Применение метода фазовых траекторий

Упражнение 38. Исследовать процессы в электромеханической системе стабилизации с электромагнитными муфтами трения и нелинейным логическим устройством в режиме, рис.8.5.

Исходные данные: Вращающий момент приводного двигателя, приведенный к исполнительной оси ; приведенный к исполнительной оси момент инерции всех вращающихся частей ; параметры логического устройства (пересчитанные в угол рассогласования и угловую скорость) град/сек. Статический момент нагрузки на двигатель и влияние переходных процессов в электромагнитных муфтах не учитываются.

Решение. В режиме стабилизации (рис.8.5) угол поворота командной оси и . В соответствии с исходными данными в уравнении . С учетом этой информации уравнение всей системы (8.3)следует записать в виде

Найдем уравнения фазовых траекторий для области 1. Для этого введем новые переменные и . С учетом новых переменных уравнение для области 1 запишется в виде

(9.1)

Для исключения из уравнения (9.1) времени разделим это уравнение на . В результате получим

или

(9.2)

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.2):

;

.

Далее, приравнивая результаты интегрирования, получим уравнения фазовых траекторий:

при , , (9.3)

при , , (9.4)

при , , (9.5)

где , и - произвольные постоянные.

Выражения (9.3 ) и (9.4) представляют собой уравнения парабол, симметричных относительно оси . Уравнение (9.5) представляет собой уравнение прямых линий, параллельных оси . Вид фазовых траекторий изображен на рис.9.1. Размерности по осям системы координат: . Фазовая траектория 1 имеет начальные данные: Второй фазовой траектории соответствуют начальные данные:

По виду фазовой траектории 1 можно установить, что переходный процесс заканчивается менее чем за один период, после чего в системе устанавливаются автоколебания. Амплитуда угловых колебаний и амплитуда колебаний скорости легко определяются по предельному циклу.

Упражнение 39. Получить траекторию переходного процесса стабилизации углового положения объекта.

Уравнение объекта управления

(9.7)

где момент инерции тела, угол поворота тела, - его угловая скорость, управляющий момент исполнительного органа. Управляющий момент вырабатывается регулятором системы.

(9.8)

где постоянная положительная величина, нелинейный закон управления (рис.9.2), реализуемый логическим устройством.

Решение. В соответствии с рис. 9.2. логика закона управления заключается в следующем. Области значений переменных и , располагающиеся справа и слева от сплошных утолщенных линий, соответствуют работающему исполнительному органу. В области изменений переменных и , располагающейся справа от сплошных линий и управляющий момент . В противоположной области, т. е. слева от сплошных линий и . В других областях изменения переменных и , и . По углу фазовая плоскость ограничена значениями и , так как этот диапазон составляет один полный оборот вращения тела.

.

Параметры закона управления и соответствуют зонам нечувствительности устройств, измеряющих угловую скорость вращения тела и его угловое положение .

Изобразим процесс регулирования на фазовой плоскости. Соединив уравнения объекта управления (9.7) и регулятора (9.8), получим уравнение системы:

, (9.9)

где = .

Умножив левую и правую части уравнения (9.9) на выражение получим уравнение фазовой траектории .

Это уравнение легко интегрируется на участках движения, внутри которых В результате для каждого участка уравнение фазовой траектории будет иметь вид

, (9.10)

где и значения и в начальной точке данного участка.

Зададим начальные условия: и

Для данной начальной точки на фазовой плоскости (рис.9.) . Поэтому на этом (первом) участке согласно (9.10) уравнением фазовой траектории будет

.

Этот участок движения со скоростью заканчивается в точке 1. В этой точке происходит включение исполнительного органа, т.к. далее начинается область, в которой .

С учетом этого включения для второго участка (между точками 1-2) уравнение фазовой траектории примет вид

. (9.11)

При получении уравнения учтено, что в точке 1 (рис.9.2 и 9.3). Фазовая траектория (9.11) является частью параболы, ось которой совпадает с осью абсцисс . Вращение тела происходит с равномерным замедлением. Изображая параболу графически, доводим ее до точки 2. В точке 2

(9.12)

В этой точке происходит выключение исполнительного органа ( ). Поэтому движение до точки 3 будет происходить с постоянной скоростью При этом, в конце оборота, скорость стала меньше начальной скорости В точке 3 опять включится исполнительный орган . В результате на участке 3 – 4 уравнение фазовой траектории примет вид

(9.13)

При получении уравнения (9.13) учтены равенства,

В точке 4 угловая скорость тела будет, угол порота тела

Далее на участке (4 – 5) процесс пойдет с постоянной скоростью (так как ). Далее, начиная с точки 5, процесс будет соответствовать автоколебательному режиму с предельным циклом 5-6-3-4. Уравнение параболы на участке 5 – 6 согласно (9.10) будет иметь вид

Из этого уравнения можно найти амплитуду угловых автоколебаний , как значение при :

. (9.14)

Амплитуда колебаний угловой скорости соответствует зоне нечувствительности измерителя угловой скорости , т.е. .

Из (9.14) видно, что амплитуда угловых колебаний несколько больше зоны нечувствительности измерителя угла . Следовательно, для повышения точности угловой стабилизации необходимо уменьшать зоны нечувствительности измерительных устройств.

Период автоколебаний можно вычислить как сумму времен

,

где суммарное время прохождения участков 6– 3 и 4– 5, суммарное время прохождения участков 5 – 6 и 3 - 4.

Учитывая, что во время тело вращалось с постоянной скоростью, а во время тело вращалось равно - замедленно, можем записать