Устойчивость плоской формы изгиба тонких балок

Пусть на торцы балки действуют моменты m (см.рис.16.1). Верхние волокна при этом сжимаются

Рис.16.1

При больших напряжениях верхняя часть балки может потерять устойчивость и изогнуться из плоскости, как показано на рис.16.16.

Обозначим через j угол отклонения сечения от вертикальной оси , прогиб (т.е. перемещение центра тяжести сечения вдоль оси ) через u. Если посмотреть на сечение с конца оси z и изобразить момент m в виде вектора, то получим картину, приведенную на рис.16.2. Тогда получим, что согласно определению изгибающий момент относительно оси у будет:

(16.1)

Рис.16.2

Поскольку кривизна оси балки пропорциональна , то получим

(16.2)

Подставив сюда (16.1) получим уравнение

(16.3)

Далее рассмотрим связь крутящего момента с моментом m. Для этого необходимо посмотреть на балку с конца оси у (см.рис.16.3).

Рис.16.3

Согласно определению крутящий момент – это момент относительно оси z. Тогда, как видно из рис.16.3:

(16.4)

Здесь учтено, что на рисунке .

Крутящий момент связан с j соотношением

. (16.5)

Тогда из (16.4) и (16.5) вытекает связь

(16.6)

Подставляя сюда j из (16.3) получим уравнение относительно u:

(16.7)

Обозначим

(16.8)

Тогда получим

(16.9)

Условиям закрепления удовлетворяет функция

(16.10)

Здесь - некоторая константа.

Подставив u в (16.9) получим:

. (16.11)

Подстановка сюда по формуле (16.8) дает:

.

Отсюда:

(16.12)

Минимального значения момент при потере устойчивости достигает тогда, когда k = 16.

Если концы защемлены, то вместо (16.10) надо брать функцию

(16.13)

Тогда граничные условия будут также выполняться. Подстановка (16.13) в (16.9) дает выражение вида

. (16.14)

Снова минимального значения момент достигает при j = 16.

Таким образом, в обоих случаях получаем формулу вида

(16.15)

При шарнирном закреплении k = 1, при защемлении k = 2. Аналогично можно получить, что при других видах закрепления , где m - коэффициент приведенной длины, введенный для обычных задач о потере устойчивости сжатых стержней.

Устойчивость пластин

Рассмотрим сжатие пластины a×b×h давлениями р_х , р_y , р_хy , (см.рис.17.1).

Рис.17.1 Рис.17.2

Из рисунка 17.2 видно, что на ось Z проецируется не только сила

, (17.1)

но и сила, вызванная давлением р_х:

. (17.2)

Суммарно получаем

. (17.3)

Деля на площадь получим суммарное (приведенное) давление р^прив.:

. (17.4)

Согласно определению изменение угла наклона на единицу длины есть кривизна линии, т.е.

. (17.5)

Таким образом, получим, что

. (17.6)

При малых углах имеет место связь:

. (17.7)

Окончательно находим, что

. (17.8)

В случае дополнительного воздействия (кроме ) давлений и получим

. (17.9)

Подставляя в уравнение Софи-Жермен получим

. (17.10)

Это уравнение равновесия элемента пластины при продольно поперечном изгибе.

Если нет поперечных воздействий, т.е. , то (17.10) называется уравнением устойчивости элементов пластины. Оно примет вид:

. (17.11)

Рассмотрим простой случай, когда имеется лишь , а пластина шарнирно опёрта. Тогда на краях должны выполняться условия:

(17.12)

Этим условиям удовлетворяет функция:

, (17.13)

где некоторая константа (максимальный прогиб),

Подстановка (17.13) в (17.11) после сокращения на дает:

. (17.14)

Отсюда находим

. (17.15)

Для отыскания , которое приводит к изгибу пластины от сжимающего давления , необходимо перебрать значения . Это даст критическое давление . Например, для получим:

(17.16)

Составим таблицу значений :

m k
	1,56	18,06	85,6
		6,25
	2,64	4,34	14,06

Значит, пластина потеряет устойчивость при

(17.17)

Сравним с при . Тогда из (17.17) при получим:

. (17.18)

По Эйлеру

. (17.19)

Таким образом, пластина выдержит в 16 раз больше.

Рассмотрим теперь квадратную пластину. Тогда , а минимизация (17.15) дает . Тогда:

(17.20)

Таким образом, квадратная пластина выдержит столько же, сколько пластина двойной длины.

РасчЕт тонких оболочек

Особенности работы оболочек заключаются в следующем.

1. Они обладают прочностью и жесткостью, которые превышают в десятки и сотни раз, соответственно, прочность и жесткость пластин и балок.

2. Большая часть оболочки при плавных нагрузках работает только на растяжение или сжатие, на изгиб работает узкая полоса по ширине в несколько толщин, вблизи закреплений, т.е., в отличие от пластин и балок, усиливать оболочку приходится только вблизи закреплений.