Сравнение двух математических ожиданий.

Пусть имеются две выборки х₁, х₂,..., x_n и y₁, y₂,..., y_m, полученные в результате независимых испытаний. По этим данным рассчитаны оценки и , а так же и . В предположении, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону и , требуется проверить на основании выборочных данных гипотезу при условии, что гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается.

Задача 3. Средний ежедневный объем продаж за I квартал текущего года для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 2,5 тыс. руб., а для 10 торговцев района В – 13 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс. руб. Каждую группу можно считать случайной независимой выборкой из большой совокупности. Существенно ли различие объемов продаж в районах А и В при 5%-м уровне значимости?

Решение. Предположим, что ежедневный объем продаж подчинен нормальному закону распределения. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение законов распределения для районов А и В неизвестны. Предположим, что дисперсии объемов продаж одинаковы. В этих условиях возникает задача оценки статистической гипотезы при альтернативной , если принять за a_x математическое ожидание объема продаж для района А, за a_y – для района В.

Выборочные средние и являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. В этом случае в качестве критерия используют функцию

, где .

Функция Т подчинена t-распределению для степеней свободы.

По таблице t-распределения для и 5%-го уровня значимости (для двусторонней критической области) находим t_кр=2,06. Это значит, что критическая область есть интервал и .

Вычислим t_r:

,

.

Полученное значение критерия t_r не принадлежит критической области, следовательно, разность несущественна и гипотеза принимается. В качестве общей средней выборочной принимают величину

.

Задача 4. В условиях задачи 3 выяснить, существенно ли при 5%-ном уровне значимости превышение обхема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В.

Решение. Вопрос в данной задаче отличается от вопроса в задаче 3 тем, что альтернативной к гипотезе становится не гипотеза , а гипотеза . В этом случае критическая область односторонняя (в частности, правосторонняя), для l=25 и α=0,05 имеем критическую область . Так как t_r=1,86>1,708, то величина t_r входит в критическую область, поэтому превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В существенно и гипотеза отвергается.

Задача 5. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n=16 найдена средняя величина г дозы, наливаемой в стакан автоматом №1. По выборке m=9 найдена средняя величина г дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной г². Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости α=0,01?

Решение. Пусть a_x и a_y – математические ожидания доз, наливаемых автоматом №1 и автоматом №2. Нулевая гипотеза в данном случае при альтернативных и . Дисперсия известна: σ²=25. В качестве критерия справедливости статистической гипотезы выбирается функция

,

рапределенная по нормальному закону с параметрами (0, 1).

1. Рассмотрим вначале гипотезу для альткрнативной . В этом случае критическая область имеет вид , где определяется из условия .

Так как функция Лапласа – нечетная функция, т.е. , а таблица этой функции содержит только положительные значения, то найдем вначале .

Для этого вычислим значение функции Лапласа в критической точке: . Откуда . Значит, левосторонняя критическая область будет .

Рассчитаем z_r:

.

Полученное значение z_r= –1,44 не входит в критическую область , поэтому нулевая гипотеза принимается.

2. Рассмотрим гипотезу при альтернативной . В этом случае критическая область двусторонняя и имеет вид . Величины и рассчитываются из условий

и .

Воспользовавшись таблицей функции Лапласа, имеем

,

.

Критическая область имеет вид . Значение z_r= –1,44 не попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза принимается.