Тригонометрические и гиперболические функции

РЯДЫ

Методические указания

по выполнению типового расчета

Омск-2005

Составитель Чурашева Надежда Георгиевна, ст. преподаватель

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

Прежде чем приступить к выполнению типового расчета, студентам рекомендуется ознакомиться с содержанием справочного материала, а затем и с примерами решения задач.

Типовой расчет

Задача № 1.Найти сумму ряда.

Задача № 2. Используя признак сравнения сходимости, исследовать ряд на сходимость.

Задача № 3.Используя предельную форму признака сравнения сходимости, исследовать ряд на сходимость.

Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать ряд на сходимость.

Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать ряд на сходимость.

Задача № 6.Используя интегральный признак Коши, исследовать ряд на сходимость.

Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд.

Задача № 8.Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости данного ряда.

Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора по степеням (х–а) для указанной функции и указать область сходимости.

Задача № 11.Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

Задача № 12.Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении решения у(х) дифференциального уравнения в ряд Тейлора по степеням (х–а).

Задача № 13.Разложить данную функцию y = f(x) c периодом 2p, заданную на интервале ]-p,p[, в тригонометрический ряд Фурье.

Задача № 14. Разложить функцию y = f(x), заданную на интервале ]0, l[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам.

Задача № 15. Разложить функцию y = f(x), заданную на интервале ]0; l[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам.

Задача	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5

Задача	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10

Задача	Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15

Задача	Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20

Задача	Вариант 21	Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24	Вариант 25

Задача	Вариант 26	Вариант 27	Вариант 28	Вариант 29	Вариант 30

Вари- ант	Задача 13	Задача 14	Задача 15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Вари- ант	Задача 13	Задача 14	Задача 15
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Справочный материал

Правила и формулы дифференцирования

¢	¢	¢

Интегрирование. Основные формулы и свойства

	, a>0, a≠1

Числовые и степенные ряды

Определение.Пусть дана бесконечная числовая последовательность {a_n}, сумма вида а₁ + а₂ + а₃ + …+ а_n +… называется числовым рядом и обозначается

а_n, (1)

a_n называется n–м или общим членом ряда.

Определение.Сумма S_n= а₁ + а₂ + а₃ + …+ а_n n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

Определение.Если существует конечный предел , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. В этом случае пишут = S.

Определение.Ряд называется расходящимся, если S_n не существует (в частности , если S_n = ¥).

Справедливы следующие теоремы.

1. Отбрасывание от ряда или присоединение к нему любого конечного числа начальных членов не изменит его сходимости или расходимости.

2. Если все члены сходящегося ряда (1) умножить на число a, то получится сходящийся ряд а_n , а его суммой будет число aS.

3. (Необходимый признак сходимости ряда.)Если ряд (1) сходится, то

а_n = 0. (Значит, если а_n ≠ 0, то ряд(1) расходится.)

Действия над рядами

Теорема1.Если сходятся слагаемые ряды, то сходится и суммарный ряд:

Теорема 2. Если сходятся перемножаемые ряды, причем хотя бы один абсолютно, то сходится и ряд

Определение.Частным от деления ряда на ряд называется такой ряд , что

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

, (8)

члены которого есть произведения постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (х - а).

Постоянные а₀, а₁, а₂, а₃, …, а_n, … называются коэффициентами степенного ряда. В частном случае при а = 0 имеют степенной ряд вида

.

Основное свойство степенных рядов сформулировано в теореме Абеля. Если степенной ряд (8) сходится при х = х₀, то он сходится и притом абсолютно при всяком значении х, удовлетворяющем условию

.

Одним из следствий теоремы Абеля является существование для всякого степенного ряда интервала сходимости, симметричного относительно х = а [для ряда (8)]. Обозначим через число R половину длины интервала сходимости – радиус сходимости. Тогда интервал сходимости для ряда (8) запишется в виде

или ,

а при а = 0

или .

В частных случаях радиус сходимости ряда R может оказаться равным нулю или бесконечности. Если R = 0, это озна