Частота события. Статистическое определение вероятности
Справочный материал
Классическое определение вероятности предполагает, что все элементарные исходы равновозможны. О равновозможности исходов опыта заключают в силу соображений симметрии (например, в случае монеты или игрального кубика). Задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются редко. Во многих случаях трудно указать основания, позволяющие считать, что все элементарные исходы равновозможны. В связи с этим было введено еще одного определение вероятности, которое получило название статистического.
Чтобы дать это определение, введем понятие относительной частоты события.
Относительной частотой события А, или частотой события А, называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению
(3.1)
где m - число опытов, в которых появилось событие А;
n- число всех произведенных опытов.
Частота события обладает следующими свойствами.
1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей:
0< W(A) < 1. (3.2)
2. Частота достоверного события Uравна единице:
W(U) = 1. (3.3)
3. Частота невозможного события V равна нулю:
W(V)=0. (3.4)
4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме
частот этих событий:
W(A + В) = W(A) + W(B) . (3.5)
Наблюдения позволяют установить, что относительная частота обладает свойствами статистической устойчивости: в различных сериях
многочисленных испытаний (в каждом из этих испытаний событие А может появиться или не появиться) относительная частота принимает значения, достаточно близкие к некоторой постоянной. Эту постоянную, являющуюся объективной числовой характеристикой явления, считают вероятностью данного события.
Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний.
Это определение вероятности называется статистическим.
В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами:
1) вероятность достоверного события равна единице;
2) вероятность невозможного события равна нулю;
3) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей;
4) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Задачи
Задача 1. Из 500 взятых наудачу деталей 8 оказались бракованными. Найти частоту появления бракованных деталей.
Решение. Обозначим событие А – появление бракованной детали. Так как в данном случае m= 8, n = 500, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту появления бракованной детали:
Задача 2. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка
появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?
Решение. Обозначим событие А – появление шестерки при бросании кубика. Из условия задачи следует, что n = 60, m = 10, поэтому
в соответствии с формулой (3.1) находим частоту появления шестерки:
Задача 3. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков.
Чему равна частота рождения мальчиков?
Решение. Обозначим событие А – рождение мальчика. Поскольку в данном случае n = 1000, m= 515, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту рождения мальчика:
Задача 4. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?
Решение. Обозначим событие А – попадание в мишень. Так как n = 20, n = 15, то в соответствии с формулой (3.1) находим частоту попадания в мишень:
Задача 5. При стрельбе по мишени частота попаданий W= 0,75.
Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Решение. Из формулы (31) следует, что m = Wn. Так как, по условию, W = 0,75, n = 40, то имеем
m = Wn= 0,75·40 = 30.
Таким образом, было получено 30 попаданий.
Задача 6. Частота нормального всхода семян W = 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?
Решение. Из формулы (3.1) следует, что
.
Поскольку, по условию, W=0,97, m=970 имеем:
Таким образом, было высеяно 1000 семян.
Задача 7. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.
Решение. Обозначим событие А – попадание простого числа на отрезок натурального ряда от1 до 20. На указанном отрезке натурального ряда чисел находятся следующие простые числа: 2, 3, 5, 7,11,13,17,19; всего их 8. Учитывая, что чисел всего 20 (n=20), а простых чисел 8 (m=8) находим частоту события А:
Пример 8. Проведены три серии мнoгoкpaтныx подбрасываний
симметричной монеты, подсчитаны числа появлений герба. Данные ниже в таблице. Найти частоту появления герба в каждой серии испытаний.
| Номер серии | Число опытов в серии | Число появлений герба |
Решение. Обозначим событие -появление герба в первой серии опытов, событие -появление герба во второй серии опытов, событие -появление герба в третьей серии опытов.
В соответствии с формулой (3.1) находим:
3амечание. Эти примеры свидетельствуют о том, что при многократных испытаниях частота события незначительно отличается от его вероятности. (Вероятность появления герба при подбрасывании симметричной однородной монеты р = 1/2 = 0,5 , так как в этом случае
n = 2(может выпасть либо герб, либо решка), m = 1).
Пример 9.Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом
станке, оказалось 15, не отвечающих стандарту. Найти частоту появления нестандартных деталей.
Решение. Обозначим событие А – появившаяся деталь нестандартная. В данном случае n = 300, т = 15, поэтому, по формуле 3.1, имеем:
Пример 10. Контролер, проверяя качество 400 изделий, установил,
что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти частоту появлений изделий первого сорта, частоту появлений изделий второго сорта.
Решение. Обозначим событие А – изделие относится к первому сорту и событие В – изделие относится ко второму сорту.
Прежде всего, найдем число изделий первого сорта: 400 - 20 = 380. Поскольку n = 400, m = 380, то частота изделий первого сорта равна:
Аналогично находим частоту изделий второго сорта:
Замечание.Т.к. событие В является противоположным событию А, то его вероятность можно найти по выражению: