Статистическое оценивание показателей надежности.

Вероятностное пространство

Определение 1. Вероятностным пространством будем называть тройку , где Ω - пространство элементарных исходов, U – алгебра событий, P – вероятность (функция на U со значениями во множестве действительных чисел R).

Замечание. Ω – это произвольное множество, U – алгебра событий (совокупность подмножеств множества Ω, замкнутая относительно операций сложения, умножения и разности событий ). Свойства функции P:

1)

2)

3) – для несовместных событий ( события А и В несовместны, если если произойдет А , то это исключает, что произойдет В, и наоборот).

Определение 2.События А и В независимы, если

. (1)

Определение 3.Пусть . Тогда условная вероятность наступления события А при условии, что В произошло . (2)

Пример 1. Вероятность отказа каждого элемента электрической цепи

 

M N K

 

A B

 

 

E F

 

 

равна 0,1. Элементы работают независимо друг от друга. Отказ элемента – его деструкция, приводящая к разрыву соответствующего участка цепи. Найти вероятность того, что между точками А и В будет идти электрический ток.

Решение.Схема в примере – это логическая модель надежности. При последовательном соединении элементов модели удобно вычислять вероятность работы соответствующего участка (произведение вероятностей работ каждого элемента), при параллельном – отказ (произведение вероятностей отказов каждого элемента).

;

; .

Замечание. При построении логической модели надежности каждому элементу реальной электрической цепи ставят в соответствие элемент логической модели. При этом, если элемент электрической цепи работоспособен – то ему соответствует элемент логической модели, имеющий бесконечную проводимость, а неработоспособному элементу соответствует элемент с нулевой проводимостью.

Например, электрической цепи с диодами

D₁ D₂ D₃

или резисторами

R₁ R₂ R₃

 

при отказах типа «обрыв», соответствует логическая модель

 

1 2 3 .

 

Для конденсаторов можно рассматривать два типа отказов: короткое замыкание или обрыв. Тогда имеет место следующие соответствия электрической цепи и логических моделей.

 

1 2

С₁ 2

 

 

1 2

С₂ 2

 

 

Пример 2. Построить логическую модель и определить вероятность безотказной работы схемы соединения конденсаторов.

Типы отказов конденсаторов:

1) короткое замыкание;

2) обрыв.

 

 

с₁

с₂

 

с₃

Вероятность безотказной работы каждого .

Решение.1) Логическая модель надежности:

А В

1 2 3 .

 

.

2) Логическая модель надежности:

A 2 В

 

.

.

Пример 3.Найти вероятность безотказной работы схемы, логическая модель которой:

1 2

 

5 .

 

3 4

 

Вероятность безотказной работы каждого элемента .

Решение.Пусть Применим метод разложения относительно особого элемента: пусть гипотеза - 5-й элемент отказа, - 5-й элемент работоспособен.

.

 

Этим гипотезам соответствуют схемы:

1 2

 

A В .

3 4

 

 

1 2

 

А В

 

3 4

 

.

Далее по формуле полной вероятности:

.

 

Упражнения

1.1. Найти вероятность безотказной работы схемы, логические модели которых:

а)

2 4

 

б)

3 4

 

 

в)

1 3

 

.

 

2 4

 

Вероятности безотказной работы элементов равны

.

Ответ.а)

б) ;

в) .

1.2. Вероятности безотказной работы каждого элемента за время Т равны 0,9. Найти вероятность безотказной работы за время Т схем, логические модели которых:

а)

 

 

б)

 

 

в)

 

 

г)

 

 

 

д)

 

е)

 

 

ж)

 

 

Ответ.а) ; б) 0,890109; в) 0,8893; г) 0,989;

д) 0,997848; е) 0,985; ж) 0,99586.

 

Случайные величины.

Определение 1. Пусть - вероятностное пространство. Действительно-значную функцию , определенную на Ω будем называть случайной величиной (для краткости СВ Х), если множество . При этом функция называется функцией распределения СВ Х. Если множество значений СВ Х – конечно или счетно, то СВ Х называется дискретной, если значения СВ Х целиком заполняют некоторый интервал действительной оси, то СВ Х называется непрерывной.

Замечание.Среди непрерывных СВ будем рассматривать абсолютно-непрерывные, а именно такие, что

(1)

где - кусочно-непрерывна.

При этом функция называется плотностью вероятностей СВ Х, и верны формулы:

, (2)

, (3)

где М(Х) – математическое ожидание (среднее значение) СВ Х;

- дисперсия СВ Х (4)

- среднее квадратическое отклонение СВ Х. (5)

Для дискретной случайной величины Х, заданной законом

 

Х	х1	х2	…	xn
Р	р1	р2	…	рn

, (6)

. (7)

Определение 2.Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Бернулли (биномиальному закону), если значения X: 0, 1, …, n и

, (8)

- параметры распределения.

Замечание. .

Пример 1.Система состоит из 4-х блоков, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы любого из них за время t равна р=0,8. Для нормальной работы системы за время t необходимо, чтобы работали хотя бы 3 блока. Найти вероятность того, что: 1) система будет работать в течение времени t; 2) система откажет.

Решение. Пусть СВ Х – число работающих исправно в течение времени t блоков. Тогда по формуле (8):

1) .

2) .

Замечание. Биномиальный закон распределений часто применяется при статистическом контроле качества изделий, когда мало сведений о природе и поведении изделий и их нужно разделить на исправные и неисправные.

Определение 3. Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона , если значения

и ; (9)

где - параметр распределения.

Замечание. .

Теорема 1 (теорема Пуассона).Пусть СВ Х распределена по закону Бернулли с параметром р. Пусть , так что , тогда

. (10)

Замечание. Из теоремы 1 следует, что распределение Пуассона – предельный случай биномиального распределения при . Если n – велико, а р мало, то вместо формулы (8) для распределения B(n, p) используют формулу (9), где .

Пример 2.Радиоэлектронная система (РЭС) состоит из 200 узлов. Вероятность отказа каждого из них за время t равна 0,005. Найти 1) среднее число отказавших за время t узлов; 2) вероятность того, что за время t откажет менее 3-х узлов; 3) вероятность отказа хотя бы одного узла за время t.

Решение. Пусть СВ Х – число отказавших за время t узлов. Тогда

1) .

2) ; где . Поэтому .

3) .

Определение 4. Непрерывная СВ Т называется распределенной по нормальному закону , если ее функция плотности вероятностей

. (11)

Замечание. ;

; (12)

где – интегральная функция Лапласа:

. (13)

При этом – функция распределения СВ Х.

Если число испытаний n для СВ Х, распределенной по закону Бернулли B(n, p) велико, то используют приближенную формулу:

, (14)

где р – вероятность успеха в одном испытании, – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Пример 3. Пусть СВ Т задает момент времени выхода из строя производимой детали; - равна вероятности того, что деталь откажет на промежутке . Предположим, что Т распределена по закону ; .

1) Найти вероятность того, что деталь проработает безотказно не менее 1250 час.

2) Вероятность того, что наработка на отказ будет находится в интервале .

3) Вероятность того, что безотказно проработав до 1250 ч, деталь безотказно проработает и до 1750 ч.

Решение. 1) Искомая вероятность равна вероятности того, что Т примет значение из промежутка .

.

2) По формуле (12):

.

3) Необходимо вычислить условную вероятность . Пусть событие А: Т > 1750, событие B: T > 1250. Тогда по формуле (2) § 1:

=

.

Замечание.СВ Т из примера 3 называется временем жизни или временем наработки на отказ.

Определение 5.Непрерывная СВ Х называется распределенной по экспоненциальному закону , если ее функция плотности вероятностей

(15)

где - параметр распределения.

Замечание. (16)

.

Пример 4.Время Т наработки элемента на отказ распределено по экспоненциальному закону . Найти вероятность безотказной работы элемента за 500 часов.

Решение. .

Замечание. СВ Т в примерах 3 и 4 – время жизни элемента – непрерывна. Поэтому в примерах и всюду в дальнейшем : .

Пример 5. Вероятность безотказной работы изделия в течение 60 часов равна 0,9. Предполагается, что время жизни элемента распределено по экспоненциальному закону. Найти условную плотность вероятности того, что изделие откажет в момент времени t, при условии, что до этого изделие работало безотказно.

Решение. СВ Т – время жизни элемента; .

,

.

. Пусть .

Тогда

.

Тогда .

 

Упражнения.

2.1.Электронная система в состоянии выполнить свои задания при как min четырех исправных каналах из 5 имеющихся. Вероятность P работы каждого канала в течение времени t равна 0,8. Найти вероятность того, что

1) система будет работать;

2) система откажет.

Ответ 2.1: 1) 0,73728, 2) 0,26272.

2.2. Система имеет 4 резервных элемента. Вероятность р отказа каждого из них в течение времени t равна: р=0,25. Найти вероятность того, что в течение времени t будет исправен

1) один элемент;

2) хотя бы один элемент;

3) откажут все;

4) найти среднее число отказных элементов.

Ответ 2.2:1) 0,046875; 2) 0,9961; 3) 0,0039.

2.3. Устройство состоит из 4 независимо работающих элементов. Вероятность того, что за время t откажет хотя бы один из них равна 0,5904. Найти вероятность того, что за это время откажут:

1) 2 элемента;

2) менее 2-х;

3) не менее 2-х;

4) найти среднее число отказавших элементов.

Ответ 2.3:1) 0,1536; 2) 0,8192; 3) 0,1808; 4) 0,8.

2.4.Радиосхема состоит из 2000 узлов. Вероятность р отказа любого из них за время t равна: р=0,001. Найти вероятность того, что за время t в системе произойдет:

1) 3 отказа;

2) менее 3-х отказов;

3) не менее 3-х отказов;

4) хотя бы один отказ;

5) найти средне число отказавших элементов.

Ответ 2.4: 1) 0,180447; 2) 0,67667; 3) 0,32333; 4) 0,864665.

2.5.Время Т жизни элемента распределено по закону .

1) Написать функцию распределения и функцию плотности вероятностей для СВ Т.

2) Определить вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии через а) 500 час; б) 1000 час.

3) Определить вероятность того, что время жизни лежит в промежутке .

4) Определить среднее время жизни.

5) Определить вероятность того, что наработка на отказ элемента < 1000 час, при условии, что до 500 часов он работал нормально.

6) Определить какое время наработки на отказ можно гарантировать с вероятностью p=0,6.

Ответ 2.5: 2а) 0,99; 2б) 0,9801; 3) 0,00995; 4) 50000 час; 5) 0,01005; 6) 25541 час.

2.6.Время Т жизни элемента распределено по закону N (2000 час; 500 час).

1) Написать функцию распределения и функцию плотности вероятностей для СВ Т.

2) Определить вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии через а) 2000 час; б) 3000 час.

3) Определить вероятность того, что наработка на отказ лежит в промежутке .

4) Определить среднее время жизни.

5) Определить вероятность того, что время жизни элемента < 3000 час, при условии, что до 2000 часов он работал нормально.

6) Определить какое время жизни можно гарантировать с вероятностью p=0,6.

Ответ 2.6: 2а) 0,5; 2б) 0,0228; 3) 0,4772; 4) 2000 час; 5) 0,9544; 6) 1875 час.

2.7. Конструкторское бюро разрабатывает прибор, рабочий ресурс которого равен a) 7000 час; b) 9000 час; c) 12000 час. При разработке можно использовать одну из четырех деталей А, В, С, D. Время наработки на отказ деталей А, В, С, D распределено соответственно по законам Какую из деталей предпочтительней использовать? Расположить детали в порядке убывания предпочтения.

Ответ 2.7.а) D, C, B, A, b) C, B, A, D, c) B, C, A, D.

 

Основные понятия теории надежности.

Определение 1.Пусть СВ Т задает момент времени выхода из строя элемента (время наработки на отказ, или время жизни). Функцию распределения будем называть функцией ненадежности ( задает вероятность отказа элемента на промежутке [0 ; t)). Функцию

(1)

будем называть функцией надежности ( p(t) задает вероятность того, что элемент откажет на промежутке , или его время жизни ).

Пример 1.Вероятность того, что изделие работало безотказно на промежутке времени [ 0; 4500) равна 0,406. Предположим, что время жизни Т распределено по экспоненциальному закону. 1) Найти Т_ср – среднее время жизни. 2) Найти вероятность того, что изделие будет исправно при t = T_ср .

Решение. по формуле (1) .(2)

Тогда .

1) .

2) .

Замечание.1. Так как , то .

2. Так как - неубывающая функция и , то p(t) – невозрастающая функция и .

Пример 2. Пусть Т распределена по закону ,

Тогда .

Приведем графики p(t) для .

 

 

 

Рис. 1. Графики p(t) для экспоненциальных распределений .

 

 

Пример 3. Пусть Т распределена по закону ,

, тогда , где .

Приведем графики p(t) для N(5000 час, 1500 час) и N(5000 час, 500 час).

 

Рис 2. Графики p(t) для 1) N(5000 час, 1500 час) и 2) N(5000 час, 500 час).

 

Определение 2. Условная плотность вероятности отказа элемента в момент времени t, при условии, что на промежутке он работал безотказно, называется интенсивностью отказа элемента в момент времени t . Интенсивность отказа обозначим через . Таким образом .

Замечание. равно, при небольших , вероятности того, что элемент, проработав безотказно на промежутке , откажет на промежутке . При этом равно вероятности отказа элемента на промежутке , независимо от того работоспособен он или нет в момент времени t.

Теорема 1. . (3)

Доказательство. Пусть , событие А – элемент откажет на промежутке , событие В – элемент откажет на промежутке (то есть безотказно проработает на промежутке ). Тогда и

, (4)

но , , , где - бесконечно-малая более высокого порядка малости, чем , при . Подставив найденные производные в формулу (4), получим

и в пределе при , получим ч.т.д.

Упражнение. Доказать, что для экспоненциального распределения интенсивность отказов – постоянна и .

Замечание. При статистическом оценивании значений и число отказавших элементов на промежутке делят на число всех испытуемых ( при оценивании ) и на число исправных к моменту времени t (при оценивании ).

Интенсивность отказов является важным показателем надежности. Его нетрудно оценить статистически и он дает наглядное представление о поведении объекта исследования. Показатель менее нагляден.

Например, рассмотрим промежуток и , тогда . Тогда для распределений и (распределение Вейбулла, см. § ) графики и будут иметь вид:

 

Рис.3. Графики 1) и 2) .

График функции имеет во многих случаях типичную U – образную форму. Например, для системы, логическая модель надежности которой:

 

1 2 , причем

 

время жизни первого элемента (распределение Вейбулла, см. §7, п. 7.4), а второго – , график имеет вид

 

Рис.4. График функции интенсивности отказов системы.

Замечание.Отказы на промежутке - приработочные, отказы на промежутке вызваны старением.

Выпишем зависимости между показаниями надежности и .

1. (5) (6)

(7)

2. (см. теорему 1).

3. Выразим p(t) через . Для этого решим дифференциальное уравнение (3), с начальными данными .

так как .

Таким образом:

. (8)

Найдем еще - среднее время наработки на отказ (среднее время жизни)

.

Из физических соображений считаем, что , при .

Таким образом:

. (9)

Аналогично

. (10)

Упражнения.

3.1.Пусть время жизни Т элемента распределено равномерно на отрезке (обозначим такое распределение ).

Выписать: 1) функцию плотности вероятностей ,

2) функция распределения ,

3) функцию надежности ,

4) функцию интенсивности отказов ,

5) среднее время жизни.

Ответ: ,,,

,.

3.2.Пусть время жизни Т элемента распределено по закону:

а) ; б) .

Выписать: 1) функции , ,

2) функцию надежности ,

3) функцию интенсивности отказов .

Ответ:а) , , , ;

б) .

3.3.Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону .

Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени Т_ср (откажет на промежутке ).

Ответ: .

3.4.Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону .

Вероятность того, что элемент работал безотказно на промежутке равна: p = 0,607. Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени t = 6000 час.

Ответ: 0,1358.

3.5.Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону . Вероятность того, что элемент в рабочем состоянии в момент времени . Та же вероятность для момента времени . Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени а) t=5000 час, б) t=7000 час.

Ответ:а) ; б) 0,09.

 

Упражнения.

4.1.На испытаниях находилось 100 элементов в течение а) 500 час, б) 400 часов. Данные об отказах собраны в таблице.

Найти .

а)

 

Интервалы времени (час)	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500
Число отказавших элементов

Ответ: а)

Интервалы времени (час)	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500
Число отказавших элементов
	0,95	0,91	0,88	0,86	0,85

.

б)

 

Интервалы времени (час)	0 - 80	80 - 160	160 - 240	240 - 320	320 - 400
Число отказавших элементов

 

Ответ:б)

 

Интервалы времени (час)	0 - 80	80 - 160	160 - 240	240 - 320	320 - 400
Число отказавших элементов
	0,97	0,95	0,94	0,93	0,9

.

4.2. Из 4000 СВЧ диодов за месяц испытаний перегорело 5 диодов, а через полгода из оставшихся 3970 диодов за месяц перегорело 3. Определить, когда диод работает более надежно.

Ответ:через полгода.

 

Пример 1.

Тип резервирования	Логическая схема	Комментарий
Общее резервирование, постоянно включенный резерв	0 Осн. устр.	Целая кратность 3
Резервирование замещением	Осн. устр.	Целая кратность 3
Поэлементное, с постоянным резервом	1 2 3 0 0 0   1 1 1   2 2 2	Целая кратность 2
Поэлементное, замещением	0 0 0     1 1 1	Целая кратность 1
Тип резервирования	Логическая схема	Комментарий
Поэлементное, с постоянным резервом	01 02     11 12	Для элемента 01 – целая кратность 2, для элемента 02 – целая кратность 1
Поэлементное, с постоянным резервом	0 0   0 0     1 1	Дробная кратность