Погрешности измерений и средств

Измерений

При любых измерениях важно оценить их точность. Термин «точ-

ность измерения», т.е. степень приближения результатов к некото-

рому истинному значению, не имеет строгого определения и исполь-

зуется для качественного сравнения измерительных операций. Для

количественной оценки существует понятие «погрешность измере-

ния». Любой результат измерения является случайным, поэтому для

оценки его достоверности используются две характеристики: мате-

матическое ожидание М(0) = х — среднее значение, вокруг кото-

рого группируются все случайные результаты измерения х,...х„, и

дисперсия D(Ɵ) — степень разбросанности результатов относитель-

ного математического ожидания.

Понятия «точность» и «погрешность» можно пояснить на при-

мере стрельбы по мишени из артиллерийского орудия. Центр мише-

ни (точка наводки орудия на цель) — истинное значение, или мате-

матическое ожидание, причем M(Q) = 0. Точки попадания снарядов

в мишень — это результаты измерения (случайные величины), так

как на полет снаряда действуют случайные факторы: ветер, неравно-

мерно распределенная масса и сама масса снарядов, водные прегра-

ды (притягивают снаряды при их полете) и т.д. Точность стрельбы h

тем выше, чем кучнее, т.е. ближе к цели (центру мишени) ложатся

снаряды. Отклонение же снарядов от центра мишени характеризует-

ся погрешностью стрельбы δ; чем ближе к цели попадают снаряды,

тем меньше погрешность стрельбы и выше точность. Следовательно,

точность h и погрешность δ обратно пропорциональны: h- 1/|δ|.

Погрешность измерения (∆) — это отклонение результата изме-

рения от истинного значения измеряемой величины. Функциональ-

ная зависимость выходной величины имеет вид х = ƒ( х ; δ), где

∆ = х-х — погрешность результата.

Точность измерения (h) — это близость результатов измерения к

истинному значению измеряемой вели чины.

В общем виде погрешность измерения имеет следующие состав-

ляющие:

где ∆(х) — погрешность от нестабильности измеряемой величины х;

∆наб — погрешность наблюдателя; ∆м — погрешность метода измере-

ния; ∆обр — погрешность метода обработки результата; ∆сИ — погреш-

ность применяемого средства измерения.

Символом «*» обозначены знаки неопределенности суммирования

между составляющими погрешности измерения, так как вопрос о

законах сложения решается в каждом конкретном случае.

Таким образом, понятия погрешность измерения и погрешность

СИ отличаются друг от друга. Первые четыре составляющие погреш-

ности измерения могут быть уменьшены или даже сведены к нулю.

Последняя погрешность ∆си — погрешность СИ — является неустра-

нимой погрешностью.

Погрешности средств измерения ∆си классифицируются по ряду

признаков.

По форме з а п и с и погрешности СИ делятся на абсолютную ∆,

относительную δ и приведенную γ. Абсолютная погрешность — это

разность между результатом и истинным значением измеряемой ве-

личины:

Эта погрешность характеризует только количественную сторону

результата измерения, но не отражает качественную сторону про-

цесса измерения; например, погрешность измерения расстояния

между двумя объектами ∆ = 2 км не позволяет однозначно сделать

вывод о качестве измерения. Относительная погрешность — это

отношение абсолютной погрешности к истинному значению из-

меряемой величины. Она характеризует погрешность результата

измерения

Измерительный прибор измеряет ФВ переменного значения. Его

качество не может характеризоваться относительной погрешностью,

так как она уменьшается с увеличением истинного значения изме-

ряемой величины:

Любое же СИ должно характеризоваться одной погрешностью.

Исходя из этого существует «золотое правило» в метрологии:

в многопредельных измерительных приборах измерение ФВ прово-

дится в последней трети шкалы.

Качество измерительного прибора характеризуется приведенной

погрешностью. Приведенная погрешность — это отношение абсо-

лютной погрешности к базовому значению:

где N = const — базовое значение, за которое в измерительных при-

борах принят диапазон измерения N = (хв-х_н).

На практике вместо истинного значения измеряемой величины

используется ее действительное значение:

Относительная и приведенная погрешности могут выражаться не

только в безразмерных единицах, но и в процентах:

По режиму и з м е р е н и я погрешности делятся на статиче-

ские ∆s, и динамические ∆dy. Статическая погрешность формируется

в статическом режиме. Абсолютная погрешность СИ в статическом

режиме

В динамическом режиме формируется динамическая погрешность.

Абсолютная погрешность СИ в динамическом режиме

По в н е ш н и м у с л о в и я м п р и м е н е н и я СИ погрешности

делятся на основную ∆0 и дополнительную ∆с. Кроме измеряемой

величины на СИ оказывают влияние различные влияющие факторы φ,

(внутренние и внешние), которые не несут информацию об изме-

ряемой величине, но искажают ее. Таким образом, результат измере-

ния является функцией всех этих величин:

Для каждого СИ в нормативно-технической документации (НТД)

указываются диапазоны изменения влияющих факторов, которые для

данного СИ являются нормами (φ_ref). Эти значения могут быть даны

в виде одного числа (влажность Wref = 60%) или в виде диапазона

чисел (Ɵге/ = (20 ± 5) °С, Uref = 220 ±j° В )• Если в условиях эксплуатации

СИ влияющие факторы имеют нормальные значения или находятся

в пределах нормальной области этих значений (φ, = φге/), то такие

условия эксплуатации называются нормальными, а погрешность СИ,

формируемая в этих условиях, — основной, так как присуща только

самому СИ, отражает свойство только самого СИ и является его

основной (главной) погрешностью. Результат, полученный в нормаль-

ных условиях эксплуатации, равен

и формируется по каждому влияющему фактору φ_i.

Суммарная дополнительная погрешность ∆с равна

где ∆_ci — дополнительная погрешность по φ, влияющему фактору;

l — число влияющих факторов.

В НТД на СИ кроме нормальных указываются также рабочие об-

ласти влияющих величин φ_i и дополнительные погрешности по

каждой из них, что позволяет определить общую погрешность для

конкретных условий измерения (если они не выходят за пределы

рабочих условий эксплуатации).

По х а р а к т е р у п о я в л е н и я погрешности СИ делятся на

систематическую ∆s и случайную ∆. Систематической называют

составляющую погрешности, остающуюся постоянной или изменяю-

щуюся по определенному закону от измерения к измерению. Обыч-

но систематические погрешности исключаются из результата изме-

рения различными способами. Случайной называют составляющую

погрешности, которая изменяется случайным образом при повторных

измерениях одного и того же истинного значения измеряемой вели-

чины. Исключить ее из результата невозможно, но оценить необхо-

димо. Для этого используются теория вероятностей и математическая

статистика.

По з а в и с и м о с т и между в е л и ч и н о й п о г р е ш н о с ти

и з н а ч е н и е м и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы погрешности СИ

делятся на аддитивные, мультипликативные и гистерезиса.

Аддитивная погрешность постоянна по величине и не зависит от

значения измеряемой величины: ∆а(х_i) = +а. Ее причиной, напри-

мер, может быть сбитая шкала СИ.

Мультипликативная погрешность пропорциональна измеряемой

величине: ∆ м (х_i) = ± bx; ее причиной может быть, например, изме-

нение параметров отдельных элементов.

Погрешность гистерезиса — это несовпадение результатов из-

мерений при прямом и обратном ходе (причинами гистерезиса явля-

ются люфт, сухое трение, упругое последействие и т. п.). Количествен-

но погрешность гистерезиса (вариация) определяется как разность

между результатами измерений одного и того же значения измеряемой

величины, полученными при движении со стороны меньших значе-

ний до данного значения (прямой ход) и со стороны больших значе-

ний до данного значения (обратный ход). Вариация Н для стрелочных

приборов определяется по формуле Н = |х'-х"|,

где х' и х" — результаты, полученные соответственно при прямом и

обратном ходе.

При технических измерениях каждому СИ присваивается опреде-

ленный класс точности. Класс точности (А) — это обобщенная

метрологическая характеристика, определяющая различные свойства

СИ и включающая в себя систематическую и случайную составляю-

щий погрешности. Класс точности нормируется предельными значе-

ниями основной погрешности в виде абсолютной, относительной или

приведенной.

Классами точности, определенными по абсолютной погрешности

∆ор, нормируются меры. Такой класс точности обозначается римской

цифрой или прописной буквой латинского алфавита, причем чем

больше цифра или дальше буква от начала алфавита, тем больше по-

грешность.

где х — результат измерения. Такими классами точности нормируют-

ся мосты переменного тока, счетчики электрической энергии, дели-

тели напряжения, измерительные трансформаторы. Цифровые СИ

нормируются классами точности, которые также определяются от-

носительной погрешностью

где а = ∆а(х) и b = ∆м(х) — аддитивная и мультипликативная состав-

ляющие погрешности соответственно; х_i — верхний предел измерения

СИ. Такой класс точности может быть обозначен, например, 0,02 /0,01

(с = 0,02, d = 0,01). При нормировании класса точности по приве-

денной погрешности γор для СИ с неравномерной шкалой (например,

омметров и амперметров) она определяется по формуле

где x_N — длина шкалы или ее части; обозначается такой класс точ-

ности на СИ цифрами с галочкой внизу — 1^5.

Для нормирования класса точности всех аналоговых СИ исполь-

зуется приведенная погрешность

где N= хв-хи — предел измерения СИ.

Обозначается такой класс точности цифрами, например: 2,0. От-

влеченные положительные числа А, с, d в формулах выбираются из

ряда (1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4,0; 5,0; 6,0)10", где п = -3; -2; -1; 0; 1, и назы-

ваются классами точности.

Средство измерений может иметь два и более классов точности.

Например, при наличии у него двух и более диапазонов измерений

одной и той же физической величины (многопредельные измеритель-

ные приборы) или при измерении одним СИ нескольких физических

величин (разные классы точности для каждой измеряемой величины).

Зная класс точности СИ, можно определить действительное значение

измеряемой величин хд:

или, зная предел допускаемой основной погрешности ∆ор, соответ-

ствует ли данное СИ своему классу точности.

Показателями качества измерения являются также правильность,

сходимость и воспроизводимость измерений. Правильность отража-

ет близость к нулю систематических погрешностей в их результатах.

Сходимость отражает близость друг к другу результатов измерений,

выполняемых в одинаковых условиях. Воспроизводимость отражает

близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в раз-

личных условиях (в разное время, в различных местах, разными

методами и средствами измерения).