Основы методики проведения урока математики

Качество и эффективность урока зависят от того, как он организован, т. е. зависят от соответствующего решения вопросов, связанных не только с его разработкой, но и с проведением. Потому для успешной организации урока необходимо владеть и современными основами методики его проведения, содержание которой оказалось целесообразным сгруппировать по разделам, где рассматриваются проблемы организации начала урока, изучения нового материала, закрепления изученного,

контроля знаний и умений, постановки домашнего задания и концовки урока.

Начало урока

Как известно, всякое начало трудно. Не составляет исключения в этом смысле и организация начала урока математики. Ведь с первых его минут должны создаваться обходимые условия для успешной совместной деятельности учителя и учащихся по достижению намеченных целей. Возникающие при этом проблемы многоплановы и связаны, главным разом, с разрешением следующих вопросов: — организационных; — содержательных; — этических. Необходимость решения организационных вопросов возникает перед учителем сразу же после звонка на урок, когда он еще только входит в класс. Первый из них — взаимное приветствие учителя и учащихся. Оно может быть исчерпано выполнением следующих действий. Приветствуя входящего учителя, все учащиеся класса должны встать лицом к учителю и успокоиться. Завершиться эта процедура может таким ответным приветствием учителя: «Здравствуйте, садитесь».

Если процедура приветствия не сразу дается учащимся, изменить ситуацию к лучшему за один-два урока, как правило не удается. Здесь надо проявить терпение и настойчивость, добиваясь от учащихся уравновешенного и быстрого выполнения всех указанных действий, включая их посадку за рабочие места после ответного приветствия учителя.

Впрочем, определенные навыки в этом плане у учащим есть, ибо еще в начальной школе с ними отрабатывалась процедура взаимного приветствия. Это следует использовать учителю с самого первого урока. Да и впоследствии, когда учащие ся освоят данную процедуру, каждый новый урок учитель должен начинать с уважительного приветствия учащихся. В противном случае неизбежна адекватная ответная реакция учащиеся, от которых в конечном счете придется заново добиваться приемлемого выполнения процедуры приветствия.

Другой организационный аспект начала урока связан с проверкой состояния кабинета, учебного оборудования, рабочих мест и с проверкой отсутствующих. В этой связи каждый ученик дол жен быть приучен своевременно — до начала урока приводит свое рабочее место в порядок: выложить на стол нужные тетради, книги, другие учебные принадлежности и убрать с него все лишнее, если оно есть.

Учащиеся должны быть готовы и к выполнению обязанностей дежурных, от которых следует добиваться того, чтобы учебное помещение к началу каждого урока было проветрено и убрано, классная доска вымыта, находились на своем месте чистая влажная тряпка и мел, на стол учителю был положен список отсутствующих и дежурных и т. д. Более того, в случае необходимости учитель должен быть всегда готов помочь учащимся в решении и этих вопросов.

Если же такого рода работу с учащимися учитель пустит на самотек или она будет носить эпизодический характер, то уроки в конечном счете будут начинаться в грязном и душном классе, с шумного поиска тех, кто сегодня дежурит, с чтения им морали и требований навести порядок, с долгого выяснение отсутствующих и т. д.

А если подобное происходит изо дня в день, из года в год Ясно, что выбор здесь следует сделать в пользу безусловного последовательного и систематического решения учителем постав ленных вопросов вне зависимости от его стажа.

Остановимся еще на одном вопросе, касающемся опозданий на урок. Прежде всего сам учитель не должен их допускать, показывая учащимся пример организованности. Что же касается учащихся, то на уроке, пожалуй, не следует специально тратить время на выяснение причин опозданий и принятие каких-либо мер. В таких случаях лучше молча и без заминок позволить опоздавшим занять свои места, сводя к минимуму возможность срыва рабочей обстановки в классе. Однако ни один случай опоздания учащихся не должен проходить бесследно для них.

Работу же по профилактике этого явления следует вести основном во внеурочное время совместно с классным руководителем и родителями. В практике обучения начало урока порой проходит как бы без решения организационных вопросов: учащиеся сразу же включаются в урок, поддерживая инициативы учителя и сосредоточиваясь на осваиваемом материале. Иначе говоря, в таких случаях сотрудничество учителя и учащихся в организации начала урока налаживается как бы само собой. В действительно­сти же за этим стоит длительная и кропотливая работа учителя по выработке у учащихся соответствующих навыков организации своей деятельности на уроке, и в частности в первые его минуты.

Но и в таких классах бывает необходимо специально при­влечь внимание учащихся к предстоящей учебной работе. Для этого иногда достаточно лишь обратиться к ним со словами: Внимание, начинаем работу». Когда же учащиеся сильно возбуждены, то подобные обращения оказываются, как правило, малоэффективными. Такое случается после контрольных работ, выяснения личных отношений в классе и т. д. Здесь уместно начать урок с предварительной содержательной работы с использованием интересных и посильных заданий, составленных на изучаемом материале. И тогда сам процесс их выполнения, особенно письменных заданий, помогает постепенно снять напря­жение и возбуждение и естественным образом включить учащихся в урок. Нередко при этом проводится в той или иной степени и проверка выполнения учащимися домашнего задания, особенности организации которой будут рассмотрены нами спе­циально.

Процесс постановки и решения содержательных вопросов в начале урока может осуществляться несколькими способами. Их различают в зависимости от того, кем отбираются, разрабатываются и подаются задания:

— только учителем;

— учащимися вместе с учителем;

— самими учащимися.

В практике обучения предварительная содержательная работа на уроке организуется чаще всего только учителем. Она направлена главным образом на подготовку учащихся к усвое­нию нового материала, применению имеющихся знаний, овла­дению определенными умениями. С этой целью в начале урока используется устный счет, математические диктанты, игровые кидания, задания на поиск закономерностей, на обнаружение ти­пичных ошибок учащихся и их предупреждение, на выбор ра­циональных способов решения задач, комментированное чтение текста учебника и т. д. При этом не следует останавливать свой выбор только на каком-то одном или нескольких видах зада­ний. Постоянное стремление разнообразить набор используемых паданий привносит элементы неожиданности и новизны, а значит, способствует проявлению у учащихся интереса к уроку первых его минут.

Рассмотрим пример организации такого начала урока в VI классе, на котором предстоит отработка умений складывать числа с разными знаками. Ранее уже было введено правило сложения чисел с разными знаками, поэтому перед учителем прежде всего стоит задача выяснить, знают и понимают ли это правило учащиеся. И начать урок поэтому можно с решения следующих заданий, подготовленных учителем:

1. Раскрывается одно из «крыльев» доски с таблицей (см. табл. 9).

Перед учащимися ставится задача: найти правило, по которому составлена таблица, и вписать пропущенные числа. I

Выясняется, что числа верхней и нижней колонок есть слагаемые, а средней — их сумма. Учитель требует обосновать это предположение, в ходе чего проверяется знание и понимание учащимися правила сложения двух чисел с разными знаками на конкретных примерах. При заполнении же таблицы рас смотренные действия повторяются несколько раз разными учениками.

Необычность упражнения захватывает ребят, и они, как правило, требуют новых аналогичных заданий, которые можно несколько видоизменить.

2. Раскрывается второе «крыло» доски с другой таблицей (см. табл. 10).

Задание остается прежним, хотя здесь необходимо выяснить, что уже числа средней и правой колонок есть слагаемые, а левой — их сумма. И вновь следует многократное воспроизведение формулировки правила сложения чисел с разными зна­ки ми и его осмысление на конкретных примерах.

Наконец предлагается последнее задание.

3. Демонстрируется таблица (см. табл. 11) и сообщается, что в ходе ее заполнения была допущена ошибка при написа­нии одного из чисел. Требуется установить правило, по которо­му составлена таблица, и исключить это число.

Учащиеся должны сначала обнаружить, что числа правой и левой колонок данной таблицы являются слагаемыми, а сред­ней — их суммой.

Затем необходимо проверить с помощью установленного Правила правильность заполнения колонок таблицы и исклю­чить число 8. Кстати, допущенная ошибка является типичной для учащихся и связана с потерей знака суммы. На это также следует обратить внимание учеников, выясняя вместе с ними причины появления подобных ошибок.

Совершенствовать управление предварительной содержа­тельной работой на уроке возможно путем привлечения учащих­ся к ее организации. И дело здесь не только в достижении пред­сказуемости действий части учащихся, но и в том реальном со­действии в организации начала урока, которое они в состоянии оказать. Для этого следует приобщать учащихся, например, к составлению математических кроссвордов и использованию луч­ших из них в начале урока, изготовлению таблиц для решения задач по готовым чертежам, к «защите» решений домашних за­дач учащимися, предварительно отобранных на предыдущем уро­ке, и т. д.

Приведем пример подобной организации начала урока. Так, При изучении в VIII классе свойств параллелограмма с использованием учебника геометрии А. В. Погорелова учителем может выть намечено явное использование признаков параллелограмма. Дна из них сформулированы в виде теоремы 6.1 и задачи № 18 | 6, решение которой приведено в учебнике. Третий же может быть сначала предложен учителем в виде задачи для домашней работы.

— Доказать, что четырехугольник, у которого противоле­жащие стороны попарно равны, является параллелограммом.

При этом выявляется один или несколько учеников, кото­рым на следующем уроке надо будет «защищать» решение дан­ной задачи. На перемене, а если понадобится, и на первых минутах урока они оформляют на доске свои решения. Осталь­ные ученики выступают в роли оппонентов: они следят за правильностью ответов и участвуют в оценке знаний отвечающих. Мели задача решалась несколькими способами, например, с использованием определения параллелограмма или результатов задачи № 18 § 6, то выбирается еще и лучшее решение. Полученный результат записывается всеми учащимися в тетради под диктовку учителя в виде еще одного признака параллело­грамма:

— если у четырехугольника противолежащие стороны по парно равны, то он является параллелограммом.

В дальнейшем этот признак параллелограмма наряду с дну мя другими будет неоднократно использоваться при решении различных задач, и в частности задачи № 36 § 6.

А теперь представьте себе, что начинается, скажем, урок алгебры в IX классе, на котором изучаются последовательноети. На доске записано следующее задание:

Восстановите пропущенный шестой член последователь ности 1081, 1082, 1084, 1088, 1096, ?, 1108, 1109, 1111, 1115, 1123,

Оно составлено учащимися специально для учителя. Всем не терпится узнать, как же начнется урок, если сначала самому учителю будет предложено решить это задание. Учитель должен быть готов поддержать такой настрой учащихся, и особенно, когда подобное происходит в классе впервые. Тогда, как правило, не только начало, но и весь урок удается провести, об разно говоря, на одном дыхании.

Если описанная ситуация стала реальностью на уроке, да еще и по инициативе самих учащихся, то можно поздравить их вместе с учителем: приобщение учащихся к сотрудничеству Л организации начала урока побудило их к самостоятельному вы бору, разработке и постановке соответствующих заданий. Иначе говоря, учащиеся в конечном счете сумели проявить способность к самоорганизации для более эффективного использования учебного времени.

Возвращаясь к задаче, подготовленной учащимися для учи теля, заметим, что, хотя она и составлена на изучаемом мате риале, для ее решения следует проявить смекалку. Действительно, здесь надо догадаться, что каждый член данной последовательности, начиная со второго, получается прибавлением предыдущему члену остатка от его деления на число 9. Вот по чему шестой член этой последовательности равен 1103.

Конечно, на первых порах ученики будут, скорее всего, составлять задания, лишь незначительно отличающиеся от тех которые используются учителем в начале урока. Но их постоянно в этом плане следует поддерживать и поощрять, чтобы способствовать развитию процесса самоорганизации учащихся с первых минут урока. Тогда можно надеяться, что учащиеся научиться глубже разрабатывать идеи, заложенные в предлагаемые учителем в начале урока заданиях, приобщаться к чтению дополнительной учебной литературы и т. д. И не надо бояться того, что они, возможно, сумеют предложить учителю задачу, которую он сразу не решит. В таких случаях ребята смогут показать ее решение и заработать отличную отметку. Конечно желательно, чтобы учитель как можно реже оказывался в подобной ситуации, но для этого ему надо быть в постоянном творческом поиске.

Таким образом, при комплексной реализации отмеченных сповобов организации содержательной работы в первые мину-I Ты урока становится невозможным всякий раз начинать урок I одними и теми же действиями. В этой связи уместно напомнить, что ребята «устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, [даже если вся остальная часть урока построена традиционно»

127, с. 19].

Успеху урока способствует также создание с первых его минут благоприятного эмоционального настроя учащихся, что

связано, главным образом, с решением этических вопросов. Пред­лагаемые в этой связи рекомендации также являются результатом изучения, анализа и обобщения накопленного опыта решешения данной проблемы [66, 130, 209, 223 и др.]. Они сводятся I к соблюдению учителем следующих положений, невыполнение I которых к тому же лишает его морального права предъявлять

равнозначные требования к учащимся.

Внешний вид учителя должен привлекать своей опрятностью, чистотой, подтянутостью. Здесь недопустимы и крайности.

Деловой настрой учителя, его увлеченность выполняемой I работой, умение начинать и проводить урок с хорошим настро­ением высоко ценятся учениками. Нельзя переносить на урок I гнои неприятности, проявлять несдержанность, грубость, придирчивость, откровенную злость, равнодушие к работе и т. д. I Состоявшемуся учителю в этом плане присущи прежде всего естественность, уравновешенность и приветливость.

Учитель должен следить за грамотностью своей речи, избавляться от неправильного произношения звуков и слов, при высказывании основных мыслей добиваться краткости, четкос­ти и логичности, очищать речь от слов-паразитов вроде «ну», "короче", «так сказать» и т. д. Так как учащихся одинаково раздражает и монотонно тихая и громкая речь учителя в тече­ние всего урока, то следует варьировать силу своего голоса и тон в соответствии с изменяющейся обстановкой в классе. К учащимся следует относиться уважительно, знать каж­дого из них по фамилии и имени, не допускать обращений ти­па: «Ну-ка ты, мальчик, ответь на этот вопрос». Быть требовательным, но справедливым, доброжелательным, но не распола­гающим к панибратству. Быть выдержанным, уметь терпеливо выслушивать и исправлять любые ошибки учащихся. Убеждать и переубеждать, но не поучать и не унижать человеческого достоинства учащихся. В каждом своем поступке исходить из же­лания помочь учащимся учиться математике.

Умение решать все поставленные выше вопросы в начале урока способствует углублению сотрудничества учителя и учащихся, а в целом оказывает позитивное влияние на дальней­ший его ход: оно предопределяет необходимый темп урока, эмо­циональный настрой, плодотворную деятельность учителя и уча­щихся в течение всего урока и т. д.

§ 2. Изучение нового материала

Ключевым элементом в структуре многих уроков является изучение нового материала. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопроы будь то закрепление, контроль и т. д. В процессе обучения тематике оно чаще всего связано с решением проблем, возникающих при изучении математических понятий, предложений доказательств. Можно при этом выделить три основных этапа подготовку к восприятию, введение и первичное осмысление нового материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных знаний. Этого, однако может оказаться недостаточно для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное чаще всего наблюдается в тех случаях, когда в процессе преподавания не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний. Рассмотрим в этой связи на конкретных примерах некоторые способы решения данной проблемы.

1. Подготовка к изучению, например, понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через вы явление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлена в процессе предварительного решения следующей системы упражнений после рассмотрение теоремы о сумме углов треугольника:

— Какой угол называется острым, прямым, тупым?

— Изобразите какой-нибудь острый, прямой и тупой углы

— Если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?

— Верно ли, что если один из углов треугольника прямой то два других угла будут острыми?

— Если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90°?

— Почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?

— Если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?

— Могут ли все углы треугольника быть острыми?

— Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол тупой.

— Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол прямой.

— Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого все углы острые.

— Как бы вы назвали каждый из трех изображенных треугольников?

При подготовке к изучению других определяемых понятий возможно также использование практических примеров, пока­пывающих целесообразность их изучения, соответствующих наглядных пособий, кратких исторических справок и т. п. Ну а перед введением основных понятий желательно мотивировать факт невозможности определения всех математических понятий. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, мы сводим его к более общему, которое, в свою очередь, при определении сводится к еще более общему понятию, и т. д. Но этот процесс не может быть бесконечным. Таким образом мы придем к понятиям, не сводимым к другим, которые в матема­тике принято называть основными или неопределяемыми.

2. В ходе подготовки учащихся к восприятию аксиом (о чем начата речь в предыдущем пункте) — математических пред­ложений, описывающих свойства неопределяемых (основных) понятий и потому принимаемых без доказательств,— нельзя упустить главного. Оно отражается и в значении греческого слова «аксиос», от которого произошло слово «аксиома»: это — утверждение, не вызывающее сомнений. Иначе говоря, к воспри­ятию содержания аксиом — будь то аксиомы арифметики, ал­гебры или геометрии — учащиеся должны быть подготовлены заранее, в том числе и через многократное выполнение разно­образных упражнений: рассмотрение и обсуждение частных слу­чаев, моделей и т. д.

Подвести учащихся к восприятию формулировок теорем I можно в ходе организованной совместно с ними деятельности по выдвижению гипотез. В частности, перед изучением теоре­мы о сумме внутренних углов треугольника заготавливается не­сколько бумажных моделей различных треугольников. Вырезав ножницами все «углы» какого-нибудь треугольника, складыва­ем затем их так, как показано на рисунках 13 и 14.

Далее замечаем, что они образуют примерно развернутый угол. Проделав такие же действия с другими треугольниками, намечаем, что этот факт, видимо, не случаен. Теперь остается «месте с учениками составить и уточнить гипотезу: быть может, сумма углов любого треугольника равна 180°?

Предварить изучение других математических предложе­ний — следствий, свойств, признаков, формул и т. д.— возможно

также, наряду с отмеченными выше способами, через цели направленное формирование вспомогательных навыков. Так, И моменту изучения формулы разности квадратов двух выраже ний все учащиеся должны научиться находить, читать и запи сывать:

— сумму двух данных выражений;

— их разность;

— произведение суммы двух выражений и их разности; i

— квадраты данных выражений;

— разность квадратов двух выражений;

— разность квадратов двух выражений и квадрат разног двух выражений.

Достигается это путем планомерного выполнения на не скольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.

3. Чтобы подготовить учащихся к восприятию доказательств математических предложений, желательно там, где это возможно, предварительно рассмотреть реализацию идеи доказательств важна в частных случаях, если этого не сделано в используемом учебнике. К примеру, перед доказательством предложения о том, что графиком квадратичной функции является парабола, можно сначала решить задачу на построение графиком функции В ходе ее решения выделением полного

квадрата исходная формула приводится к виду откуда следует, что графиком функции является

парабола. Затем эта же идея реализуется в общем виде при обосновании рассматриваемого предложения.

Облегчить изучение доказательств может и предварительное выделение из них подзадач, решение которых рассматривается заранее. Так, перед изучением доказательства теоремы Пифагора по учебнику А. В. Погорелова можно выделить и предварительно решить следующие подзадачи:

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым уг лом С, a CD — его высота. Доказать, что:

Рассматриваемые в этих подзадачах соотношения (они связаны с понятием среднего геометрического, которое при необходимости можно ввести для использования в явном ви де) не только облегчат восприятие доказательства теоремы Пифагора, но и с успехом могут быть применены при решении задач.

Не менее важно готовить учащихся к выбору тех или иных дополнительных построений, используемых при доказательствах теорем. Возвратимся в этой связи к примеру об использовании бумажных моделей при подготовке к изучению теоремы о сум­ме углов треугольника. Если заготовить заранее два равных треугольника, то один из них можно будет использовать для демонстрации, а другой — для вырезания необходимых элемен­тов. Вместе с учащимися выясняем, что можно было бы вырезать только два «угла» треугольника, а потом сложить их с ос­тавшимся. Каждый из двух вырезанных «углов» совмещается сначала с соответствующим углом демонстрационного тре­угольника, чтобы убедиться в их равенстве. Затем три угла скла­дываются так, как показано на ри­сунке 15.

В этом случае, наряду с выдви­жением гипотезы о сумме углов треугольника, обращается внимание еще и на то, что образовавшаяся прямая при одной из вершин треугольника оказывается параллельной противолежащей стороне. Впоследствии же такое дополнительное

построение может быть использовано при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Среди различных способов ознакомления с новым матери­алом выделим следующие три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно. Выбор каждого из этих способов зависит прежде всего от того, каким I временем располагает учитель на уроке для изложения нового, I от степени готовности учащихся к его восприятию и от содержания вводимых понятий, предложений и доказательств. I Последнее рассмотрим подробнее на приводимых ниже примерах.

1. Изучение новых понятий связано, как правило, с введением соответствующих определений, терминов, а порой и сим­волов, их обозначающих. Вместе с тем важно уделить особое внимание выявлению в определениях (вне зависимости от спо­соба определения понятий) определяющего (родового) понятия И существенных свойств (видовых отличий) определяемого по­нятия. Без этого не только осмысление, но и дальнейшее ис­пользование вводимых понятий становится проблематичным. По­следовательность же реализации рассмотренных этапов введе­ния математических понятий может быть различной. Так, выполнение приведенной выше системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости . от величины их углов можно завершить введением соответствующих терминов и констатацией следующих положений:

— в каждом случае мы рассматривали треугольники (ус­танавливается определяющее понятие);

— в остроугольном треугольнике все углы острые, в пря­моугольном — один из его углов прямой, в тупоуголь­ном — один из его углов тупой (устанавливаются суще­ственные признаки определяемого понятия).

Тогда последующее формулирование определений понятийостроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника не вызывает затруднений у учащихся. В таких случаях можно предложить учащимся самостоятельно изучить соответствуют материал по учебнику.

Несколько иной подход характеризуется тем, что учитель сразу показывает учащимся возможный способ построении определяемого объекта и знакомит их с термином, его обо чающим. После этого формулирование определения нового понятия можно будет провести сов местно с учениками. Например, и отобразив угол АОВ и построив полу прямые ОС и OD, являющиеся продолжениями сторон данного угла учитель затем сообщает, что углы АОВ и COD называют вертикальны ми (рис. 16). Далее учащимся предлагается попробовать сформулировать определение вертикальных углов. Ход обсуждения предлагаемых определений сводится к тому, чтобы заметить: мы имеем дело с двумя углами (определяющее понятие), стороны одного из которых являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла (существенный признак определяемого понятия). Отметим также, что выбору определения вертикальных углов способствует и избранный вначале способ построения определяемого объекта.

Иной путь связан с введением нового понятия самим учителем, скажем, в целях экономии времени. Проиллюстрируем его на примере введения понятия линейной функции:

— учитель сразу формулирует определение нового понят; (линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида _ , где х — независимая переменная, hub — некоторые числа);

— мотивирует обозначение его соответствующим термином а там, где требуется это, и символом (сообщает, что тер мин «линейная» связан с графиком функции который будет рассмотрен позднее);

— выделяет в определении определяющее понятие (функция) и существенные свойства определяемого понятия (функцию, например, можно задать формулой где х — независимая переменная, k и Ъ — некоторые числа);

— конкретными примерами иллюс­трирует введенное понятие.

2. При любом способе введения математических предложений учащимся должны быть тщательно разъяснены их форму­лировки. Особые трудности здесь возникают в тех случаях, когда этап подготовки к их изучению не был эффективно использован. В самом деле, может ли быть успешным введение, на­пример, аксиом принадлежности, если к моменту их изучения учащиеся допускают, в частности, такое изображение точки А, лежащей на прямой а (рис. 17)?

Иначе говоря, не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не в состоянии уяснить их содержания в целом. По­следнее же сводится к установлению по данным формулиров­кам математических предложений их условий и заключений. Так, если речь идет о теореме, то это сводится к выделению и уяснению по ее формулировке того, что «дано» и что «требует­ся доказать». К тому же и переход к доказательству теоремы, как правило, осуществляется лишь после выделения ее условия и заключения.

Казалось бы, выделение условия и заключения теоремы по еe формулировке не должно вызывать затруднений у учащих­ся. На самом же деле они не всегда в состоянии отделить их, особеннно в тех случаях, когда формулировка теоремы дана в категоричной форме. Рассмотрим пример такой формулировки теоремы: вертикальные углы равны.

Пытаясь выяснить здесь у учащихся, что «дано» и что "требуется доказать», мы можем порой поставить их в весьма затруднительное положение. Тогда каким же видится выход из подобных ситуаций? Он кроется в подобных ситуациях в переформулировке теоремы из категоричной формы в условную. И рассматриваемом случае, переходя к условной формулировке теоремы, имеем: если два угла вертикальные, то они равны.

Здесь уже отмеченные трудности удается преодолеть бла­годаря появлению в условной формулировке теоремы явных ори­ентиров: ее условие заключено между союзами «если» и «то», а заключение — за союзом «то».

Конечно же, вводить в употребление термины категорич­ной и условной формулировок теорем не следует. Однако уме­ниями переводить формулировки теорем из категоричной в условную и наоборот надо владеть не только в рассматриваемом случае. Это могло бы понадобиться, в частности, и при выдви­жении гипотез перед введением теорем, да и при «открытии» теорем, о чем речь будет идти ниже.

3. Объяснение учителем доказательств математических предложений не должно сводиться лишь к более подробному из­ложению соответствующего текста учебника. В противном слу­чае возможно крайне нежелательное смещение акцентов в обу­чении: тогда оно содействует формальному заучиванию учащимися текстов доказательств без должного развития умений рассуждать и доказывать. Осмысленному восприятию способствует первоначальное им деление идеи (плана) доказательства с последующим переходом к ее детализации. К примеру, выяснив условие и заключение одного из признаков параллелограмма (если в четырехугольни­ке противоположные стороны попарно равны, то этот четырех угольник — параллелограмм), можно сначала наметить идею доказательства: установить, что , с помощью

одного из признаков параллельности прямых (рис. 18).

Для реализации же намеченного плана в четырехугольнике ABCD проводим диагональ АС. Она paзделяет его на два треугольника АВС CDA. Эти треугольники равны по трем сторонам, а из их равенства следует равенство углов:

Используя же признак параллельности прямых (на основании равенства накрест лежащих углов), заключаем, что АВ║СД и AD║BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, он является параллелограммом.

Правда, и при этом ряд вопросов остается открытым. Как научиться, например, догадываться и проводить нужные дополнительные построения, выявлять идею или находить само доказательство? Заметим, что эти недостатки являются типичны ми для синтетического доказательства математического предложения (доказательства, ведущегося в направлении от его условия к заключению), пример которого мы только что рассмотрели В этой связи уместно напомнить, что при изложении теории Л учебниках используются в основном синтетические доказательства. Это обусловлено их достоинствами — исчерпывающей полнотой и краткостью. Применяя же в обучении только синтетические доказательства, мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится им понятной, как правило, лишь после его завершения. Вот почему в рассмотренном примере перед прове­дением синтетического доказательства учащиеся были сна чала ознакомлены с идеей, которую они будут затем реализовывать.

Другой путь решения этой проблемы связан с использовавнием аналитического доказательства математического предложе­ния (доказательства, ведущегося в направлении от его заключения к условию). Рассмотрим пример аналитического доказательства того же самого признака параллелограмма.

Для того чтобы четырехугольник ABCD являлся паралле­лограммом (доказательство признака начинаем с его заключе­ния), достаточно доказать, что и

Для того чтобы эти стороны четырехугольника были па­раллельны, достаточно использовать один из признаков парал­лельности прямых: например, доказать равенство накрест лежа­щих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Такие накрест лежащие углы можно получить, если про­мости диагональ АС (. , а также ).

Для доказательства равенства этих углов достаточно дока­пать равенство треугольников ABC и CDA.

Для доказательства равенства этих треугольников доста­точно использовать один из признаков равенства треугольников: например, по трем сторонам.

Эти равенства выполняются: АС — общая сторона, AB=CD и AD=BC (по условию). Признак доказан.

На этом примере можно убедиться в том, что использова­ние аналитического метода позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуж­дений при проведении доказательств. Однако даже в рассмот­ренном аналитическом доказательстве последовательность рассуждений на отдельных этапах могла пойти по пути, не при­водящему к цели. Поэтому более универсальным представляет­ся аналитико-синтетическое доказательство с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выво­дов, ведущих к заключению. Затем, после замыкания этих це­почек, прослеживается все доказательство от условия до заклю­чения [26].

Данная методика может быть с успехом применена не толь­ко для вовлечения учащихся в совместную с учителем деятель­ность по отысканию доказательств, но и для самостоятельного "открытия» ими теорем.

«Открытие» теорем учащимися возможно и в ходе специ­ально организованной деятельности. Так, приступая к изучению теоремы Виета, учитель сначала предлагает учащимся выпол­нить следующую систему заданий:

— вспомните, какие квадратные уравнения называют приведенными, и приведите примеры;

— запишите приведенное квадратное уравнение и найдите значение его дискриминанта;

— составьте формулы корней