Алгоритм нахождения максимального пути

При решении некоторых практических задач возникает необходимость поиска максимального пути (пути с наибольшей суммой длин дуг). Такая задача сводится к задаче нахождения минимального пути заменой знаков при длинах дуг (в матрице весов C) на противоположные. При этом необходимым является требование отсутствия в ориентированном графе контуров положительной длины.

Пример 3.16.

С помощью модифицированного алгоритма 3.1 найдем максимальный путь из верши­ны х1 в вершину х3 в графе, изображенном на рис. 3.11.

Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru

Рис. 3.11

Шаг 1. Введем число вершин графа n =5. Матрица весов этого графа после замены знаков при длинах дуг на противоположные имеет вид:

C = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru .

Шаг 2. Положим k = 0, l1(0) = 0, l2(0) = l3(0) = l4(0) = l5(0) = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru . Эти значения занесем в первый столбец табл. 3.2.

Шаг 3.

k = 1.

l1(1) = 0.

Равенство (3.1) для k = 1 имеет вид:

li(1) = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru {lj(0) + cji}.

l2(1) = min{l1(0) + c12; l2(0) + c22; l3(0) + c32; l4(0) + c42; l5(0) + c52;} = min{0 – 1; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = –1.

l3(1) = min{l1(0) + c13; l2(0) + c23; l3(0) + c33; l4(0) + c43; l5(0) + c53;} = min{0 + ¥ ; ¥ – 8; ¥ + ¥; ¥ – 2; ¥ + ¥} = ¥ .

l4(1) = min{l1(0) + c14; l2(0) + c24; l3(0) + c34; l4(0) + c44; l5(0) + c54;} = min{0 + ¥ ; ¥ – 7; ¥ + ¥; ¥ + ¥; ¥ – 4} = ¥ .

l5(1) = min{l1(0) + c15; l2(0) + c25; l3(0) + c35; l4(0) + c45; l5(0) + c55;} = min{0 – 3; ¥ – 1; ¥ + 5; ¥ + ¥; ¥ + ¥} = –3.

Полученные значения li(1) занесем во второй столбец табл. 3.2. Убеждаемся, что второй столбец, начиная со второго элемента, совпадает с первой строкой матрицы весов, что легко объясняется смыслом величин li(1), которые равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более одной дуги.

k = 2.

l1(2) = 0.

Равенство (3.1) для k = 2 имеет вид:

li(2) = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru {lj(1) + cji}.

l2(2) = min{0 – 1; –1 + ¥; ¥ + ¥; ¥ + ¥; –3 + ¥} = –1.

l3(2) = min{0 + ¥ ; –1 – 8; ¥ + ¥; ¥ – 2; –3 + ¥} = –9 .

l4(2) = min{0 + ¥ ; –1 – 7; ¥ + ¥; ¥ + ¥; –3 – 4} = –8 .

l5(2) = min{0 – 3; –1 – 1; ¥ + 5; ¥ + ¥; –3 + ¥} = –3.

Полученные значения li(2) занесем в третий столбец табл. 3.2. Величины li(2) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более двух дуг.

k = 3.

l1(3) = 0.

Равенство (3.1) для k = 3 имеет вид:

li(3) = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru {lj(2) + cji}.

l2(3) = min{0 – 1; – 1 + ¥; – 9 + ¥; –8 + ¥; – 3 + ¥} = – 1.

l3(3) = min{0 + ¥ ; – 1 – 8; – 9 + ¥; –8 – 2; – 3 + ¥} = – 10 .

l4(3) = min{0 + ¥ ; – 1 – 7; – 9 + ¥; –8 + ¥; – 3 – 4} = – 8 .

l5(3) = min{0 – 3; – 1 – 1; – 9 + 5; –8 + ¥; – 3 + ¥} = – 4.

Полученные значения li(3) занесем в четвертый столбец табл. 3.2. Величины li(3) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более трех дуг.

k = 4.

l1(4) = 0.

Равенство (3.1) для k = 4 имеет вид:

li(4) = Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru {lj(3) + cji}.

l2(4) = min{0 – 1; – 1 + ¥ ; – 10 + ¥; – 8 + ¥; – 4 + ¥} = – 1.

l3(4) = min{0 + ¥ ; – 1 – 8; – 10 + ¥; – 8 – 2; – 4 + ¥} = – 10 .

l4(4) = min{0 + ¥ ; – 1 – 7; – 10 + ¥; – 8 + ¥; – 4 – 4} = – 8 .

l5(4) = min{0 – 3; – 1 – 1; – 10 + 5; – 8 + ¥; – 4 + ¥} = – 5.

Полученные значения li(4) занесем в пятый столбец табл. 3.2. Величины li(4) равны длине минимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более четырех дуг.

Таблица 3.2

i(номер вершины) li(0) li(1) li(2) li(3) li(4)
0 0 0 0 0 ¥ – 1 – 1 – 1 1 ¥ ¥ – 9 – 10 – 10 ¥ ¥ – 8 – 8 – 8 ¥ – 3 –3 – 4 – 5

Заменив в табл. 3.2 отрицательные числа положительными, получим таблицу индексов максимальных путей (табл. 3.3). При этом li(k) определяет длину максимального пути из первой вершины в i-ую, содержащего не более k дуг.

Таблица 3.3

i(номер вершины) li(0) li(1) li(2) li(3) li(4)
0 0 0 0 0 ¥ 1 1 1 1 ¥ ¥ 9 10 10 ¥ ¥ 8 8 8 ¥ 3 3 4 5

Шаг 5. Восстановление максимального пути производится по тому же правилу, что и для минимального пути.

Длина максимального пути равна 10. Этот путь состоит из трех дуг, т. к. li(3) = li(4) = 10. Поэтому в соотношении (3.2) будет выполнено, начиная с n – 1.

Учитывая это замечание, для последней вершины x3предшествующую ей вершину xr определим из соотношения (3.2) полученного при s =3:

lr(2) + cr3 = l3(3), (3.7)

xrÎ G-1(x3), где G-1(x3) - прообраз вершины x3.

G-1(x3)= {x2, x4}.

Подставим в (3.7) последовательно r = 2 и r = 4, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:

l2(2) + c23 = 1 + 8 ¹ l3(4) = 10,

l4(2) + c43 = 8 + 2 = l3(4) = 10.

Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x3, является вершина x4.

Для вершины x4предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =4:

lr(1) + cr4 = l4(2), xrÎ G-1(x4), (3.8)

где G-1(x4) - прообраз вершины x4.

G-1(x4)= {x2, x5}.

Подставим в (3.8) последовательно r = 2, r = 3 и r = 5, чтобы определить, для какого r это равенство выполняется:

l2(1) + c24 = 1 + 7 = l4(3) = 8,

l5(1) + c54 = 3 + 4 ¹ l4(3) = 8,

Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x4, является вершина x2.

Для вершины x2предшествующая ей вершина xr определяется из соотношения (3.2) полученного при s =2:

lr(0) + cr2 = l2(1), xr Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru G-1(x2), (3.9)

где G-1(x2) - прообраз вершины x2.

G-1(x2)= {x1}.

Подставим в (3.9) r = 1, чтобы определить, выполняется ли это равенство:

l1(1) + c12 = 0 + 1 = l2(1) = 1.

Таким образом, вершиной, предшествующей вершине x2, является вершина x1.

Итак, найден максимальный путь – x1, x2, x4, x3, его длина равна 10.

Деревья

Основные определения

Неориентированным деревом(или просто деревом) называется связный граф без циклов. Этому определению эквивалентны, как легко показать, следующие определения:

а) дерево есть связный граф, содержащий n вершин и n - 1 ребер;

б) дерево есть граф, любые две вершины которого можно соединить простой цепью.

Пример 3.17.

Графы, изображенные на рис. 3.12, являются деревьями.

Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru

Рис. 3.12

Если граф несвязный и не имеет циклов, то каждая его связная компонента будет деревом. Такой граф называется лесом. Можно интерпретировать рис. 6.1 как лес, состоящий из трех деревьев.

Остовным деревомсвязного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.

Пример 3.18.

Для графа, изображенного на рис. 3.13а), графы на рис. 3.13б) и 3.13в) являются остовными деревьями.

Алгоритм нахождения максимального пути - student2.ru

Рис. 3.13

Пусть граф G имеет n вершин и m ребер Так как всякое дерево с n вершинами по определению (см. раздел 6.1) имеет n – 1 ребер, то любое остовное дерево графа G получается из этого графа в результате удаления m –(n – 1) = m – n + 1 ребер. Число g = m – n + 1 называется цикломатическим числомграфа.

Наши рекомендации