Непосредственная разработка рока математики

Деятельность учителя при непосредственной разработке урока математики в большей степени связана с определением:

— целей урока, что необходимо для обеспечения целостности урока и фокусирования внимания на наиболее значимых результатах;

— дидактического аппарата — содержания, методов и средств обучения, необходимых для достижения поставленных целей;

— структуры урока, что совместно с применяемым дидактическим аппаратом должно содействовать включению учащихся в целенаправленную учебную деятельность.

При этом, естественно, используются и уточняются результаты предварительной подготовки учителя к уроку особенности которой рассмотрены в предыдущей главе. Они связаны с применением средств обучения в образовательном процессе, организацией повторения, выявлением и реализацией межпредметных связей, роли и места предстоящего урока в системе уроков, составлением и использованием годового и тематического планирования и т. д.

Тем самым выявляется такая последовательность действий, вызывающая наибольшие затруднения у учителя на заключительной стадии разработки урока математики:

1. Постановка целей.

2. Отбор содержания урока.

3. Выбор методов обучения.

4. Определение структуры урока.

Важно отметить, что упорядоченность указанной последовательности действий учителя при непосредственной разработке урока не является произвольной. Она обусловлена дидактическими отношениями подчиненности среди компонентов урока: цели урока занимают высшее положение, а структура — низшее. Это означает, что изменения в высших компонентах урока обязательно требуют изменений в низших компонентах, но необязательно в более высоких. Так, изменения в целях урока обязательно требуют изменений в организации содержания, методах и структуре урока; изменения же в организации содержания требуют обязательных изменений в методах и структуре урока, но необязательно изменения целей и т. д.

Перейдем теперь к подробному освещению путей решения указанных проблем, связанных с непосредственной разработкой урока математики.

Постановка целей урока

Р

ождение любого урока начинается с осознания его це­лей. Именно они определяют систему действий учителя на предстоящем уроке [66]. Более того, не имея данных о поставленных учителем целях, мы не в состоянии сказать, были ли полезны те или иные действия учителя на уроке. Это не значит любые, даже самые незначительные действия должны шее планироваться, но основная логика урока и его ключе-вые моменты продумываются заранее как способ реализации поставленных целей.

Если же сознательно избегать каких бы то ни было целей, то, опускаясь на землю, все равно придется отвечать, чего же мы достигли. Можно, конечно, продолжать упорствовать, при­держиваясь мнения, что это не наше дело знать, достигли мы чего-то или нет. Но тогда на любые вопросы о смысле такого преподавания невозможно получить сколько-нибудь аргументированного ответа. Разве только провозгласить «Да будет так!» (183).

Напомним, что под целями урока, занимающими ключевую позицию среди его признаков, понимаются те результаты, которых предполагает достичь учитель в процессе совместной деятельности с учащимися при их обучении, воспитании и раз­витии. Все отмеченные цели — образовательные, воспитательные и развивающие — тесно взаимосвязаны, и в зависимости от конкретных условии их роль в организации и проведении урока различна. Тем не менее, рассматривая проблему целеполагания при конструировании урока, нельзя не принимать во внимание возможные направления ее решения при обучении математике, которые отличаются иерархией целей.

В самом деле, в действующих программах предпочтение от дается овладению системой математических знаний и умений т. е. образовательным целям.

С точки зрения Л. В. Занкова [61], приоритетным является формирование интеллектуальной и эмоциональной активно сти учащихся, т. е. развитие детей.

Наконец, по Л. М. Фридману [203], эффективно осуществлять цели и задачи обучения математике можно через воспитание, в процессе воспитания. Это положение подтверждается и опытом работы известного учителя В. И. Рыжика [162]: выход нашелся в попытках решать на уроках математики не только и даже не столько задачи обучения по предмету, сколько воспитательные.

Цели, поставленные учителем и принятые даже самыми слабыми учениками, могут побудить их к активной учебной деятельности, а значит, и повлиять, порой значительно, на ее результативность. Тем самым затрагивается, пожалуй, главная проблема целеполагания, равно как и всего учебного процесса,— формирование побуждений к деятельности, т. е. мотивации. Можно по этому поводу высказаться весьма категорично [162]: никаких позитивных результатов в образовании не добиться, если у ученика нет необходимой мотивации.

За отношением к учению каждого учащегося надо видеть сложное строение его мотивационной сферы: входящие в нее побуждения (потребности, мотивы, интересы, цели, эмоции) и их соотношение [112]. На этой основе и выбираются пути формирования мотивации учения [44, 91, 203 и др.] с использованием:

— ясной и четкой постановки целей;

— установки далеких и близких перспектив учебного труда;

— возможности практического применения приобретаемых знаний и умений;

— ознакомления с реальными трудностями учащихся при усвоении учебного материала и возможными способам их преодоления;

— исторических фактов, старинных и занимательных за дач, софизмов и т. д.

При всем при этом не надо забывать, что процесс формирования мотивации учения учителю следует начинать все же с себя. Ведь невозможно передать учащимся, в частности, радости от решения трудной задачи или целенаправленно создавать для них «ситуации успеха», если сам учитель уже забыл, что это такое.

Вернемся все же к самому процессу целеполагания. В начале проследим, как видоизменяются, по мнению учителей [56], I Цели урока с накоплением опыта.

Цель начинающего учителя — донести до учащихся материал учебника. Главное здесь — не сбиться, рассказать все, вовремя закончить. Затем, когда учитель будет свободнее владеть материалом, он начинает думать над тем, как лучше его пост­роить. Основная цель при этом заключается в том, чтобы уча­щиеся все поняли и усвоили. Следующий этап конкретизации целей протекает по-разному. Одни углубляют предыдущую цель, добиваясь дифференциации процесса обучения для разных групп учащихся. Другие обращают особое внимание на то, чтобы прибавить интерес к предмету, подбирая занимательные факты, при­меры. Третьи акцентируют внимание на развитии учеников, продумывают усложняющиеся системы заданий, чаще обращаются к творческим работам. И на все это уходят годы. Помочь же Молодому учителю быстрее преодолеть отмеченные этапы видоизменения целей могут знание содержания школьных программ и учебников и владение техникой постановки образовательных, воспитательных и развивающих целей урока.

Образовательные цели изучения конкретного материала, казалось бы, зафиксированы в общем виде в программе. Тем не менее их преломление в рамках отдельного урока, что явствует из практики обучения математике в общеобразовательных учреждениях, не всегда удается учителю, в особенности начинающему. Наиболее типичные ошибки, допускаемые при определе­нии и формулировке образовательных целей урока, связаны:

— с их подменой наименованиями структурных элементов урока (например, использование такой формулировки об­разовательных целей урока: «Рассказать о свойствах ум­ножения натуральных чисел»);

— с применением расплывчатых формулировок образова­тельных целей, не ориентирующих на достижение ка­ких-либо результатов обучения на уроке (в частности, такой формулировки: «Обосновать способы решения системы двух линейных уравнений с двумя перемен­ными»);

— с формальным использованием общих программных об­разовательных целей без учета особенностей подготовки класса и места урока в системе уроков по теме (напри­мер, на нескольких уроках, отведенных на решение квадратных уравнений, ставится одна и та же образо­вательная цель: «Выработать у учащихся умения решать квадратные уравнения»).

Предупредить подобные ошибки поможет предлагаемая на­ми последовательность действий учителя по выявлению содер­жания и специфики постановки образовательных целей урока:

1. Определяется содержание программных знаний и уме­нии учащихся, формируемых на уроке.

2. Выявляются итоговые уровни их сформированности, за фиксированные в разделе «Требования к математической подготовке учащихся» стандарта и программы, а также в обязательных результатах обучения математике.

3. Полученные сведения конкретизируются с учетом под­готовленности класса и места урока в системе уроков по изучаемой теме, разработанной при тематическом планировании.

Рассмотрим реализацию этой схемы на примере постанов­ки образовательных целей уроков, отведенных на решение квадратных уравнений, с использованием в процессе обучения учебника «Алгебра, 8» Ю. Н. Макарычева и др. и приведение; го нами ранее планирования темы «Квадратные уравнения»:

1. С помощью программы, учебника и методических пособий определяется содержание основных знаний и умений учащихся, формируемых при решении квадратных уравнений:

— определения квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения и приведенного квадратного уравнения

— формулы корней квадратного уравнения и их вывод;

— умение решать квадратные уравнения и сводящиеся к ним с применением в необходимых случаях соответствующих тождественных преобразований.

2. Выявляются итоговые уровни сформированности знаний и умений, обязательные для каждого учащегося;

— знать определения квадратных уравнений, формулы код ней квадратных уравнений и их вывод;

— понимать, что уравнения широко применяются для описания на математическом языке разнообразных реальных ситуаций;

— понимать графическую интерпретацию решения квадратных уравнений, например , , представленных на рисунках 1, 2 и 3;

— решать квадратные уравнения и сводящиеся к ним сле
дующего типа:

Напомним, что дробные рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным, будут изучаться позднее.

3. На решение квадратных уравнений в используемом тематическом планировании выделяется четыре урока. С учетов того, каким из них по счету будет разрабатываемый урок и какова степень подготовленности учащихся, формулируются образовательные цели путем конкретизации основных знаний, умений и предполагаемых уровней их формирования на уроке. Основные знания, необходимые для решения квадратных

уравнений, усваиваются на первых трех уроках (см. тематическое планирование). Поэтому образовательные цели заключительного урока связываются, главным образом, с формированием умений решать различные квадратные уравнения. Осталось принести возможные формулировки образовательных целей каждого из этих четырех уроков: научить воспроизведению решений неполных квадрат­ных уравнений всех трех видов по образцам;

— закрепить умения решать неполные квадратные уравне­ния и достигнуть понимания решений квадратных урав­нений по формуле;

— продолжить формирование умений решать квадратные уравнения по формуле;

— сформировать умения решать различные квадратные уравнения.

Итак, к образовательным целям урока относят в основном формирование программных знаний и (или) умений на четко опреленном уровне — ознакомительном, репродуктивном (добиться понимания и воспроизведения конкретного программно­го материала и т. п.) или итоговом (сформировать знания и умения в соответствии с требованиями к математической подготовке учащихся). Заметим, что выход на продуктивный, т. е. творческий, уровень формирования знаний и умений в большей степени связывается с развивающими целями.

Постановка воспитательных целей урока осуществляется в русле целостного подхода к процессу становления личности и охватывает все основные стороны воспитания учащихся (9, 144)

— умственное воспитание (владение системой знаний о при роде, обществе, человеке; формирование логического, абстрактного, эвристического, системного мышления; владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями — анализом и синтезом, доказательством сравнением, обобщением, классификацией и др.);

— нравственное воспитание (осознание приоритета общечеловеческих ценностей перед классовыми и групповыми; формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, долг, честь, достоинство, порядочность, скромность, правдивость и др.);

— трудовое воспитание (добросовестное отношение к труду, культура и дисциплина труда, инициатива и творчество в труде, предприимчивость и деловитость, уважение к людям труда, готовность к свободному и сознательному выбору профессии и др.);

— экономическое воспитание (формирование экономически осознанного отношения к природной среде, труду, школь ному имуществу, личным вещам; умение соизмерять личные потребности с экономическими возможностями их удовлетворения; рациональная организация бюджета времени; бережливое отношение к собственности и др.)

— экологическое воспитание (понимание ценности природы как первоисточника материальных и духовных сил общества и каждого человека, ответственное отношение к природной среде и др.);

— правовое воспитание (готовность к сознательному соблюдению правовых норм, уважение к законам и готовность исполнять закрепленные в них требования, выражающие волю и интересы народа, и др.);

— эстетическое воспитание (содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий, обеспечивающих эстетическое отношение к действительности, пони мание и оценку прекрасного в природе, искусстве, тру де и общении; эстетические взгляды, вкусы и убеждения; художественный кругозор; способность к творческой художественно-эстетической деятельности и др.);

— физическое воспитание (способствовать нормальному физическому развитию, укреплению здоровья, поддержанию на высоком уровне общей работоспособности для учения и др.).

Р

еализация составных элементов различных сторон воспитания при обучении математике осуществляется комплексно и прерывно на каждом уроке. Поэтому механическое их распределение при постановке воспитательных целей уроков может и вести к абсурду: на одном уроке воспитываем честность, на другом — ответственность, на третьем — бережное отношение к учебному оборудованию и т. д. Все это подводит к мысли о том, что учитель должен уметь продумывать и выделять к пред­стоящему уроку все имеющиеся возможности перманентного и многостороннего воспитания учащихся с помощью учебного материала, привлекаемых им дополнительных сведений различно­го характера, фабул задач, методов и форм организации учебной деятельности учащихся, процесса обучения математике в целом и, безусловно, личности самого учителя.

Иначе говоря, при любых условиях процесс воспитаниящихся на уроке не прерывается ни на мгновение, а потому учитель должен уметь целенаправленно воздействовать на него, идя из особенностей класса, т. е. управлять воспитательным процессом: в одних случаях такие воздействия связаны с появлением на определенных этапах работы с классом необходимости обратить особое внимание на воспитание дисциплинирован­ности, в других — аккуратности, в третьих — настойчивости в учебе и т. д. Описание именно этих направляющих воздействий, по форме совпадающих с наименованиями отдельных составных элементов воспитания, и фиксируется в качестве воспитательных целей урока.

Развивающие цели урока связаны с деятельностью по об­щему развитию учащихся, предполагающей, в частности, раз­витие не только их интересов, но и способностей. Развитие обучающихся, осознает это учитель или нет, также протекает не­прерывно. А потому для учителя большую значимость имеют не вопросы о том, развиваются ли дети в процессе обучения, а наиболее эффективные пути осуществления развивающей функ­ции обучения, коими являются [61, 135, 175, 221 и др.]: раз-питие интеллектуальной, волевой, эмоциональной, мотивационной сфер личности, умений учебно-познавательной деятельнос­ти. Последнее относится также к развитию умений организационного труда, работы с книгой и другими источниками информации, развитию культуры устной и письменной речи и т. д.

Таким образом, вместе с ранее изложенным становятся более определенными составляющие наиболее важных путей развития учащихся. Это поможет учителю в планировании и кон­кретизации развивающих целей урока, которые следует пони­мать как содержание импульсов, необходимых для управления процессом развития детей.

Приведем примеры формулировок развивающих целей урока:

— развитие памяти учащихся;

— развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

— развитие любознательности учащихся;

— развитие познавательного интереса учащихся;

— развитие умений наводить справки с помощью учебника и т. д.

Постановке развивающих целей урока помогут также знавния специфики структуры математических способностей и возможностей, к которым могут стремиться и достигать который могут учащиеся при изучении курса математики. В частности ведущими показателями математических способностей являются: умение обобщать, гибкость мыслительных процессов и легкий переход от прямого к обратному ходу мыслей. А изучение, например, квадратных уравнений дает возможность учащимся [182]:

— получить представление об уравнениях как математическом аппарате решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

— овладеть понятием уравнения и усвоить понятие равносильности уравнений;

— усвоить основные приемы решения рациональных уравнений, получить начальные представления о задаче решения уравнения с параметром и научиться решать уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным;

— на примере квадратных уравнений ознакомиться с историей создания математических методов решения практических задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления, ознакомиться с идеей симметрии алгебре;

— научиться использовать для описания математические ситуаций графический и аналитический языки, приме нять геометрические представления для решения и исследования уравнений;

— научиться решать текстовые задачи методом уравнений. Заметим к тому же, что общее развитие, равно как воспитание и обучение детей, более эффективно, если оно индивидуально ориентировано и обеспечивает максимальное включения учащихся в самостоятельную учебную деятельность. В конечном счете, оно ведет к саморазвитию личности.

В заключение обратим еще раз внимание на то, что практически на уроке реализуются все три цели — образовательные, воспитательные и развивающие, причем комплексно. Одна из них, как правило, выступает в роли основной, а другие, решая собственные задачи, в то же время помогают достижению главной, ведущей цели. Здесь, как и в методических системах обучения математике в целом, в качестве ведущих могут выступать и образовательные, и воспитательные, и развивающие цели. В приводимых в следующей главе примерах разработки уроков математики каждый из этих вариантов усматриваются иерархии поставленных целей. В частности, в рассматриваемой там разработке урока по применению нескольких способов раз­ложения многочлена на множители ведущей выбрана воспитательная цель. Мотивировка подобного выбора может быть про­диктована необходимостью обратить особое внимание на воспитание воли и настойчивости у учащихся для достижения конечных результатов при разложении многочленов на множители. Следом они приучаются к проверке полученных результатов, развивая тем самым навыки самоконтроля. И если учащиеся научатся при этом получать правильные решения, то мож­но говорить о достижении и образовательных целей.

Вот почему постановка целей урока проходит через этапы не только продумывания, отбора и конкретизации, но и выде­ления ведущей цели.

Другой аспект проблемы целеполагания связан с фиксаци­ей целей в планах уроков. В практике обучения опытные учи­теля ограничиваются записью в планах лишь главной цели уро­ка, хотя остальные не выпадают из их поля зрения при подготовке и проведении уроков. Начинающему же учителю следует приучиться не только разрабатывать, но и фиксировать образовательные, воспитательные и развивающие цели каждого уро­ни, без чего невозможно овладеть техникой постановки целей урока.

Отбор содержания урока

Поставленные учителем цели непосредственным образом влияют на отбор содержания материала учебника, от­носящегося к теме урока. Оно может быть использовано полностью, частично или дополнено так, чтобы способствовать дости­жению намеченного уровня усвоения учащимися соответствую­щих знаний и умений.

При таком выборе учитываются и результаты анализа учеб­ного материала, полученные в ходе предварительной подготов­ки к уроку: место и роль содержания материала в изучении темы раздела, курса; его взаимосвязь с ранее изученным и тем материалом, который будет изучаться в дальнейшем, и т. д.

В целом же в ходе теоретических и экспериментальных по­исков выяснилось, что система отбора содержания материала в следующие непосредственной подготовки к уроку должна включать следующие действия обучающих при освоении данной процеду­ры, но в дальнейшем она безусловно может варьироваться:

1. Основательно изучить содержание пункта (параграфа) учебника, относящегося к теме урока. Выделить все встречаю­щиеся в нем символы, обозначения, термины и понятия; фак­ты и математические предложения в виде аксиом, теорем, при­знаков, свойств, законов, формул и др.; указания, алгоритмы и правила их применения; математические доказательства. Выяс­нить происхождение, правильную запись и чтение символов,

обозначений, терминов и пр. Проверить, какие из встречающихся понятий являются основными; какие могут быть определены в изучаемом курсе, но не определяются в соответствии с дидактическими принципами обучения; какие понятия определяются, каковы их формулировки, которые, в свою очередь, надо знать учителю дословно, равно как и формулировки математических предложений. Разобраться в приводимых в объяснительном тексте доказательствах, выявить их логическую структуру, выяснить, являются ли рассматриваемые рассуждения индуктивными, дедуктивными или включают элементы индукции и дедукции, имеются ли в них логические пробелы, мотивируется ли отсутствие доказательств математических предложений, применяемых в осваиваемом материале, и т. д., проверить себя в умении свободно воспроизводить изучаемые доказательства»

2. Решить все задачи из учебника, включенные в рассматриваемый пункт (пункты, параграф) и относящиеся к нему Распределить их по блокам, назначение которых связано с усвоением вновь вводимых символов, обозначений, понятий; не посредственным применением изучаемой теоремы, правила, фор мулы; использованием новых приемов решения задач в совокупности с ранее изученным материалом и т. д. Внутри каждого блока выявить пробелы в последовательном нарастании сложности и трудности задач для последующего их пополнения. Про верить наличие стандартных, обучающих, поисковых, проблемных задач и т. д.

3. Привести содержание учебного материала в соответствие с требованиями стандарта, программы и рекомендаций, изложенных в учебно-методических пособиях. Выявить материал, подлежащий усвоению как на обязательном уровне подготовки так и на уровне возможностей. Разобраться с методической характеристикой содержания материала, пояснениями и комментариями к нему, особенностями изучения, возможными подходами к его изложению и закреплению. Рассмотреть указания к упражнениям в учебнике и определиться с образцами оформления записей. Ознакомиться и подобрать различные системы дополнительных заданий: контрольные вопросы, устные упражнения, математические диктанты, тесты, задания на готовых чертежах, игровые упражнения, задачи повышенной трудности и т. д.

4. Учесть направления организации содержания материала, разработанные при тематическом планировании. Уточнить роль и место изучаемого материала в теме и курсе; содержание материала, необходимого для организации повторения, установления межпредметных связей, проведения самостоятельных Я контрольных работ, и т. д.

5. Проверить возможности реализации поставленных целей урока с помощью материалов учебника. В случае необходимости дополнить его отобранными ранее материалами для достижения образовательных целей. Обратить в то же время особое внимание на усиление его воспитывающего и развивающего влияния: насыщение изучаемого материала примерами, све­дениями, фактами из повседневной действительности; углубление практической и прикладной направленности изучаемого ма­териала; выявление эстетического содержания учебного материала; привлечение логических упражнений, заниматель­ных и старинных задач, исторических сведений; целенаправлен­ное формирование навыков самоконтроля и т. д.

6. Выделить в содержании урока самое главное, чтобы скомпоновать вокруг него весь используемый материал и сконцентрировать внимание учащихся на его усвоении. Наиболее существенное в содержании урока определяется путем выделения его основной идеи, логически завершенных частей, опорных понятий и предложений, подлежащих усвоению, применению и про­верке, и т. д.

7. Дифференцировать содержание учебного материала с целью интенсификации самостоятельной познавательной деятельности наиболее подготовленных учащихся и активизации помощи слабоуспевающим. Подобрать индивидуальные и групповые задания, основанные на адекватной оценке возможностей каж­дого ученика и направленные на решение задач не только об­разования и развития, но и воспитания. Это касается, в част­ности, воспитания сознательной дисциплины учащихся через вовлечение каждого ученика в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность, воспитания воли и характера и т. п.

8. Завершить отбор из учебника и других источников содержания учебного материала с таким расчетом, чтобы не перегрузить урок и обеспечить усвоение учащимися необходимых
знаний и умений. Другими словами, привести отобранное содержание урока в соответствие со временем, отводимым на его проведение. Для организации работы в классе и дома, а также реализации нации возможного резерва времени на уроке распределить соответствующим образом весь отобранный материал.

Рассмотрим в качестве примера процедуру отбора содер­жания учебного материала к уроку по теме «Решение квадратных уравнений по формуле» с использованием учебника «Алгебра, 8» Ю. Н. Макарычева и др.

1. Изучая содержание объяснительного текста одноименного пункта учебника, выделяем все встречающиеся в нем:

— символы и обозначения, запись которых осуществляет­ся с использованием цифр, букв, знаков препинания, черты дроби, знаков операций, знаков «равно», «не рав­но», «больше», «меньше», «меньше или равно» и «боль­ше или равно»; новыми являются обозначение дискри­минанта квадратного уравнения и запись формулы кор­ней квадратного уравнения;

— понятия формулы, уравнения, корня уравнения, понятия «решить уравнение», числа, дроби, числителя, знаменателя, четного числа, положительного и отрицательного чисел, выражения, операции, значения выражения преобразования (тождественного) выражений, равносильных уравнений, квадрата двучлена, квадратного уравнения, дискриминанта квадратного уравнения, коэффициентов квадратного уравнения, приведенного квадратно го уравнения;

— факты, математические предложения и их применение в виде свойств равносильности уравнений, приведении подобных слагаемых, раскрытия скобок, сложения и вычитания дробей, выделения квадрата двучлена, решения уравнения х^2 =а, формулы корней квадратного уравнения, формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом, алгоритма решения квадратно го уравнения по формуле;

— доказательства формул корней квадратного уравнения и квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Выясняем происхождение, правильную запись и чтения впервые вводимых символов, обозначений, терминов и пр., а при надобности и рассмотренных ранее.

Устанавливаем, что из встречаемых понятий к основным относится понятие числа; к понятиям, которые могут быть определены, но не определяются в соответствии с дидактически ми принципами обучения, относится понятие операции; к определяемым понятиям относятся все остальные. Из них понятия формулы, уравнения, корня уравнения, дроби, числителя и знаменателя, понятие «решить уравнение» определяются в V классе; понятия четного числа, положительного и отрицательного чисел — в VI классе; понятия выражения, значения выражения, тождественного преобразования выражения, равносильных уравнений, квадрата двучлена — в VII классе, а оставшиеся -в VIII классе. Знание места введения рассматриваемых понятий, равно как и математических предложений, позволяет учителю при необходимости воспроизвести в памяти их дословные формулировки.

Разбирая доказательство формулы корней квадратного уравнения, обращаем внимание на то, что индуктивно выявленный способ нахождения корней квадратного уравнения выделением квадрата двучлена реализуется затем при решении квадратного уравнения в общем виде на дедуктивной основе. Непосредственным же применением полученной формулы выводится и фора мула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Казалось бы, при решении квадратных уравнений по формуле не должно возникать каких-либо трудностей, тем более что в учебнике дается алгоритм его применения. Попытаемся, однако, решить уравнение

следуя указаниям, изложенным в учебнике. Тогда мы сразу же заметим, что напрашивающееся предварительное его упрощение (делением обеих частей квадратного уравнения на 18, т. е. его приведением к заранее оговоренному каноническому виду) не I предусмотрено в объяснительном тексте учебника, хотя с подобными ситуациями учащиеся будут встречаться неоднократно. Вскрывая же такие пробелы, учитель может своевременно вносить коррективы в процесс формирования соответствующих уме­ний, в данном случае умений рационального решения квадрат­ных уравнений по формуле.

2. Решаем все упражнения № 533—555, включенные в п. 21, и № 641—647 из дополнительных упражнений, относящихся к нему. Затруднения у учителя могут возникнуть, пожалуй, лишь при решении последнего упражнения: доказать, что если уравнение , где и , имеет корни, то они обратны корням уравнения

При его решении следует заметить, что для обоих уравнении и

Корни первого уравнения равны: и ,

а второго: и , . Далее составляем и вычисляем произведение:

Аналогично , что и доказывает исходное утверждение.

Распределяем упражнения по блокам:

— подготовительные упражнения, используемые для отра­ботки умений вычислять дискриминант и устанавливать с его помощью число корней квадратного уравнения, — № 533;

— упражнения для непосредственного применения выве­денных формул — № 534, 535 (а, б), 536, 539, 540, 541, 641;

— решение квадратных уравнений, допускающих предва­рительное упрощение коэффициентов, по формуле и це­лых уравнений, приводимых к квадратным, — № 535 (б, г, д, е), 542—547, 550—552, 642;

—применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным материалом — № 537, 538, 548, 549, 643— 647;

— упражнения для повторения — № 553—555.

Более всего в пополнении нуждается блок подготовительных упражнений, в котором отсутствуют задания для отработ­ки умений верно устанавливать значения многих выражений, входящих в формулу корней квадратного уравнения: и т. д. В блоке упражнений для непосредственного применения выведенных формул последовательное нарастание сложности и трудности содержащихся в нем задач естественно продолжить решением квадратных уравнений с иррациональны ми коэффициентами. Практически не уделяется внимание проведению самоконтроля в фабулах задач. Нет упражнений, фабулы которых содержали бы явную установку на предварительное упрощение коэффициентов квадратных уравнений в подходящих случаях перед их решением по формуле. Применение выведенных формул в совокупности с ранее изученным ма­териалом можно продолжить и на примерах решения различными способами неполных квадратных уравнений с последующим их обсуждением. В упражнениях для повторении напрашивается подключение задач с использованием формул квадратов суммы и разности, применявшихся в объяснительном тексте изучаемого пункта. Почти все рассматриваемые задачи являются стандартными и обучающими. К поисковым можно отнести с определенными оговорками лишь упражнение № 647а проблемные задачи вообще отсутствуют.

3. В соответствии с требованиями стандарта и программе выделяем материал пункта, подлежащий усвоению на обязательном уровне подготовки: знание формулы корней квадратном уравнения для общего случая и умение решать задачи типа № 533—536, 539—547, 641—643. Уровень возможностей дополняется знанием формулы корней с четным вторым коэффициентом и умениями решать задачи типа № 537, 538, 548—552 644—647.

Рассматриваем в учебно-методических пособиях [69, 79, 119, 153, 196 и др.] характеристику содержания изучаемого материала и комментарии к нему и обращаем особое внимание на методику его изложения, применения и оформления записей Так, чтобы облегчить усвоение учащимися вывода основной фор мулы корней квадратного уравнения, его можно провести параллельно с предварительно решенным квадратным уравнением с числовыми коэффициентами выделением квадрата двучлена А перед применением формулы и оформлением записей сделать выбор из рекомендуемых двух основных подходов, суть которых можно пояснить на примере решения квадратного уравнения

I подход. Найдем дискриминант:

Применим формулу корней квадратного уравнения:

Отсюда Ответ:

II подход. Здесь a=6, b=1, c=-2.

По формуле корней квадратного уравнения находим

Откуда

Ответ:

Подбираем, а при надобности составляем различные дополнительные системы заданий, приводимых ниже.

Математические диктанты, содержание которых составляют задачи типа:

1) Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны —2.

2) Составьте неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффиц