученное уравнение – уравнение ценообразования АРТ.

Этот вывод обоснован лишь для больших n, а для небольшого набора активов расчёт среднего значения их доходности по указанной формуле может привести к грубым ошибкам.

Какова интерпретация констант, участвующих в уравнении ценообразования?

Доходность актива в рамках однофакторной модели определяется формулой

. (3.3.4)

Если безрисковый актив существует, то ставка доходности такого актива является постоянной величиной. Следовательно, этот актив не чувствителен к фактору, т.е. . Тогда для любого такого актива . С другой стороны в случае безрискового актива и, следовательно . Таким образом, уравнение (3.3.4) запишется в виде

. (3.3.5)

Рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель с доходностью

.

Если такой портфель имеет единичную чувствительность к фактору, т.е. =1, то его называют чистым факторным портфелем, обладающим доходностью

.

Откуда следует, что

.

Заметим, что является ожидаемой доходностью сверх безрисковой ставки, поэтому её называют премией за факторный риск. Подставляя последнее в (3.3.5), получаем

(3.3.6)

Переходя к многофакторным моделям, , как и прежде, равно безрисковой ставке, так как безрисковый актив не чувствителен ни к какому фактору. Каждое равно ожидаемой доходности портфеля акций, имеющего единичную чувствительность к фактору и нулевую чувствительность к остальным факторам. В результате получим тождество

.

Следовательно, ожидаемая доходность акции равна сумме безрисковой ставки и премий за риск, основанных на чувствительностях акций к факторам.

Пример3.3.1. В рамках однофакторной модели даны три акции со следующими ожидаемыми доходностями и чувствительностями

	,%
А		0,6
В		0,1
С		0,2

Составить арбитражный портфель и найти его ожидаемую доходность. Как изменятся доходности бумаг, если одним из возможных равновесных сочетаний является ?

Решение. Для нахождения арбитражного портфеля будем решать систему

Состав арбитражного портфеля имеет вид: 0,1, 0,4, -0,5, а его ожидаемая доходность

.

Определим равновесные значения ожидаемых доходностей акций по формуле

.

Таким образом,

,

,

.

Действительно, ожидаемая доходность портфеля

.

Ожидаемая доходность первой акции осталась неизменной, тогда как ожидаемые доходности второй и третьей акции выросли с 13% и 14% до 15% и 16%.

Если доходы акций генерируются по однофакторной модели и фактором является рыночный портфель, то, анализируя (2.7.5) и (3.3.6), можно заметить, что соответствует доходности рыночного портфеля и означает коэффициент «бета» акции по отношению к рыночному портфелю.

Пусть доходы акций генерируются по однофакторной модели, и рыночный портфель не является фактором. Тогда

,

т.к. . Деля обе части на и учитывая, что , получаем

.

Таким образом, коэффициент «бета» каждой ценной бумаги равен коэффициенту чувствительности бумаги к фактору, умноженному на некоторую константу.

Упражнения

1. Согласно однофакторной модели, три хорошо диверсифицированных портфеля имеют равновесные ожидаемые доходности 17,6%, 21% 20,4%. Если их чувствительности к первому фактору 0,2, 0,5, 0,8, а ко второму 1,2, 1,3, 1, то чему равны безрисковая процентная ставка и премии за риск, основанные на чувствительностях факторам?

2. В рамках однофакторной модели даны три акции со следующими ожидаемыми доходностями и чувствительностями

	,%
А		0,3
В		0,8
С		0,6

а) Составить арбитражный портфель и найти его ожидаемую доходность.

б) Как изменятся доходности бумаг, если одним из возможных равновесных сочетаний является ?

3.В рамках двухфакторной модели рассматриваются всевозможные портфели, состоящие из четырех видов ценных бумаг со следующими ожидаемыми доходностями и чувствительностями

	,%
A	12,4	0,9	0,2
B	15,2	1,2	0,3
C	22,6	1,6	0,8
D			0,6

а) Доказать, что при данных условиях все арбитражные возможности исчерпаны.

б) Определить равновесные параметры .

4. В условиях предыдущей задачи определить ожидаемые доходности чистых факторных портфелей, основанных на чувствительностях к первому и второму фактору.

5. Выполняется САМР и доходности двух ценных бумаг соответствуют однофакторной модели. Известно, что

=225, =1,2, =0,8, =180.

а) Найти величину коэффициентов «бета» для этих бумаг.

б) Найти равновесные ожидаемые доходности бумаг, если безрисковая процентная ставка равна 4%, а ожидаемая доходность рыночного портфеля 10%.

6. Используя условие второй задачи, вычислить «беты» акций, если =400, =200.

Глава 4. Опционы

Общая теория опционов

Опционом называется контракт, заключенный между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право купить или продать определённый актив по определенной цене в рамках определенного периода времени. Контракт с правом на покупку называется опционом «колл», на продажу – опционом «пут».

Предположим, что сделки могут совершаться в фиксированные моменты времени . Опционы бывают европейского стиля с фиксированной датой исполнения и американского стиля, которые могут быть предъявлены в любой момент времени до фиксированной крайней даты истечения контракта, т.е. .

Рассмотрим один из наиболее известных опционных контрактов – опцион «колл» европейского типа на акции. Он предоставляет его держателю право купить определенное количество акций по заранее установленной цене (цене исполнения) в момент истечения срока контракта . Если в этот момент рыночная цена акции окажется больше заранее установленной цены, то владельцу опциона выгодно предъявить его к оплате, иначе владелец опциона не предъявит его к исполнению. Доход покупателя опциона составит , где С – премия опциона «колл», т.е.

= = . (4.1.1)

Рассмотрим опцион «пут» европейского стиля. Он предоставляет его держателю право продать определенное количество акций по заранее установленной цене в момент истечения срока контракта . Если в этот момент рыночная цена акции окажется меньше заранее установленной цены, то владельцу опциона выгодно предъявить его к оплате, иначе владелец опциона не предъявит его к исполнению. Доход покупателя опциона составит , где P – премия опциона «пут», т.е.

= = . (4.1.2)

Важным является определение размера премии за опционы, чтобы каждая из сторон не оказалась заведомо ущемлённой.

Рассмотрим выигрыши и потери покупателя и продавца опциона «колл». На рисунках 4.1.1. и 4.1.2. изображены ломаные линии выигрышей и потерь покупателя и продавца опциона «колл». Формула (4.1.1) может быть записана в виде

=

Рис.4.1.1. Покупка опциона «колл»

Рис.4.1.2. Продажа опциона «колл»

Пример 4.1.1. Определить доход продавца европейского опциона «колл» с ценой исполнения 1000 рублей и премией 100 рублей, если по истечению срока контракта акция будет стоить 960 рублей.

Решение. Так как ожидаемая стоимость 960 ниже цены исполнения 1000, то покупатель опциона «колл» не предъявит опцион к исполнению, и его доход будет равен

= = = .

Иными словами, потери покупателя опциона «колл» составят 100 рублей. Так как потери одной стороны возникают за счет выигрыша другой, то доход продавца опциона «колл» составит 100 рублей.

Аналогично показаны выигрыши и потери покупателей и продавцов опционов «пут»

Рис.4.1.3. Покупка опциона «пут»

Рис.4.1.4. Продажа опциона «пут»

Формула 4.1.2. может быть записана в виде

=

Графики 4.1.2. и 4.1.4. являются зеркальным отражением графиков 4.1.1 и 4.1.3, потому что выигрыши одной стороны возникают за счет другой, т.е. если покупатель опциона «колл» или «пут» имеет выигрыш, то продавец опциона «колл» или «пут» имеет проигрыш.

Рассмотрим наиболее сложную опционную стратегию – «стеллаж», которая включает покупку (или продажу) одновременно опционов «колл» и «пут» на одну и ту же акцию, при этом опционы имеют одинаковую цену исполнения и дату истечения. Ломаную, характеризующую выигрыши и потери покупателя опциона, можно получить сложением графиков 4.1.1. и 4.1.3. (рис. 4.1.5.) или 4.1.2. и 4.1.4. (рис. 4.1.6.).

Рис.4.1.5. Покупка опционов «колл» и «пут»

Рис.4.1.6. Продажа опционов «колл» и «пут»

Пример 4.1.2. Нарисуйте график следующей стратегии: покупка акции за 1000 рублей и покупка опциона «пут» на эту акцию стоимостью 100 рублей и ценой исполнения 1000 рублей.

Решение. Построим зависимость доходности покупки акции от её цены.

Рис. 4.1.7. Покупка акции

Теперь построим график покупки опциона «пут».

Рис. 4.1.8. Покупка опциона «пут»

Совмещая выигрыши и потери, показанные на предыдущий рисунках, получаем

Рис. 4.1.9. Покупка акции и покупка опциона «пут»

Положение покупателей и продавцов опциона любого типа различны.

Покупатель опциона «колл» европейского типа просто ждет момента, когда можно будет предъявить его для совершения сделки и следит за ценами, как созерцатель. Он либо не получит ничего при неудачном изменении рыночных цен, либо выиграет. Положение эмитента более сложное. Он должен быть готовым к моменту времени выделить из свободных средств. Эмитент следит за изменениями цен и готовит портфель ценных бумаг, который должен покрыть указанную сумму. Эмитент рискует проиграть на разнице цен, и его премия - есть компенсация за риск. Отметим, что после продажи опциона эмитент тут же купил акции в объеме от пакета, указанного в опционе. С учетом премии, у него остались свободные деньги , где - цена акции, а - премия за опцион, которые он может вложить в безрисковые облигации. Составляя такой портфель, который точно повторяет выплаты по опциону «колл», эмитент пытается обезопасить себя от убытков. Такая процедура называется хеджированием.

Еще более интересной является взаимосвязь рыночных цен опционов «колл» и «пут» на одну и ту же акцию с единой ценой исполнения и датой истечения. Рассмотрим две инвестиционные стратегии: первая включает в себя покупку опциона «пут» и акции стоимостью , а вторая – покупку опциона «колл» и инвестирование части средств, равной дисконтированной величине цены исполнения, в безрисковую облигацию. Пусть на дату исполнения стоимость акции меньше цены исполнения. Тогда покупатель опциона «пут» предъявит его к исполнению, а начальная стоимость этой стратегии будет равна . Если же на дату исполнения стоимость акции больше цены исполнения, то произойдет исполнение опциона «колл». Тогда начальная стоимость данной стратегии составит , где – непрерывно начисляемая процентная ставка, - годовая банковская процентная ставка, - промежуток времени в годах. В условиях совершенного рынка, когда возможно неограниченное заимствование и кредитование и отсутствуют арбитражные портфели, стоимость этих стратегий должна быть одинаковой, то есть

= . (4.1.3)

Данное уравнение представляет паритет опционов «колл» и «пут».

Упражнения

1. По прогнозам экспертов, будущая стоимость акции вырастет на 10% по сравнению с ценой исполнения. Определить доход покупателя опциона «колл» с заранее установленной ценой в 1300 р., если премия за этот опцион равна 50 р. Как измениться доход покупателя, если цена акции упадет на 10%.

2. Известно, что доход покупателя опциона «пут» равен 20 долл., если цена акции по истечении равна соответственно 60 долл. Определить доход покупателя, если цена акции по истечении равна 90 долл., а премия за опцион 5 долл.

3. Премии опционов «пут» и «колл» на одну и ту же акцию с одинаковой ценой исполнения 3000 р. и датой истечения соответственно равны 500 и 600 р. Определить доход покупателя этих опционов, если цена акции по истечении равна

а) 3200 р.;

б) 4500 р.;

в) 2000 р.

4. В условиях предыдущей задачи найти доход продавца опционов.

5. Цена исполнения опциона равна 100 долл. Через год эта акция будет стоить 125 долл. Определить доход покупателя опциона «колл» на эту акцию, если премия составляет 20% от цены исполнения.

6. Определить текущую стоимость опциона «колл» с ценой исполнения 5000 р. и датой исполнения 6 месяцев, если начальная стоимость акции 4500 р., а текущая стоимость опциона «пут» на эту же акцию равна 800 р. Банковский процент равен 10% годовых. Определить стоимость каждой стратегии.

7. Нарисуйте график выигрышей и потерь для следующих опционных стратегий:

а) покупка опциона «пут», премия – 5 долл., цена исполнения – 90 долл.;

б) продажа опциона «колл», премия – 2 долл., цена исполнения – 50 долл.;

в) покупка акции за 70 долл. и продажа опциона «колл» за 4 долл., цена исполнения 70 долл.