Текстовые задачи на разные распределения
1. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Считая момент прихода пассажира распределенным равномерно, найти вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но не позднее, чем за две минуты до отхода следующего поезда.
2. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с s = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей 20 мм.
3. При взвешивании получается ошибка, подчиненная нормальному закону с s=20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей 30г.
4. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превосходит 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если Х распределено нормально с s=0,4 мм?
5. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры Х. Считая, что Х распределено нормально, а = 10 мм, s = 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
6. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
7. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 7 мин. Считая момент прихода пассажира распределенным равномерно, найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
8. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с, если использовать равномерное распределение.
9. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм, равна 0,05. Найти среднее квадратическое отклонение проектной длины деталей.
10. Автомат штампует детали. Длина изготовленной детали является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм.
11. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
12. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а = 0 и со средним квадратическим отклонением s = 5 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
13. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а = 0 и со средним квадратическим отклонением s = 5 мм. Сколько нужно изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 среди них оказалась хотя бы одна бракованная деталь?
14. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение
Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч 1) элемент откажет; 2) элемент не откажет.
15. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина m = 40 см и среднее квадратическое отклонения s = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
16. Электронная лампа работает исправно в течение случайного времени Т, распределенного по показательному закону
По истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего ее немедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за время t: 1) лампу не придется заменять; 2) лампу придется заменять.
17. При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его включения до возникновения неисправности распределено по показательному закону
Найти: 1) М(Т), s(Т); 2) вероятность безотказной работы прибора за время (t1, t2).
18. На автомате изготовляются заклепки. Диаметр их головок, представляющий собой случайную величину, имеет среднее значение, равное 2 мм, и дисперсию, равную 0,01. Какие размеры диаметра головок заклепки можно гарантировать с вероятностью 0,95?
19. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что за две секунды на АТС поступит менее двух вызовов.
20. На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и дисперсию, равную 0,2 см2. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 см.
21. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, является случайной величиной, распределенной нормально с параметрами: математическое ожидание а = 2,5 см и дисперсией s2=0,0001 см2. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?
22. Длина болтов, изготавливаемых на станке, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметром a = 5,6 см. Вероятность того, что наудачу взятый болт имеет размер от 5,65 до 5,67, равна 0,2. Чему равна вероятность того, что размер наудачу взятого болта будет от 5,53 до 5,55 см?
23. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 1 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что у двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.
24. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда равна а. Предполагая, что дальность полета Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением s = 80 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 120 м до 160 м.
25. Диаметр круга х измерен приближенно, причем 
. Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (а, b), найти вероятность того, что диаметр Х отклоняется от среднего значения не более чем на пятую часть длины отрезка [а, b] в ту или другую сторону.
26. Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 с. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0,05 с, если отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону и время считается распределенным равномерно.
27. Самолет производит одиночное бомбометание по плотине, ширина которой 15 м. Направление захода — поперек плотины. Прицеливание производится по краю плотины. Среднее квадратическое отклонение по линии полета равно 50 м. Систематические ошибки отсутствуют. Для разрушения плотины достаточно одного попадания. Самолет сбрасывает две бомбы. Найти вероятность того, что плотина будет разрушена.
28. Ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 3 мк. Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка хотя бы 1 раз окажется в интервале (0; 2,4).
29. Случайная величина X имеет равномерное распределение с математическим ожиданием MX = 1 и дисперсией D(X) = 3. Найти плотность вероятности случайной величины X.
30. Случайное отклонение X размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием M(X) = 0 и средним квадратическим отклонением s = 5 мк. Каким должен быть допуск, чтобы с вероятностью не более 0,027 получилась деталь с контролируемым размером вне поля допуска?
Приложение Таблица значений функции Пуассона 
| l m | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 | |
| 0,9048 | 0,8187 | 0,7408 | 0,6703 | 0,6065 | 0,5488 | 0,4966 | 0,4493 | 0,4066 | 0,3679 | |
| 0,0905 | 0,1637 | 0,2222 | 0,2681 | 0,3033 | 0,3293 | 0,3476 | 0,3595 | 0,3659 | 0,3679 | |
| 0,0045 | 0,0164 | 0,0333 | 0,0536 | 0,0758 | 0,0988 | 0,1217 | 0,1438 | 0,1647 | 0,1839 | |
| 0,0002 | 0,0011 | 0,0033 | 0,0072 | 0,0126 | 0,0198 | 0,0284 | 0,0383 | 0,0494 | 0,0613 | |
| 0,0000 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0007 | 0,0016 | 0,0030 | 0,0050 | 0,0077 | 0,0111 | 0,0153 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0004 | 0,0007 | 0,0012 | 0,0020 | 0,0031 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0002 | 0,0003 | 0,0005 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 |
| l m | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 7,0 | 8,0 | 9,0 | 10,0 | 11,0 |
| 0,1353 | 0,0498 | 0,0183 | 0,0067 | 0,0025 | 0,0009 | 0,0003 | 0,0001 | 0,0000 | 0,0000 | |
| 0,2707 | 0,1494 | 0,0733 | 0,0337 | 0,0149 | 0,0064 | 0,0027 | 0,0011 | 0,0005 | 0,0002 | |
| 0,2707 | 0,2240 | 0,1465 | 0,0842 | 0,0446 | 0,0223 | 0,0107 | 0,0050 | 0,0023 | 0,0010 | |
| 0,1804 | 0,2240 | 0,1954 | 0,1404 | 0,0892 | 0,0521 | 0,0286 | 0,0150 | 0,0076 | 0,0037 | |
| 0,0902 | 0,1680 | 0,1954 | 0,1755 | 0,1339 | 0,0912 | 0,0573 | 0,0337 | 0,0189 | 0,0102 | |
| 0,0361 | 0,1008 | 0,1563 | 0,1755 | 0,1606 | 0,1277 | 0,0916 | 0,0607 | 0,0378 | 0,0224 | |
| 0,0120 | 0,0504 | 0,1042 | 0,1462 | 0,1606 | 0,1490 | 0,1221 | 0,0911 | 0,0631 | 0,0411 | |
| 0,0034 | 0,0216 | 0,0595 | 0,1044 | 0,1377 | 0,1490 | 0,1396 | 0,1171 | 0,0901 | 0,0646 | |
| 0,0009 | 0,0081 | 0,0298 | 0,0653 | 0,1033 | 0,1304 | 0,1396 | 0,1318 | 0,1126 | 0,0888 | |
| 0,0002 | 0,0027 | 0,0132 | 0,0363 | 0,0688 | 0,1014 | 0,1241 | 0,1318 | 0,1251 | 0,1085 | |
| 0,0000 | 0,0008 | 0,0053 | 0,0181 | 0,0413 | 0,0710 | 0,0993 | 0,1186 | 0,1251 | 0,1194 | |
| 0,0000 | 0,0002 | 0,0019 | 0,0082 | 0,0225 | 0,0452 | 0,0722 | 0,0970 | 0,1137 | 0,1194 | |
| 0,0000 | 0,0001 | 0,0006 | 0,0034 | 0,0113 | 0,0263 | 0,0481 | 0,0728 | 0,0948 | 0,1094 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0013 | 0,0052 | 0,0142 | 0,0296 | 0,0504 | 0,0729 | 0,0926 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0005 | 0,0022 | 0,0071 | 0,0169 | 0,0324 | 0,0521 | 0,0728 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0009 | 0,0033 | 0,0090 | 0,0194 | 0,0347 | 0,0534 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0003 | 0,0014 | 0,0045 | 0,0109 | 0,0217 | 0,0367 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0006 | 0,0021 | 0,0058 | 0,0128 | 0,0237 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0009 | 0,0029 | 0,0071 | 0,0145 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0004 | 0,0014 | 0,0037 | 0,0084 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0006 | 0,0019 | 0,0046 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0003 | 0,0009 | 0,0024 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0004 | 0,0012 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0002 | 0,0006 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 | 0,0003 | |
| 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0001 |
Таблица значений функции Лапласа Ф(x)= 
| x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
| 0,00 | 0,46 | 0,3544 | 0,92 | 0,6424 | 1,38 | 0,8324 | 1,84 | 0,9342 | |
| 0,01 | 0,008 | 0,47 | 0,3616 | 0,93 | 0,6476 | 1,39 | 0,8354 | 1,85 | 0,9356 |
| 0,02 | 0,016 | 0,48 | 0,3688 | 0,94 | 0,6528 | 1,40 | 0,8384 | 1,86 | 0,9372 |
| 0,03 | 0,024 | 0,49 | 0,3758 | 0,95 | 0,6578 | 1,41 | 0,8414 | 1,87 | 0,9386 |
| 0,04 | 0,032 | 0,50 | 0,383 | 0,96 | 0,663 | 1,42 | 0,8444 | 1,88 | 0,9398 |
| 0,05 | 0,0398 | 0,51 | 0,39 | 0,97 | 0,668 | 1,43 | 0,8472 | 1,89 | 0,9412 |
| 0,06 | 0,0478 | 0,52 | 0,397 | 0,98 | 0,673 | 1,44 | 0,8502 | 1,90 | 0,9426 |
| 0,07 | 0,0558 | 0,53 | 0,4038 | 0,99 | 0,6778 | 1,45 | 0,853 | 1,91 | 0,9438 |
| 0,08 | 0,0638 | 0,54 | 0,4108 | 1,00 | 0,6826 | 1,46 | 0,8558 | 1,92 | 0,9452 |
| 0,09 | 0,0718 | 0,55 | 0,4176 | 1,01 | 0,6876 | 1,47 | 0,8584 | 1,93 | 0,9464 |
| 0,10 | 0,0796 | 0,56 | 0,4246 | 1,02 | 0,6922 | 1,48 | 0,8612 | 1,94 | 0,9476 |
| 0,11 | 0,0876 | 0,57 | 0,4314 | 1,03 | 0,697 | 1,49 | 0,8638 | 1,95 | 0,9488 |
| 0,12 | 0,0956 | 0,58 | 0,438 | 1,04 | 0,7016 | 1,50 | 0,8664 | 1,96 | 0,95 |
| 0,13 | 0,1034 | 0,59 | 0,4448 | 1,05 | 0,7062 | 1,51 | 0,869 | 1,97 | 0,9512 |
| 0,14 | 0,1114 | 0,60 | 0,4514 | 1,06 | 0,7108 | 1,52 | 0,8714 | 1,98 | 0,9522 |
| 0,15 | 0,1192 | 0,61 | 0,4582 | 1,07 | 0,7154 | 1,53 | 0,874 | 1,99 | 0,9534 |
| 0,16 | 0,1272 | 0,62 | 0,4648 | 1,08 | 0,7198 | 1,54 | 0,8764 | 2,00 | 0,9544 |
| 0,17 | 0,135 | 0,63 | 0,4714 | 1,09 | 0,7242 | 1,55 | 0,8788 | 2,02 | 0,9566 |
| 0,18 | 0,1428 | 0,64 | 0,4778 | 1,10 | 0,7286 | 1,56 | 0,8812 | 2,04 | 0,9586 |
| 0,19 | 0,1506 | 0,65 | 0,4844 | 1,11 | 0,733 | 1,57 | 0,8836 | 2,06 | 0,9606 |
| 0,20 | 0,1586 | 0,66 | 0,4908 | 1,12 | 0,7372 | 1,58 | 0,8858 | 2,08 | 0,9624 |
| 0,21 | 0,1664 | 0,67 | 0,4972 | 1,13 | 0,7416 | 1,59 | 0,8882 | 2,10 | 0,9642 |
| 0,22 | 0,1742 | 0,68 | 0,5034 | 1,14 | 0,7458 | 1,60 | 0,8904 | 2,12 | 0,966 |
| 0,23 | 0,182 | 0,69 | 0,5098 | 1,15 | 0,7498 | 1,61 | 0,8926 | 2,14 | 0,9676 |
| 0,24 | 0,1896 | 0,70 | 0,516 | 1,16 | 0,754 | 1,62 | 0,8948 | 2,16 | 0,9692 |
| 0,25 | 0,1974 | 0,71 | 0,5222 | 1,17 | 0,758 | 1,63 | 0,8968 | 2,18 | 0,9708 |
| 0,26 | 0,2052 | 0,72 | 0,5284 | 1,18 | 0,762 | 1,64 | 0,899 | 2,20 | 0,9722 |
| 0,27 | 0,2128 | 0,73 | 0,5346 | 1,19 | 0,766 | 1,65 | 0,901 | 2,22 | 0,9736 |
| 0,28 | 0,2206 | 0,74 | 0,5406 | 1,20 | 0,7698 | 1,66 | 0,903 | 2,24 | 0,975 |
| 0,29 | 0,2282 | 0,75 | 0,5468 | 1,21 | 0,7738 | 1,67 | 0,905 | 2,26 | 0,9762 |
| 0,30 | 0,2358 | 0,76 | 0,5528 | 1,22 | 0,7766 | 1,68 | 0,907 | 2,28 | 0,9774 |
| 0,31 | 0,2434 | 0,77 | 0,5588 | 1,23 | 0,7814 | 1,69 | 0,909 | 2,30 | 0,9786 |
| 0,32 | 0,251 | 0,78 | 0,5646 | 1,24 | 0,785 | 1,70 | 0,9108 | 2,32 | 0,9796 |
| 0,33 | 0,2586 | 0,79 | 0,5704 | 1,25 | 0,7888 | 1,71 | 0,9128 | 2,34 | 0,9808 |
| 0,34 | 0,2662 | 0,80 | 0,5762 | 1,26 | 0,7924 | 1,72 | 0,9146 | 2,36 | 0,9818 |
| 0,35 | 0,2736 | 0,81 | 0,582 | 1,27 | 0,796 | 1,73 | 0,9164 | 2,38 | 0,9826 |
| 0,36 | 0,2812 | 0,82 | 0,5878 | 1,28 | 0,7994 | 1,74 | 0,9182 | 2,40 | 0,9836 |
| 0,37 | 0,2886 | 0,83 | 0,5934 | 1,29 | 0,803 | 1,75 | 0,9198 | 2,42 | 0,9844 |
| 0,38 | 0,296 | 0,84 | 0,599 | 1,30 | 0,8064 | 1,76 | 0,9216 | 2,44 | 0,9854 |
| 0,39 | 0,3034 | 0,85 | 0,6046 | 1,31 | 0,8098 | 1,77 | 0,9232 | 2,46 | 0,9862 |
| 0,40 | 0,3108 | 0,86 | 0,6102 | 1,32 | 0,8132 | 1,78 | 0,925 | 2,48 | 0,9868 |
| 0,41 | 0,3182 | 0,87 | 0,6156 | 1,33 | 0,8164 | 1,79 | 0,9266 | 2,50 | 0,9876 |
| 0,42 | 0,3256 | 0,88 | 0,6212 | 1,34 | 0,8198 | 1,80 | 0,9282 | 2,52 | 0,9882 |
| 0,43 | 0,3328 | 0,89 | 0,6266 | 1,35 | 0,823 | 1,81 | 0,9298 | 2,54 | 0,989 |
| 0,44 | 0,34 | 0,90 | 0,6318 | 1,36 | 0,8262 | 1,82 | 0,9312 | 2,56 | 0,9896 |
| 0,45 | 0,3472 | 0,91 | 0,6372 | 1,37 | 0,8294 | 1,83 | 0,9328 | 2,58 | 0,9902 |
| x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
| 2,60 | 0,9906 | 2,72 | 0,9934 | 2,84 | 0,9954 | 2,96 | 0,997 | 3,80 | 0,999856 |
| 2,62 | 0,9912 | 2,74 | 0,9938 | 2,86 | 0,9958 | 2,98 | 0,9972 | 4,00 | 0,999936 |
| 2,64 | 0,9918 | 2,76 | 0,9942 | 2,88 | 0,996 | 3,00 | 0,9973 | 4,25 | 0,999964 |
| 2,66 | 0,9922 | 2,78 | 0,9946 | 2,90 | 0,9962 | 3,20 | 0,99862 | 4,50 | 0,999994 |
| 2,68 | 0,9926 | 2,80 | 0,9948 | 2,92 | 0,9964 | 3,40 | 0,99932 | 4,75 | 0,999994 |
| 2,70 | 0,993 | 2,82 | 0,9952 | 2,94 | 0,9968 | 3,60 | 0,999682 | 5,00 | 0,999994 |
Таблица значений функции Гаусса 
| 0,0 | 0,3989 | 0,3989 | 0,3989 | 0,3988 | 0,3986 | 0,3984 | 0,3982 | 0,3980 | 0,3977 | 0,3973 |
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | 0,2420 | |||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | 0,0540 | |||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 | ||||||||||
| 2,5 | ||||||||||
| 2,6 | ||||||||||
| 2,7 | ||||||||||
| 2,8 | ||||||||||
| 2,9 | ||||||||||
| 3,0 | 0,0044 | |||||||||
| 3,1 | ||||||||||
| 3,2 | ||||||||||
| 3,3 | ||||||||||
| 3,4 | ||||||||||
| 3,5 | ||||||||||
| 3,6 | ||||||||||
| 3,7 | ||||||||||
| 3,8 | ||||||||||
| 3,9 | ||||||||||
| 4,0 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 | 0,0001 |