Задача 6. Непрерывная случайная величина
Условия вариантов задачи
В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Таблица 6.1
Вариант | x,c) | a | b | a | b |
6.1 | -3 | -0,5 | 1,5 | ||
6.2 | 0,5 | ||||
6.3 | -1 | 0,5 | |||
6.4 | -1 | -1 | |||
6.5 | -2 | ||||
6.6 | -2 | -1 | |||
6.7 | p/2 | p/4 | p/2 | ||
6.8 | p/2 | p/4 | p | ||
6.9 | p/3 | -1 | |||
6.10 | -p/2 | p/2 | |||
6.11 | -p/4 | p/4 | 0,5 | ||
6.12 | c e-x | ||||
6.13 | c e-2x | ||||
6.14 | 5 e-cx | ||||
6.15 | c | -2 | 1,5 | ||
6.16 | c ex | 0,5 | |||
6.17 | c x5 | 0,5 | 0,7 | ||
6.18 | c x6 | -1 | |||
6.19 | c x7 | 0,25 | |||
6.20 | c x8 | -1 | |||
6.21 | c x9 | 0,25 | |||
6.22 | c x10 | -1 | -0,5 | 0,5 | |
6.23 | |||||
6.24 | 2,5 | ||||
6.25 | 1,5 | ||||
6.26 | |||||
6.27 | |||||
6.28 | 1,5 | ||||
6.29 | |||||
6.30 | |||||
6.31 | 0,5 | 1,5 | |||
6.32 | |||||
6.33 | p | p/2 | |||
6.34 | -p/6 | p/6 | |||
6.35 | c x5 | ||||
6.36 | c x6 | -2 | -1 | ||
6.37 | c x7 | 0,5 | 0,7 | ||
6.38 | c x8 | -2 | -0,5 | 0,25 | |
6.39 | c x9 | 1,5 | |||
6.40 | c x10 | -2 | -1 | 1,5 |
Методические указания
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) – непрерывная и дифференцируемая функция для всех значений аргумента.
Плотность распределения (или плотность вероятности) f(x) непрерывной случайной величины X в точке x характеризует плотность вероятности в окрестностях точки x и равна производной функции распределения этой СВ:
. (6.1)
График плотности распределения называется кривой распределения.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
. (6.2)
В геометрической интерпретации вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения f(x) и отрезком .
Соотношение (6.2) позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
(6.3)
Основные свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) 0. Причем f(x) = 0 для тех значений x, которые СВ никогда не принимает в опыте.
2. Условие нормировки:
(6.4)
Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и для непрерывной СВ определяется по формуле
(6.5)
Дисперсияслучайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и для непрерывной СВ определяется по формуле
. (6.6)
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому для анализа диапазона значений величины Х дисперсия не совсем удобна. Этого недостатка лишено среднее квадратическое отклонение (СКО), размерность которого совпадает с размерностью случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X характеризует ширину диапазона значений X и равно
. (6.7)
Правило . Практически все значения случайной величины находятся в интервале
. (6.8)
Примеры
Пример 6.1. Случайная величина X распределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида
Определить константу с, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал .
Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки (6.4). Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:
.
Из условия нормировки следует:
.
Плотность вероятности примет вид
Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения – будем искать по формуле (6.3) для каждого интервала в отдельности.
Для : ,
для : ,
для : .
Окончательно имеем
Вычислим вероятность по формуле (6.2):
.
Так как правый край интервала больше, чем , то .
Вычислим математическое ожидание СВ по формуле (6.5):
Дисперсиюслучайной величины СВ вычислим по формуле (6.6):
Пример 6.2. Определить по правилу диапазон возможных значений СВ X из примера 6.1.
Решение. Вычислим среднее квадратическое отклонение СВ по формуле (6.7):
Оценим диапазона значений X по формуле (6.8):
Как видим, получился интервал, полностью охватывающий точный диапазон значений СВ , который можно определить по свойству 1 плотности вероятности.