Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки

Рассмотрим вариант потери устойчивости цилиндрической оболочки не по симметричной форме. Опыты показывают, что волны образуются под некоторым углом к образующей. Выделим полоску, расположенную под углом a к образующей см.рис. 18.6.

Рис.18.19

На нее приходится давление , которое выражается через давление в виде:

(18.62)

Боковое давление запишется в виде

(18.63)

Рассмотрим уравнение равновесия элемента полоски оболочки до момента потери устойчивости (см. соотношение (18.45)):

(18.64)

Здесь b - ширина полоски. В нашем случае дополнительная нагрузка в соотношении (18.64) примет вид:

(18.65)

Для подсчета и применим аппроксимацию дуг a и b квадратичной функцией. Рассмотрим сначала задачу определения . Вид сбоку на малый элемент дуги a (рис.18.20 в) дает:

Рис.18.20

(18.66)

Величина Н находится по соотношению:

(18.67)

Тогда для имеем аналогичную связь с величиной а:

(18.69)

Отсюда вытекает выражение для при в виде:

(18.70)

Для линии b радиус кривизны получится путем замены q на угол 90-q:

(18.71)

Таким образом, для получим соотношение

(18.72)

Подставляя сюда выражения для в соответствии с (18.62), (18.63) получим

(18.73)

Таким образом, уравнение равновесия элемента, рассмотренного на рис.18.19, примет вид

.

Пусть теперь достигло критического значения . Тогда даже при бесконечно малых его возмущениях мы получим большое изменение прогиба на величину . При этом на дополнительных изменениях кривизны элемента балки напряжения создадут добавочные нагрузки :

(18.74)

Уравнение для примет вид:

(18.75)

Решение ищем в виде

(18.76)

Здесь - неизвестная константа, - длина дуги, на протяжении которой имеет место изгиб полоски оболочки.

Подстановка (18.76) в (18.75) дает:

Варьируя величины можно найти минимальное значение

Теория пологих оболочек

Оболочки по сравнению с пластинами обладают гораздо большей прочностью и жесткостью. Это связано с тем, что в них нагрузка р частично компенсируется распорными реакциями ( на рис. 19.1 показана только ).

Рис.19.1

Если оболочка пологая, т.е. , то положение элемента можно определять декартовыми координатами . Кроме того, длина элемента дуги также может вычисляться по простым формулам. Для элемента дуги вдоль в сечении y=const:

. (19.1)

Аналогично для элемента дуги x=const:

. (19.2)

Радиусы кривизны этих дуг можно определить по обычным формулам:

, (19.3)

. (19.4)

Таким образом, можно работать не с дуговыми координатами, а с декартовыми .

Рассмотрим уравнения равновесия элемента оболочки. Введем напряжения , которые действуют на уровне срединной поверхности. Аналогично введем - деформации, а также перемещения на этом же уровне.

Рис.19.2

Запишем уравнения равновесия в направлениях :

(19.5)

(19.6)

Ввиду пологости и соотношений (19.1), (19.2) используем далее вместо . В направлении оси уравнение будет почти таким же, как уравнение Софи-Жермен, но с добавлением проекций на ось :

(19.7)

. (19.8)

Здесь учтено, что кривые y=const, х=const на рис.19.1 имеют отрицательную кривизну, следовательно, .

Как следует из (19.7), уравнение для имеет почти такой же вид, как и для пластин. Отличие лишь в правой части. При этом видно, что эта правая часть меньше, чем р. Таким образом, получаем решение, аналогичное задаче изгиба пластины, но с меньшей внешней нагрузкой. Значит прогибы будут меньше, чем для пластины, следовательно, будут меньше и напряжения.Это показывает, что оболочка гораздо жестче и прочнее, чем пластина.

Для получения уравнения относительно прогиба используется функция напряжений (фактически следующая замена переменных):

(19.9)

Тогда уравнения (19.5), (19.6) удовлетворяются тождественно.

Кроме уравнений равновесия должны удовлетворять условию совместности деформаций. Для их получения надо сначала записать выражения для деформаций. Если т. В имеет только касательное перемещение , то

. (19.10)

Рис.19.3

Однако при наличии прогиба дуга дополнительно удлиняется на величину

. (19.11)

Тогда дополнительная деформация будет (ниже учтено, что угол наклона кривой уменьшается, следовательно, ):

:

. (19.12)

Суммарно получим

.

Таким образом,

. (19.13)

Аналогично получим

. (19.14)

При сдвиге изменение прямого угла

. (19.15)

Рис.19.4

Видно, что изменение длин у сторон элемента на углы не влияет. Поэтому дополнительных слагаемых в выражении для g (во втором соотношении Коши) не будет:

. (19.16)

Составим следующее выражение:

. (19.17)

После подстановки сюда формул (19.13), (19.14), (19.17) получим, что b связана только с :

. (19.18)

Здесь учтено, что ввиду пологости

. (19.19)

Они следуют из соотношений дифференциальной геометрии (формулы Петерсона-Кодацци и Гаусса).

Если подставить теперь в (19.17) деформации, выразив их через напряжения по закону Гука, то получим, что функция выражается через прогиб по соотношению (19.18). Далее, по соотношениям (19.9) получим, что

. (19.20)

Таким образом, j связана только с .

Проделаем эти процедуры, учитывая, что .

. (19.21)

. (19.22)

. (19.23)

После подстановки в (19.18) получим:

. (19.24)

Для исключения из (19.7) используем уравнение (19.24). Подставим в (19.7) напряжения , выраженные через функцию j по формуле (19.8). Затем применим к (19.7) оператор . Учтем, что

.

В результате получим уравнение вида

. (19.25)

Цилиндрическая панель.

Рассмотрим пример шарнирно опертой цилиндрической панели. Тогда

. (19.26)

Рассмотрим случай нагрузки р вида

. (19.27)

Отметим связь R с пролетом a и высотой H:

.

Отсюда

. (19.28)

Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид

. (19.29)

. (19.30)

Рис.19.5

Тогда решение можно искать в виде:

(19.31)

(19.32)

Здесь - это прогиб в центре (размерность - м), - амплитуда функции напряжений (размерность - Н).

Подставляя в (19.29), (19.30) получим:

(19.33)

(19.34)

Исключим из (19.33) с помощью (19.34). Учтем, что

.

Тогда найдем:

. (19.35)

Подставив в (19.33) найдем

(19.36)

Отсюда видно, что по сравнению с пластиной прогиб панели может быть значительно меньше

Обозначим решение (19.35) в виде:

,

Тогда из (19.36) находим

(19.37)

Из (19.37)видно, что для предварительно искривленной пластины с радиусом R перемещения уменьшаются, поскольку уменьшается. Это можно назвать эффектом поддерживающим эффектом оболочечной формы. Интересно отметить, что при этом поддерживающий эффект оболочечной формы не зависит от модуля Юнга Е.

Из (19.34) видно также, что при больших R величина уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, что соответствует физическому смыслу задачи, так как панель в этом случае превращается в пластину.

Сферическая панель.

Далее рассмотрим сферическую панель. Тогда

. (19.38)

Рис.19.6

Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид

. (19.39)

. (19.40)

Снова рассмотрим панель под синусоидальной нагрузкой (19.27). Ищем решение в виде

,

Из (19.39), (19.40) вытекают соотношения

(19.41)

(19.42)

Таким образом, (19.42) представляет собой связь прогиба в центре с амплитудой функции напряжений :

Из (19.41) получим уравнение для :

Представим решение в виде

(19.43)

Снова из (19.43) видно, что при больших R величина уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, так как панель в этом случае превращается в пластину. Из (19.41) находим

(19.44)

Из (19.44) видно, что перемещения у панели меньше , чем для пластины таких же размеров (как и для цилиндрической панели), поскольку уменьшается. Например, при соотношении R/h = 50, R=2a, a=b, прогиб у пластины будет в 20 раз больше чем у панели. При R/h = 50 прогиб у пластины будет больше уже в 80 раз.