Рассчитать параметры уравнений.

2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса)
корреляции.

3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса)
детерминации и средней ошибки аппроксимации.

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности
сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии.

Используя метод Гольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность.

8. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости =0,05 определить доверительный интервал прогноза.

Решение.

Строим поле корреляции.

Анализируя расположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ах^b.

Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х вида у=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида: постоянные, не зависящие от объема производства - a, такие как арендная плата, содержание администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1. Модель линейной парной регрессии.

2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии у=а+bх.

Строим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

№	x	y	yx	x2	y2			Аi
	5,3	18,4	97,52	28,09	338,56	16,21	2,19	11,92
	15,1	22,0	332,20	228,01	484,00	24,74	-2,74	12,46
	24,2	32,3	781,66	585,64	1043,29	32,67	-0,37	1,14
	7,1	16,4	116,44	50,41	268,96	17,77	-1,37	8,38
	11,0	22,2	244,20	121,00	492,84	21,17	1,03	4,63
	8,5	21,7	184,45	72,25	470,89	18,99	2,71	12,47
	14,5	23,6	342,20	210,25	556,96	24,22	-0,62	2,62
	10,2	18,5	188,70	104,04	342,25	20,47	-1,97	10,67
	18,6	26,1	485,46	345,96	681,21	27,79	-1,69	6,48
	19,7	30,2	594,94	388,09	912,04	28,75	1,45	4,81
	21,3	28,6	609,18	453,69	817,96	30,14	-1,54	5,39
	22,1	34,0	751,40	488,41	1156,00	30,84	3,16	9,30
	4,1	14,2	58,22	16,81	201,64	15,16	-0,96	6,77
	12,0	22,1	265,20	144,00	488,41	22,04	0,06	0,26
	18,3	28,2	516,06	334,89	795,24	27,53	0,67	2,38
Σ	212,0	358,5	5567,83	3571,54	9050,25	358,50	0,00	99,69
среднее	14,133	23,900	371,189	238,103	603,350	23,90	0,00	6,65

Параметры a и b уравнения

Y_x = a + bx

определяются методом наименьших квадратов:

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Уравнение регрессии:

=11,591+0,871x

С увеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производство увеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

Предварительно определим средние квадратические отклонения признаков.

Средние квадратические отклонения:

Коэффициент корреляции:

Между признаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционная связь.

2.1.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 9,5%.

Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А_i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.

2.1.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F- критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим полученное уравнение.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1. Рассчитаем параметры а и b в регрессии:

у_x =а +blnх.

Линеаризуем данное уравнение, обозначив:

z=lnx.

Тогда:

y=a + bz.

Параметры a и b уравнения

= a + bz

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 2.

Таблица 2

№	x	y	z	yz	z2	y2			Аi
	5,3	18,4	1,668	30,686	2,781	338,56	15,38	3,02	16,42
	15,1	22,0	2,715	59,723	7,370	484,00	25,75	-3,75	17,03
	24,2	32,3	3,186	102,919	10,153	1043,29	30,42	1,88	5,83
	7,1	16,4	1,960	32,146	3,842	268,96	18,27	-1,87	11,42
	11,0	22,2	2,398	53,233	5,750	492,84	22,61	-0,41	1,84
	8,5	21,7	2,140	46,439	4,580	470,89	20,06	1,64	7,58
	14,5	23,6	2,674	63,110	7,151	556,96	25,34	-1,74	7,39
	10,2	18,5	2,322	42,964	5,393	342,25	21,86	-3,36	18,17
	18,6	26,1	2,923	76,295	8,545	681,21	27,81	-1,71	6,55
	19,7	30,2	2,981	90,015	8,884	912,04	28,38	1,82	6,03
	21,3	28,6	3,059	87,479	9,356	817,96	29,15	-0,55	1,93
	22,1	34,0	3,096	105,250	9,583	1156,00	29,52	4,48	13,18
	4,1	14,2	1,411	20,036	1,991	201,64	12,84	1,36	9,60
	12,0	22,1	2,485	54,916	6,175	488,41	23,47	-1,37	6,20
	18,3	28,2	2,907	81,975	8,450	795,24	27,65	0,55	1,95
Σ	212,0	358,5	37,924	947,186	100,003	9050,25	358,50	0,00	131,14
Средн.	14,133	23,900	2,528	63,146	6,667	603,350	23,90	0,00	8,74

Разделив на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

Уравнение регрессии:

= -1,136 + 9,902z

2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х.

Т. к. уравнение у = а + bln x линейно относительно параметров а и b и его линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной _у, то теснота связи между переменными у и х, оцениваемая с помощью индекса парной корреляции R_xy, также может быть определена с помощью линейного коэффициента парной корреляции r_yz

среднее квадратическое отклонение z:

Значение индекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида = a + bz.

2.2.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации:

,

т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у, на долю необъясненной вариации приходится 16,2%. Следовательно, качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А_i .

Предварительно из уравнения регрессии определим теоретические значения для каждого значения фактора. Ошибка аппроксимации А_i,:

, i=1…15.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.

2.2.5. Оценим статистическую значимость полученного уравнения.
Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Построим уравнение регрессии на поле корреляции

2.3. Модель степенной парной регрессии.

2.3.1. Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:

Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:

и замена переменных:

Y=lny, X=lnx, A=lna

Параметры уравнения:

Y=A+bX

определяются методом наименьших квадратов:

Рассчитываем таблицу 3.

Определяем b:

Уравнение регрессии:

Построим уравнение регрессии на поле корреляции:

2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

Предварительно рассчитаем теоретическое значение для каждого значения фактора x, и , тогда:

Значение индекса корреляции R_xy близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:

2.3.3. Оценим качество построенной модели.

Определим индекс детерминации:

R²=0,936²=0,878,

т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 12,4%.

Качество модели высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации.

Ошибка аппроксимации А_i, i=1…15:

Средняя ошибка аппроксимации:

Ошибка небольшая, качество модели высокое.

2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.

2.3.5.Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо. Примем α=0,05.

табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

фактическое значение F-критерия Фишера:

следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

Таблица 3

№	x	y	X	Y	YX	X2	y2				Аi
	5,3	18,4	1,668	2,912	4,857	2,781	338,56	15,93	2.47	6,12	13,44
	15,1	22,0	2,715	3,091	8,391	7,370	484,00	25,19	-3,19	10,14	14,48
	24,2	32,3	3,186	3,475	11,073	10,153	1043,29	30,96	1,34	1,80	4,15
	7,1	16,4	1,960	2,797	5,483	3,842	268,96	18,10	-1,70	2,89	10,37
	11,0	22,2	2,398	3,100	7,434	5,750	492,84	21,92	0,28	0,08	1,24
	8,5	21,7	2,140	3,077	6,586	4,580	470,89	19,58	2,12	4,48	9,75
	14,5	23,6	2,674	3,161	8,454	7,151	556,96	24,74	-1,14	1,30	4,84
	10,2	18,5	2,322	2,918	6,776	5,393	342,25	21,21	-2,71	7,35	14,66
	18,6	26,1	2,923	3,262	9,535	8,545	681,21	27,59	-1,49	2,22	5,71
	19,7	30,2	2,981	3,408	10,157	8,884	912,04	28,29	1,91	3,63	6,31
	21,3	28,6	3,059	3,353	10,257	9,356	817,96	29,28	-0,68	0,46	2,37
	22,1	34,0	3,096	3,526	10,916	9,583	1156,00	29,75	4,25	18,03	12,49
	4,1	14,2	1,411	2,653	3,744	1,991	201,64	14,23	-0,03	0,00	0,24
	12,0	22,1	2,485	3,096	7,692	6,175	488,41	22,78	-0,68	0,46	3,06
	18,3	28,2	2,907	3,339	9,707	8,450	795,24	27,40	0,80	0,65	2,85
сумма	212,0	358,5	37,924	47,170	121,062	100,003	9050,25	358,5	0,00	59,61	105,95
среднее	14,133	23,900	2,528	3,145	8,071	6,667	603,350	23,90	0,00	3,97	7,06

3. Выбор лучшего уравнения.

Составим таблицу полученных результатов исследования.

Таблица 4

Уравнение	Коэффициент (индекс) корреляции	Коэффициент (индекс) детерминации	Средняя ошибка аппроксимации	Коэффициент эластичности
линейное	0,951	0,905	6,65	0,515
полулогагифмическое	0,915	0,838	8,74	0,414
степенное	0,936	0,878	7,06	0,438

Анализируем таблицу и делаем выводы.

ú Все три уравнения оказались статистически значимыми и надежными, имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1) коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в допустимых пределах.

ú При этом характеристики линейной модели указывают, что она несколько лучше полулогарифмической и степенной описывает связь между признаками x и у.

ú Поэтому в качестве уравнения регрессии выбираем линейную модель.