Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены являются положительными числами:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru (1)

Существует много достаточных признаков, по которым можно исследовать сходимость числовых рядов. Основными из них для знакоположительных рядов являются следующие признаки:

1) признаки сравнения (в непредельной и в предельной формах);

2) признак Даламбера (в предельной форме);

3) радикальный признак Коши;

4) интегральный признак Коши.

1.Признак сравнения в непредельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - ряд с неизвестной сходимостью, Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - ряд с известной сходимостью. Если ряд с известной сходимостью Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится и Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru тоже сходится. Если ряд с известной сходимостью Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru расходится и Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru также расходится.

Другими словами:

из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами;

из сходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Предполагаем, что для обоих рядов необходимое условие сходимости выполняется.

Для доказательства первой части признака рассматриваем сходящийся ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , его сумму Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru его частичные суммы Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru :

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , где Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru .

Рассмотрим частичную сумму ряда с неизвестной сходимостью:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Так как Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru .

Так как существует Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то последовательность Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ограничена сверху числом Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

так как Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru для Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то последовательность Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru также ограничена сверху, например, тем же числом Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru .

Последовательность Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru монотонно возрастает вследствие знакоположительности всех членов Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru . По теореме Вейерштрасса заключаем, что монотонно возрастающая и ограниченная сверху последовательность Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru имеет конечный предел. Но так как существует Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится, ч.т.д.

Теперь проведем доказательство второй части:

дано Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , отсюда следует, что ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходиться не может, так как в случае его сходимости из неравенства Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru следовала бы сходимость ряда сходился бы и ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru (по доказанной первой части признака). Поэтому ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru расходится, ч.т.д.

Замечание

Доказанный признак сравнения остается справедливым, если неравенства Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru или Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru выполняется при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , начиная с некоторого номера.

1.1. Признак сравнения в предельной форме:

Рассматриваются два знакоположительных ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ряд с неизвестной сходимостью, Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ряд с известной сходимостью. Вычисляется предел Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru . Если А – это число Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то оба ряда ведут себя одинаково в смысле сходимости (оба сходятся или расходятся).

Существование такого предела гарантирует, что бесконечно малые слагаемые Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru имеют одинаковый порядок малости, с одинаковой скоростью стремятся к нулю, и это обеспечивает одинаковую сходимость обоих рядов.

Для применения признаков сравнения нужно знать ряды, сходимость которых считается известной; к таким рядам с известной сходимостью будем относить следующие ряды:

а) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru геометрический ряд (q>0),

сходится, если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ; расходится, если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

б) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - гармонический ряд (расходится)

в) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле),

сходится, если параметр Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ; расходится, если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

в’) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - ряд из обратных квадратов (сходится, так как

является рядом Дирихле с Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ).

Примеры:

Исследуем сходимость следующих числовых рядов по признаку сравнения:

1) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

так как Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится, потому что является геометрическим рядом с Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , то данный ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru также сходится;

2) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

имеем очевидное неравенство Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится, так как это ряд из обратных квадратов; поэтому данный ряд тоже сходится;

3) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

этот ряд расходится, так как его члены удовлетворяют неравенству:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru расходится, потому что является гармоническим (без первого члена);

4) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

для членов этого ряда затруднительно написать неравенство с членами какого-нибудь ряда с известной сходимостью; но заметив, что члены этого ряда имеют одинаковый порядок малости с величинами Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , применим признак сравнения в предельной форме с гармоническим рядом Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru :

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - число≠0

⇒данный ряд расходится, так как расходится гармонический ряд.

2.Признак Даламбера

Для знакоположительного ряда вычисляют предел отношения последующего членов к предыдущему: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по признаку Даламбера:

1) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

Вычисляем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

так как получилось, что q=0, то ряд из обратных факториалов Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится;

2) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

данный ряд расходится;

3) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

ответ о сходимости данного ряда по признаку Даламбера дать нельзя.

3.Радикальный признак Коши

Для знакоположительного ряда вычисляют предел корня n-й степени из общего члена ряда: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru  

Примеры:

Исследуем сходимость следующих знакоположительных рядов по радикальному признаку Коши:

1) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru данный ряд сходится;

2) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Так как величина Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru положительная, то вычисляем предел её логарифма:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

переставляя теперь знаки lim и ln, получим, что:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

ответ сходимости гармонического ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru по радикальному признаку Коши дать нельзя.

4.Интегральный признак Коши

Для знакоположительного ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru вводится функция Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru такая, что Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Рассматривается несобственный интеграл от этой функции: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ; Если несобственный интеграл: сходится, то сходится и ряд; расходится, то расходится и ряд.  

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Доказательство признака проводится на основании геометрической трактовки несобственного интеграла I рода Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и его сходимости/расходимости.

Если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru где Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится, то площадь F под кривой Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru можно вычислить; если Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru расходится, то вычислить F нельзя.  

Используем эту трактовку для Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , связанной с рядом, для которой Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru при n=1,2,3…:

Если числовой ряд записать в виде:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

то его можно трактовать как площадь неограниченной справа ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников с основанием равным 1 и высотами, равными Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru .

Если интеграл Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru расходится, то площадь F вычислена быть не может, поэтому не может быть вычислена и площадь бесконечной ступенчатой фигуры, изображенной на левом рисунке, так как она больше площади F; следовательно, ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru также расходится.

Если несобственный интеграл Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится и равен числу F, то ряд удобно трактовать как площадь входящей в F ступенчатой фигуры, отделив для этого первый член ряда (смотри рисунок справа):

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , очевидно, что сумма в скобках может быть выражена числом, меньшим чем F; поэтому сумма знакоположительного ряда есть и выражается некоторым числом.

Таким образом получено неравенство Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , которое и означает сходимость числового ряда.⊲

Примеры:

Исследуем сходимость следующих рядов, применяя интегральный признак Коши:

1) гармонический ряд: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Рассмотрим несобственный интеграл: Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и гармонический ряд;

2) ряд из обратных квадратов:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - непрерывная и монотонно убывающая функция при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru несобственный интеграл сходится, следовательно, ряд из обратных квадратов также сходится.

3) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

Очевидно, что при p<0 члены данного ряда монотонно возрастают, а при p=0 остаются все равными 1, поэтому при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , следовательно, ряд Дирихле расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости.

Далее рассматриваем случаи Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , для них необходимое условие сходимости выполняется ( Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ), поэтому ряд может сходиться;

вводим функцию Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - непрерывную и монотонно убывающую при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и рассматриваем от неё несобственный интеграл:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

на основании интегрального признака Коши заключаем, что ряд Дирихле сходится при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru и расходится при Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru .

Для ответа собираем все случаи проведенного исследования:

обобщенный гармонический ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

При практическом исследовании числовых рядов на сходимость

рекомендуется проводить работу по следующей схеме:

- указать тип ряда Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ;

- проверить необходимое условие Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

если условие Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

- для ряда, который может сходиться, подбирать достаточное условие в соответствии с типом ряда; обычно ответ можно получить по нескольким достаточным признакам;

применять достаточное признаки можно перебором до получения ответа.

Примеры:

1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - знакоположительный ряд;

необходимое условие:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ряд может сходиться.

Покажем, что сходимость данного ряда может быть получена по нескольким достаточным признакам.

Признак Даламбера:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Признак сравнения в непредельной форме:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , следовательно исходный ряд сходится по признаку сравнения в непредельной форме.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru - ряд знакоположительный;

необходимый признак сходимости:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

ряд может сходиться.

Покажем, что для данного ряда ответ о сходимости можно получить по признаку сравнения в предельной форме или по интегральному признаку Коши, а по признаку Даламбера получить ответ нельзя.

Признак сравнения в предельной форме:

выберем для сравнения гармонический ряд Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru , расходимость которого известна, и вычислим предел отношения членов обоих рядов:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru данный ряд так же расходится как и гармонический ряд.

Интегральный признак Коши:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд.

Признак Даламбера:

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru ответ о сходимости исследуемого ряда по признаку Даламбера дать нельзя.

Упражнения для самостоятельной работы

Задача 1

Исследуйте сходимость следующих знакоположительных рядов, используя необходимый и один из достаточных признаков сходимости:

1) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 2) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 3) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru
4) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 5) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 6) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru
7) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 8) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 9) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru
10) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru 11) Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. - student2.ru  

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

Задача 1

1)сходится (по признакам сравнения);

2)сходится (по признаку Даламбера);

3)расходится (по признакам сравнения);

4)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);

5)сходится (по признаку Даламбера);

6)сходится (по радикальному признаку Коши);

7)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);

8)расходится (т.к. не выполняется необходимое условие сходимости);

9)расходится (по признакам сравнения или по интегральному признаку Коши);

10)расходится (по интегральному признаку Коши);

11)сходится (по интегральному признаку Коши).

Наши рекомендации