Следствия из второго замечательного предела

1°

2°

3°

4°

5°

6°

Билет №13.Сравнение бмфун-й. Св-ва эквивалентных бмфу-й.

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если

Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если

Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем , а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : при .

Если , то - б.м. низшего порядка малости при по сравнению с .

Если , то называется б.м. порядка по сравнению с при .

Если , то б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при : при .

Таблица эквивалентных б.м. функций при

Свойства:

· Предел отношения двух б.м. функций и при равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций и при , то есть верны предельные равенства:

· Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них. Верно и обратное утверждение.

· Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Билет №14. Определение непрерывности ф-ции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Классификация точек разрыва:

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Билет №15. Непрерывность ф-ции в точке(Б-14). Св-ва ф-ций, непрерывных в точке.

С-ва:

1. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

2.

3. Если функции и непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

4. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .

5. Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Билет №16. Непрерывность фу-и на отрезке. Теоремы об ограниченности и достижении точкой нижней и верхних граней ф-ии непрерывной на отрезке.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция называется непрерывной справа в точке , если .

Функция называется непрерывной слева в точке , если .

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и .

4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .

Билет №17. Непрерывность фу-и на отрезке (Б-16). Теоремы о нулях и о промежуточных значениях ф-ии, непрерывной на отрезке.