Число степеней свободы (подвижность) механизмов

Поскольку механизм — кинематическая цепь, то при его исследовании возникает вопрос о числе степеней свободы, т. е. о числе ведущих звеньев, движением которых следует задаться, чтобы движение остальных звеньев относительно стойки было вполне определенным.

Известно, что если положение звеньев механизма определяется заданием W обобщенных (независимых) координат, то такой механизм обладает W степенями свободы. Следовательно, число обобщенных координат механизма W определяет число его ведущих звеньев. Определим это число.

Если бы все п+1 звеньев пространственного механизма были подвижными и не связанными друг с другом кинематическими парами, их общее число степеней свободы было бы W = 6 (п + 1). Но все звенья составляют кинематическую цепь, пары которой накладывают на относительное движение звеньев определенное число связей (таблица 1.1). При наличии в пространственной цепи кинематических пар всех пяти классов, общее число связей будет

где – число кинематических пар k-го класса;

– число связей класса кинематической пары ( =I¸V).

А с учетом того, что на одно звено (стойку) наложено шесть связей, число степеней свободы механизма будет определяться формулой Малышева:

W=6n- (1.1)

где п - число подвижных звеньев механизма.

В плоских механизмах на каждое подвижное звено наложено три общих условия связи, не позволяющих реализовать степени свободы пар III, II и I классов, поэтому формула (1.1) принимает вид:

(1.2)

Все механизмы, удовлетворяющие условию (1.1), относятся к ну­левому семейству, а условию (1.2) - к третьему.

В машинах и приборах встречаются плоские механизмы, действительное число степеней свободы которых не удовлетворяет условию (1.2). Это является следствием наличия лишних связей, введенных в механизм по различным причинам. В механизме шарнирного параллелограмма с одной степенью свободы (рисунок 1.9, б), например, такая связь появилась в результате шарнирного присоединения звена 4 к стойке О и шатуну 2 с целью повысить жесткость шатуна. «Лишнее» звено 4 и пары D и Е не изменили кинематики механизма, но отняли из расчетного числа W (формула 1.2) одну степень свободы. Связи, появляющиеся в механизмах в силу частных особенностей их структуры и не оказывающие влияния на кинематику механизма, называются пассивными.

Рисунок 1.9

Образование плоских механизмов

Из формулы (1.2) находим, что простейший механизм имеет два звена (рисунок 1.10, а), одно из которых (0) обращено в стойку, а второе (1), оставшееся подвижным, является и ведущим и ведомым. Образование более сложных, многозвенных механизмов с W = 1, в которых происходило бы преобразование движения ведущего звена 1в движение ведомого звена п (в двухзвенном механизме такого пре­образования нет), осуществляется подвижным присоединением к двухзвенному механизму так называемых структурных групп (одной или нескольких). Последние представляют собой кинематические цепи (звенья 2 и 3), присоединение которых свободными элементами звеньев к стойке 0 образует неподвижную (W = 0), статически определимую форму ABC (рисунок 1.10, б), а присоединение к разным звеньям механизма (рисунок 1.10, б) не изменяет его подвижности.

Рисунок 1.10

Поскольку после присоединения к стойке группа теряет подвижность, то число ее звеньев п' и число низших одноподвижных пар p'₅, считая и те, которые образовались в результате присоединения, должны удовлетворять условию:

Зп'- 2p'₅ = 0. (1.3)

Таким образом, простейшая группа состоит из двух звеньев 2 и 3 (рисунок 1.10, в), соединенных в пару В, имеющих по одному свободному элементу А и С. Такие группы называются двухповодковыми или диадами, а механизмы, в состав которых кроме ведущего звена и стойки входят диады, относят ко второму классу и называют диадными. По данному условию могут быть образованы и более сложные группы: трехповодковые, например состоящие из звеньев 2...5 (рисунок 1.10, г), и др.

Ограничиваясь изучением диадных механизмов, получивших в технике широкое распространение, рассмотрим их образование с помощью пяти разновидностей диад (рисунок 1.11, 1...5), полученных из диады первой модификации путем замены в ней одной или двух вращательных пар поступательными. (На практике наиболее часто применяются модификации 1, 2а, 3а, 5а.)

В процессе образования четырехзвенных механизмов (рисунок 1.12, а...и) диады присоединяются свободными элементами звеньев А и С к ведущему звену 1 и стойке 0. Более сложные, многозвенные меха­низмы (рисунок 1.13, а, б) могут быть образованы аналогично, присо­единением последующих диад к любым двум звеньям ранее полученного четырехзвенного механизма.

Рисунок 1.11

Обратим внимание на диаду, в которой все три пары являются поступательными (рисунок 1.14, а). Удовлетворяя условию (1.3) лишь формально, звенья этой группы после подвижного присоединения к стойке не теряют подвижности, а образуют плоский механизм с од­ной степенью свободы (рисунок 1.14, б). На звенья подобных механиз­мов наложено еще одно (четвертое) общее условие связи - их звенья лишены возможности вращаться вокруг осей, перпендикулярных плоскости движения, поэтому структурная формула таких механиз­мов имеет вид:

W = 2n-p₅. (1.4)

Плоские механизмы, на звенья которых наложено четыре общих связи и подчиняющиеся условию (1.4), составляют четвертое семей­ство. К ним относятся трехзвенные механизмы клинового типа (рисунок 1.14, б) и механизмы с винтовой парой (рисунок 1.14, в). В винто­вой паре независимым является только одно движение, поэтому ее относят к парам V класса (таблица 1.1, к).

Рисунок 1.12

Рисунок 1.13

Рисунок 1.14

Анализ механизмов

Поскольку любой по сложности плоский одноподвижный механизм с вращательными и поступательными парами образуется присоединением к двухзвенному механизму одной или нескольких групп, то может быть произведено разложение любого одноподвижного плоского механизма на двухзвенный механизм и структурные группы. Разложение механизмов на группы (структурный анализ) значительно упрощает решение задач силового анализа, облегчает выявление пассивных звеньев и позволяет определять класс механизма. Структурный анализ выполняется в такой последовательности. Определяется число степеней свободы. В механизме с одним ведущим звеном (рисунок 1.10, а) это число равно единице. Если по формуле (1.2) получено W < 1, то в механизме имеются пассивные звенья - одно при W = 0 (рисунок 1.9, б), два при W = -1 и т. д. Перед анализом механизма эти звенья следует удалить. Сначала делается попытка отделить наиболее удаленную от ве­дущего звена диаду так, чтобы после этого остался механизм с тем же числом степеней свободы, что и заданный. Если диаду отделить не удается (число W оставшегося механизма не получается таким, как у заданного), то следует попытаться отделить трехповодковую или другую, более сложную группу. Разложение механизма с одной степенью свободы на группы ведется до тех пор, пока не останется одна пара - ведущее звено со стойкой (рисунок 1.10, а).

Согласно структурной классификации И. И. Артоболевского, класс механизма определяется наивысшим классом структурной группы. Однако следует иметь в виду, что с выбором другого ведущего звена, также входящего в пару V класса со стойкой, класс механизма может измениться. Если, например, в качестве ведущего звена механизма (рисунок 1.15, а) выбран кривошип 1, то от механизма могут быть отделены последовательно две диады: первой модификации (звенья 5 и 4) и третьей (звенья 2 и 3) (рисунок 1.15, б). Если же за ведущее принять звено 5, то отделение диад окажется невозможным. В этом случае удается отделить только трехповодковую группу (звенья 1, 2, 3, 4, рисунок 1.15, в). Таким образом, в первом случае механизм будет отнесен к диадным, т. е. ко второму классу, а во втором случае - к третьему.

Рисунок 1.15

Замена высших пар низшими

При определении класса плоских механизмов с высшими парами и решении некоторых других задач высшие пары заменяют эквивалентными цепями с низшими парами V класса. В результате получается заменяющий плоский механизм с одними низшими парами, подвижность которого и относительные мгновенные движения ведущего и ведомого звеньев остаются такими же, как у заменяемого. Условие структурной эквивалентности трехзвенного механизма с р₅ низшими парами, одной высшей и заменяющего механизма только с низшими парами может быть записано как равенство чисел их степеней свободы:

или .

Следовательно, простейшая эквивалентная цепь с низшими парами, заменяющая высшую пару IV класса, состоит из одного звена (п_э = 1) с двумя элементами (р_5э = 2), форма и расположение которых должны обеспечивать такое же мгновенное относительное движение звеньев, как у заменяемого механизма.

Тогда

Построение заменяющего механизма покажем на примере механизма (рисунок 1.16, а), двухподвижная высшая пара Y, которого образована двумя окружностями 1 и 2. Его расстояния ОА, АВ и ВС во всех положениях остаются постоянными (АВ = А'В'), поэтому если ведущее 1 и ведомое 2 звенья соединим вращательными парами с жестким звеном АВ, то получим заменяющий четырехзвенник ОАВС. Заметим, что вращательные пары А и В расположились на общей нор­мали п-п к профилям звеньев 1 и 2 в центрах их кривизны и что оба механизма эквивалентны, так как каждый обладает одной степенью свободы (W=3·3-2·4=3·2-2·2-1=1), а движение ведомого звена (ВС) заменяющего механизма при том же законе движения ведущего звена осталось таким же, как и ведомого звена 2 заменяемого механизма.

Аналогично производится замена высшей пары, образованной профилями переменной кривизны (рисунок 1.16, б). В таких случаях все размеры заменяющего механизма изменяются в зависимости от положения механизма. При этом если радиус кривизны одного из профилей равен бесконечности (рисунок 1.16, в), один из геометрических элементов заменяющего звена выбирают таким, чтобы образуемая им пара допускала поступательное движение. В других случаях, когда профилем одного из соприкасающихся звеньев является кривая, а второго - точка (рисунок 1.16, г), то одну из вращательных пар заменяющего звена помещают в центр кривизны А криволинейного профиля, а вторую - в точку контакта Y.

Рисунок 1.16