Лекция 18. центральная предельная теорема

Теорема 1(Ляпунова).Пусть независимые случайные величины, имеющие: начальный момент 1-го порядка, центральный момент 2-го порядка и центральный абсолютный момент 3-го порядка – и . Рассмотрим последовательность нормированных случайных величин

, тогда если , (1)

функция распределения Y_n для всех хÎR, при n ®¥ асимптотически приближается к функции распределения нормированной нормальной случайной величины, т.е.

.

Следствие 1. Если независимые случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_n ,_… имеют одинаковое распределение и если существует их третий абсолютный момент, то для всех хÎR, при n ® ¥,

, (2)

где а = МХ_i, s² =DX_i.

Доказательство. Для доказательства нам необходимо показать, что выполняется условие (1) теоремы 1.

,

Учитывая, что получим доказательство верности соотношения (2).

Покажем, что интегральная теорема Муавра – Лапласаявляется следствием теоремы Ляпунова.

Пусть Х_i принимают значения 1 (успех) или 0 (неуспех) с соответствующими вероятностями p и q, т.е. они одинаково распределены. Ранее нами было показано, что MX_i = p,

DX_i = pq. Можно показать, что Х_i имеют третий абсолютный момент. Таким образом, выполняются условия следствия 1 теоремы Ляпунова. Подставим значения величин: а = p, = m, s = в формулу (2) и получим

(3)

Из (3) следует справедливость интегральной теоремы Муавра – Лапласа: если вероятность успеха в каждом испытании р, pÎ(0;1) постоянна, то при n ® ¥ для любых a, b

.

Замечание. Величина дискретна, как и величина m , но при большом числе испытаний ее значения расположены на оси абсцисс так тесно, что ее можно рассматривать как непрерывную.

Основополагающим условием теоремы Ляпунова является соотношение (1). Смысл соотношения в том, чтобы в сумме не было слагаемых, влияние которых на разброс суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием всех остальных. Таким образом, удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Пример 1. Клетки живого организма в процессе жизнедеятельности поглощают питательные вещества (кислород, различные микроэлементы и т.д.) и выделяют продукты распада. Если в течение некоторого времени анализировать суммарное количество поглощенных или выделенных веществ, то при условии, что все клетки функционируют примерно одинаково, закон распределения количества этих веществ должен быть приближенно нормальным.

Пример 2. Потребление энергии для бытовых нужд за месяц в каждой квартире многоквартирного дома можно представить в виде n различных случайных величин. Тогда суммарное потребление должно также аппроксимироваться нормальным законом. Если это не так, то в какой-то квартире потребляют значительно больше (меньше), чем в остальных.

Проиллюстрируем теорему Ляпунова на примере суммирования случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале (0.1).

Если всего одна случайная величина, то плотность распределения имеет следующий вид (рис. 1):

0 1

Рис. 1

Если суммируются две случайные величины, то плотность распределения имеет такой вид (рис. 2)

Рис. 2

Если суммируются три случайные величины, то плотность распределения имеет вид (рис. 3):

0 1,5 3

Рис. 3

Если суммируются шесть случайных величин, то плотность распределения практически не будет отличаться от нормального закона.

При выполнении условий теоремы Ляпунова при n ® ¥ всегда стремится к нормальному закону распределения, но скорость сходимости к нормальному закону существенно зависит от закона распределения слагаемых. Так, если для равномерного распределения достаточно 6–10 слагаемых, то для распределения c² понадобится не менее ста слагаемых.

Из теоремы Ляпунова следует, что случайные величины, имеющие биномиальный, пуассоновский, гипергеометрический, c²(Пирсона), t(Стьюдента) законы распределения, при n ® ¥ распределены асимптотически нормально.

Центральная предельная теорема объясняет, почему так часто встречается нормальное распределение в природе.