Лекция 1. Виды нелинейности. Нелинейная упругость
В линейной механике используется, во-первых, принцип суперпозиции, т.е. считается, что от перемены порядка воздействия результат не меняется, причем, результат от одновременных воздействий можно получить путем сложения результатов от поочередных воздействий. Во-вторых, считается, что во сколько раз увеличивается воздействие, во столько раз увеличивается и отклик (закон Гука, второй закон Ньютона, закон Винклера и т.д.).
В нелинейной механике нарушается или то, или другое, а чаще и то, и другое.
Причины нелинейности в МДТТ:
1. Физическая нелинейность, т.е. нелинейная зависимость напряжений и деформаций. σ=σ(ε)
Примеры:
σ σ
сталь бетон
ε ε
2. Неупругие свойства (ползучесть, пластичность, растрескивание).
3. Сильное изменение геометрии конструкции, которое приводит к изменению направления действия внешних сил.
4. Конструктивная нелинейность. Возникает, когда при некоторых нагрузках в работу включаются не работавшие до этого элементы или связи. Например, при некотором перепаде температур подключается в работу правая
опора и появляются напряжения.
5. Нелинейные задачи возникают при оптимизации конструкции, поскольку неизвестными являются напряжения, деформации и геометрические характеристики, которые входят в уравнения равновесия в виде произведений функций, зависящих от них.
Получение нелинейных диаграмм деформирования.
σ3 σ4
σ2
σ1
Для решения задач с физической нелинейностью необходимо найти функцию σ=σ(ε). Аппроксимация σ должна отвечать физическому смыслу.
При использовании полинома степень не должна быть больше 3.
Е0 – стандартный ГОСТ-й модуль упругости.
Е1, Е2 – необходимо найти.
Дано: σ=6 МПа; σ=11 МПа; σ=18 МПа; σ=16МПа; ε=0,001; ε=0,0015; ε=0,002; ε=0,003; Е0=30000 МПа.
Найти: Е1, Е2
Решение: Т.к. число уравнений больше числа неизвестных, то используем условие минимума невязки между экспериментальными и расчетными значениями σ.
Перепишем уравнение
в виде: Е1*ε+Е2*ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> =
Подставив значения, получим:
Используем метод минимизации квадратичной невязки.
Пусть имеется переопределенная система уравнений .
Найдем невязку .
В качестве нормы .
.
По теореме Ферма .
Запишем матрицы:
B= b=
x=
Получим:
Решение Е1=8,1*102
Е2=4,2*104
Примечание:
1. Е0, Е1, Е2 называются механическими характеристиками материала.
Е0 – начальный модуль упругости. Е0=
Е= - секущий модуль упругости.
Δσ
Δε
α0 α
По ГОСТ – тангенциальный модуль упругости.
Тангенциальный модуль упругости используется редко, поскольку требует сложных методов расчета (метод Ньютона).
2. К сожалению, задачи отыскания механических характеристик Е1, Е2, Е0
является, как правило, математически неустойчивой, т.е. малые изменения экспериментальных данных вызывают большие изменения Е1, Е2.