Ограничения на область значений функции

Задачи, в которых применяется идея на ограничения по области значения функций, можно условно разделить на два вида:

1) задачи, где нужнонайтимаксимумилиминимум какой-либо функции (или, если это задача с параметром, например, нужно найти значения параметра, при которых будет достигаться определенное значение экстремума);

2) задачи на так называемый метод мажорант. Мажорантой функции Ограничения на область значений функции - student2.ru на множествеА называется такое число М, что либо Ограничения на область значений функции - student2.ru для всех Ограничения на область значений функции - student2.ru , либо Ограничения на область значений функции - student2.ru для всех Ограничения на область значений функции - student2.ru .

Пусть дано уравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru и существует такое число М, что для любого х из области определения Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru получаем Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru . Тогда уравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru эквивалентно системе Ограничения на область значений функции - student2.ru .

В некоторых случаях может быть дана задача, где можно сравнить заданные функции с третьей, график которой проходит между ними.

Пример1

Решитьуравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru .

Монотонное возрастание (убывание) функции

Функция Ограничения на область значений функции - student2.ru называетсявозрастающейнапромежуткеD,еслидлялюбыхчисел Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru изпромежуткаDтаких,что Ограничения на область значений функции - student2.ru ,выполняетсянеравенство Ограничения на область значений функции - student2.ru .

Функция Ограничения на область значений функции - student2.ru называетсяубывающейнапромежуткеD,еслидлялюбыхчисел Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru изпромежуткаDтаких,что Ограничения на область значений функции - student2.ru ,выполняетсянеравенство Ограничения на область значений функции - student2.ru .

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется строго монотонной на этом промежутке. Если функция не возрастает или не убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке

Заметим,чтоесли Ограничения на область значений функции - student2.ru –монотоннаяфункциянапромежутке Ограничения на область значений функции - student2.ru ,тоуравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru неможетиметьболееодногокорнянаэтомпромежутке.

Свойства монотонных функций

(предполагается,чтовсефункцииопределенынанекоторомпромежуткеD):

  • Сумманесколькихвозрастающихфункцийявляетсявозрастающейфункцией;
  • Произведениенеотрицательныхвозрастающихфункцийестьвозрастающаяфункция;
  • Еслифункция Ограничения на область значений функции - student2.ru возрастает и дана некоторая константа с,тофункции Ограничения на область значений функции - student2.ru , где (c>0), и Ограничения на область значений функции - student2.ru такжевозрастают,афункция Ограничения на область значений функции - student2.ru , где
    (c<0), убывает;
  • Еслифункция Ограничения на область значений функции - student2.ru возрастаетисохраняетзнак,тофункция Ограничения на область значений функции - student2.ru убывает;
  • Если функция Ограничения на область значений функции - student2.ru возрастает и неотрицательна, то Ограничения на область значений функции - student2.ru , где n є N, также возрастает;
  • Если функция Ограничения на область значений функции - student2.ru возрастает и n – нечетное число, то Ограничения на область значений функции - student2.ru также возрастает;
  • Композиция Ограничения на область значений функции - student2.ru возрастающихфункций Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru такжевозрастает.

Аналогичныеутвержденияможносформулироватьидляубывающейфункции.

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенствоснованонаследующихтеоретическихфактах:

  • Строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз, следовательно, если дана строго монотонная функция Ограничения на область значений функции - student2.ru и Ограничения на область значений функции - student2.ru , то Ограничения на область значений функции - student2.ru ;
  • Еслиоднафункциявозрастает,адругаяубываетнаодномитомжепромежутке,тографикиихлиботолькоодинразпересекутся,либовообщенепересекутся,аэтоозначает,чтоуравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru имеетнеболееодногорешения;
  • Еслинанекоторомпромежуткеоднаизфункцийубывает(возрастает),адругаяпринимаетпостоянныезначения,тоуравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru либоимеетединственныйкорень,либонеимееткорней;

Таким образом, при этом способе исследуютсянамонотонностьлеваяиправаячастиуравнения, иеслиоказывается,чтофункцииудовлетворяюткакому-либоизприведенныхусловий,тонайденноеподборомрешениебудетединственнымкорнемуравнения.

Пример2

Решитьуравнение Ограничения на область значений функции - student2.ru .

Симметрия

Важно в задачах обращать внимание на четность функций, а также на другие ситуации, когда в уравнении или в системе наблюдается симметрия, так как если уравнение обладает некоторой симметрией, то такой же симметрией обладают и все его решения.

Это означает, чтоне решая уравнение и исходя лишь из соображений симметрии, мы можем заранее предвидеть некоторые свойства его решений.

Пример3

Прикакихзначенияхпараметраасистема Ограничения на область значений функции - student2.ru имеетединственноерешение?

Наши рекомендации