Одномерная цепочка с одним атомом в примитивной ячейке

Рассмотрим одномерную периодическую цепочку атомов — одномерный кристалл с одним атомом в элементарной ячейке. Пусть период этой цепочки равен a. Тогда в состоянии равновесия координата n-го атома цепочки x_n равна na.

Рис. 1. Одномерная цепочка с одним атомом в элементарной ячейке.

Обозначим через u_n смещение n-го атома из положения равновесия. Будем считать, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями. Сила, с которой (n+1)–й атом действует на n-й зависит от разности смещений этих двух атомов u_n+1–u_n. При небольших смещениях эту силу можно считать пропорциональной разности смещений: F_n,n+1 = γ(u_n+1–u_n), где γ — коэффициент пропорциональности. Удобно представить, что атомы связаны друг с другом пружинками с жесткостью γ.

На рис. 1 пружинка между n-м и n+1 -м атомами растянута, так что она действует на n-й атом в положительном направлении. Растянутая пружинка между n–1-м и n-м атомом действует на n-й атом в отрицательном направлении: F_n,n–1 = –γ(x_n–x_n–1).

Запишем закон Ньютона для n-го атома цепочки:

(1)

Первое слагаемое в правой части — сила, действующая на n-й атом со стороны n+1-го атома, второе — сила, действующая со стороны n–1-го.

После упрощения получим:

(2)

Система таких уравнений, записанных для каждого атома, полностью описывает колебания цепочки.

Если рассматривать только длинноволновые колебания, т. е. колебания с длиной волны много большей периода цепочки a, то можно заменить разность u_n+1–u_n на (∂ u_n/∂ x)a, а величину, стоящую в правой части (2) — на γ a²(∂² u/∂ x²). В результате получим волновое уравнение

(3)

решением которого являются волны u = Aexp(ikx–iω t) с линейным законом дисперсии ω = s|k| (звуковые волны). Здесь s — скорость звука:

(4)

Но мы решим задачу точно, т. е. рассмотрим колебания со всеми возможными длинами волн.

Будем искать колебания, зависящие от времени по гармоническому закону:

un = Cne–iω t

(5)

Здесь ω — частота колебаний, одна и та же для всех атомов (такие колебания называются гармоническими). C_n — комплексная амплитуда колебаний n-го атома. Напомним, что колебания описывает вещественная часть (5), но технически удобно пользоваться комплексным решением.

Такая подстановка — стандартный метод решения линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами. В силу линейности уравнений, колебание с произвольной временн\'ой зависимостью может быть разложено в интеграл (ряд) Фурье по гармоническим колебаниям.

Из (2) для амплитуды C_n получаем уравнение:

(6)

Эти уравнения образуют бесконечную систему линейных уравнений. Если применить к цепочке граничные условия Борна-Кармана, то система будет конечной. (Заметим, что условия Борна-Кармана в одномерном случае эквивалентны тому, что цепочка достаточно большой длины L замкнута в кольцо). Тогда, приравняв определитель нулю, можно найти частоты колебаний, а затем, решив систему уравнений для каждой из найденных частот — соответствующие амплитуды.

Но мы поступим иначе. Будем искать решение в виде плоской волны:

(7)

Подставив это выражение в (6), получим:

(8)

Разделим последнее уравнение на exp(ikx_n) и воспользуемся тем, что x_n+1 = x_n+a, x_n–1 = x_n–a:

–Mω2 = γ(eika+e–ika–2)

(9)

Таким образом, подстановка в виде плоской волны оказалась верной: мы избавились от номера атома n и получили уравнение, связывающее ω и k, т. е. уравнение, определяющее закон дисперсии волн.

Поскольку

(10)

то

(11)

и мы получаем закон дисперсии для упругих колебаний одномерной цепочки:

(12)

Итак, мы пришли к выводу, что смещения атомов при колебании одномерной цепочки описываются плоской гармонической волной:

(13)

Точнее, колебания представляют собой произвольную сумму таких волн. Здесь φ — фаза комплексной амплитуды A: A = |A|exp(iφ).

Напомним, что смещение — вещественная величина, которая описывается вещественной частью комплексной плоской гармонической волны, что явно записано в (13). В дальнейшем, при описании вещественных колебаний комплексной плоской волной, мы будем для краткости опускать обозначение вещественной части.

Волновой вектор k в плоской волне (13) может, вообще говоря, быть любым. Но вследствие дискретности цепочки (x_n может принимать лишь дискретный набор значений na) плоские волны, волновые вектора которых отличаются друг от друга на произвольный вектор обратной решетки 2π l/a, описывают одно и то же колебание. (Здесь l — любое целое число).

Действительно, т. к. x_n = na, то

(14)

Поэтому достаточно рассматривать волновые вектора, лежащие в первой зоне Бриллюэна –π/a<k<π/a. Крайние значения волнового вектора ±π/a соответствуют одному и тому же колебанию с минимальной длиной волны λ = 2π/k = 2a. При такой длине волны соседние атомы цепочки движутся в противофазе. Интуитивно ясно, что короче длина волны быть уже не может.

График зависимости ω(k) для одномерной цепочки с одним атомом в примитивной ячейке изображен на рис. 2.

Рис. 2. Закон дисперсии колебаний цепочки с одним атомом в примитивной ячейке.

Обсудим теперь особенности закона дисперсии (12).

Важным его свойством является то, что частота волн, распространяющихся по цепочке, ограничена частотой . Чтобы оценить эту частоту, надо знать порядок величины постоянной γ.

Посмотрим на размерность γ. Сила F равна произведению γ на смещение u, поэтому:

(15)

Характерная длина, межатомное расстояние a, имеет порядок 1A = 10^–8 cм. Характерная энергия — энергия, которую приобретает атом при смещении на расстояние порядка a. Ее можно оценить как энергию химической связи, которая по порядку величины равна 10 эВ. Таким образом,

(16)

В качестве массы для оценки можно подставить величину 10M_p , где M_p≈ 2· 10^–24 г — масса протона.

Для ω_max получаем:

(17)

Найдем длину волны электромагнитного излучения такой частоты:

(18)

Электромагнитные волны с такой длиной принадлежат инфракрасному диапазону.

При ka/2<<1, когда длина волны λ = 2π/k много больше a, sin(ka/2)≈ ka/2, поэтому:

(19)

Таким образом, длинноволновые колебания — это звуковые волны с линейным законом дисперсии ω = s|k|. Выше мы уже получали такой результат, заменив точное уравнение цепочки (2) волновым уравнением (3). Это и неудивительно: длинные волны ''не чувствуют'' дискретной структуры цепочки, цепочка ведет себя как непрерывная упругая среда. По этой причине скорость звука s зависит только от макроскопических характеристик цепочки: линейной плотности, M/a, и упругой постоянной цепочки γ· a — коэффициента пропорциональности между относительным удлинением цепочки и возникающей при этом силой натяжения:

(20)

Рассмотренные нами колебания одномерной цепочки называют акустическими, поскольку при k→ 0 (λ→∞) они соответствуют звуковым волнам.

Ниже мы увидим, что в цепочке с двумя (и более) атомами в элементарной ячейке наряду с акустическому могут распространяться волны другого типа.

При квантовомеханическом описании каждому колебанию соответствует квазичастица с импульсом p = ħ k и энергией . Квазичастицы, соответствующие упругим колебаниям кристаллической решетки называются фононами. Фононы, соответствующие акустическим колебаниям, также называются акустическими.

Оценим максимальную энергию акустического фонона в одномерной цепочке:

(21)

Экспериментальные значения ħω_max в реальных кристаллах составляют 30÷ 40 мэВ.

Эта величина намного меньше большинства характерных электронных энергий (~ 1 эВ) и близка к тепловой энергии при комнатной температуре (k_BT≈ 0.025эВ, здесь k_B – постоянная Больцмана).